2016년 9월 2일 금요일

퍼지 논리

퍼지 논리

퍼지 논리(퍼지로리, 영: Fuzzy logic)는, 1965년, 캘리포니아 대학 버클리교의 로트피・더 데이가 낳은 퍼지 집합으로부터 파생한[1][2]다치 논리의 일종으로, 진리치가 0에서 1까지의 범위의 값을 받아, 고전 논리와 같이 「진」과「가짜」라고 하는 2개의 값으로 한정되지 않는[3]일이 특징이다.한층 더 linguistic variables는, 「조금 덥다」라고 하는, 언어학적(linguistic)인(와 퍼지의 연구자는 표현한다) 물건을 나타내는 변수(variables)이다(그 내용 자체는, 「기온이 섭씨 30도때는 0.2(30도는 「조금」은 아니니까)」 「기온이 섭씨 25도때는 0.8」 「기온이 섭씨 20도때는 0.3」(이)라고 한 것처럼, 도달해 정량적인 것이며, 「언어학적인 값」이라고 하는 무엇인가 잘 모르는 후와후와 한 것을 취급해 주는 마법은 아니다).퍼지 논리는 제어 이론(퍼지 제어)으로부터 인공지능까지 여러가지 분야에 응용되고 있다.

목차

「진」의 정도

퍼지 논리와 확률론리는 수학적으로 닮아 있어 어느쪽이나 0에서 1까지의 값을 진리치로 하지만, 개념적으로는 해석의 면에서 다르다.퍼지 논리의 진리치가 「진정한 정도」에 대응하고 있는데 대해, 확률론리로는 「확실한 것 같음」이나 「그럴듯함」에 대응하고 있다.이러한 차이가 있기 위해, 퍼지 논리와 확률론리로는 같은 실세계의 상황에 다른 모델을 제공한다.

진리치와 확률이 0에서 1의 범위의 값을 받기 위해, 표면적으로는 비슷한 것처럼 생각된다.예를 들면, 100 ml의 컵에 30 ml의 물이 들어가 있다고 한다.이것에 대해서 「하늘」과「만배」의 2개의 개념을 생각한다.각각의 의미는 소정의 퍼지 집합, 및 그것을 정의 붙이는 멘바십 함수로 나타내진다.예를 들면, 그 컵에 대해 「하늘이다」가 진인 정도는 0.7, 「만배다」가 진인 정도는 0.3으로 정의하는 일도 생각할 수 있다.「하늘이다」라고 하는 개념은 주관적이며, 관찰자나 설계자에 따라서 사고 방식은 다르다.설계자에 따라서는, 50 ml에서도 만배라고 하도록(듯이) 멘바십 함수를 설정할지도 모른다.퍼지 논리로는 애매한 현상의 수리 모델로서 「진정한 정도」를 사용하는데 대해, 확률론은 미지에 대해서의 수리 모델이다.확률론적 수법을 사용해 같은 것을 달성하려면 , 「만배」지 아닌지를 나타내는 2치 변수를 컵에 들어가 있는 물의 양이라고 하는 연속치에 의해서 결정한다고 하는 형태로 정의하게 된다.

퍼지 논리의 진리치의 구체적인 예

퍼지 논리는 세탁기나 냉장고와 같은 가전 기기의 제어에 사용된다.예를 들면 세탁기로는, 세탁물의 양이나 세제의 농도를 조사하고, 세탁조의 회전등을 조정한다.

기본적인 응용의 특징으로서 연속치를 몇개의 구분으로 나누는 점을 들 수 있다.예를 들면, 안티 락・브레이크・시스템으로는 온도를 측정하지만, 온도를 몇개의 구분으로 나누어 각각 멘바십 함수를 정의해, 브레이크를 적절히 제어한다.각 함수는 같은 온도에 0에서 1까지의 진리치를 할당한다.이러한 진리치를 사용하고, 브레이크를 어떻게 제어해야할 것인가를 결정한다.

윗 그림으로는, cold, warm, hot라고 하는 함수로 온도의 값을 매핑 하고 있다.어느 온도에는 각 함수에 대응한 3살의 진리치가 있다.윗 그림으로 종선으로 나타내 보이고 있는 온도를 보면, 3살의 진리치(0.8, 0.2, 0)가 대응해, 그것들을 해석하면 「 꽤 차갑다」(푸른 화살표), 「약간 따뜻하다」(황색 화살표), 「뜨겁지 않다」(붉은 화살표)이라는 것이 된다.

언어학적 변수

수학에 있어서의 변수는 일반적으로 수치를 값으로 하지만, 퍼지 논리는 비수치적인 「언어학적 변수」를 사용하는 것으로 규칙이나 사실의 표현이 용이하게 되는 분야에도 자주(잘) 응용되는[4].

여기서 말하는 「비수치적」 「언어학적」이라고 하는 의미는, 예를 들면 속도라고 한 것 같은 변수와 같은 「확정적인 값을 가지는 변수」는 아니다는, 의미이며, 실제의 곳(소슈르나 톱스키등에 의하는) 언어학적인 무엇인가가 있는 것은 아니다.구체적인 예로서 「연령」에 대해 「젊다」, 혹은 그 반대의 「고령이다」라고 하는 값은, 결국, 「20세」라고 하는 실제의 연령에 대해서, 「젊다」는 0.8이라고 하는 비싼 값이 되어, 「고령이다」는 0.05라고 하는 낮은 값이 된다, 와 같이 , 최종적으로는 실수(수치)가 되는 것이다.언어학적 변수의 최대의 이점은, 주된 단어에 수식어를 더하는 것으로 그 의미를 수정할 수 있는 점이다고 주장된다.수식어는 특정의 함수로 대응 붙일 수 있다.예를 들면, 더 데이는 멘바십 함수의 히라카타를 잡는 것을 제안하고 있다.

퍼지 논리의 응용예

퍼지 논리의 실제

퍼지 집합론으로는, 퍼지 집합에 관한 퍼지 연산을 정의하고 있다.이것을 이용할 때의 문제는, 적절한 퍼지 연산이 어떤 것인가 모르는 경우가 있는 것이다.그 때문에, 퍼지 논리로는 IF/THEN 규칙이나 거기에 비슷하는 것(예를 들면 퍼지 관계 행렬)를 사용하는 것이 일반적이다.

규칙은 이하와 같은 형식에서 표현된다.

IF 「변수」IS 「집합」THEN 「액션」을 실행한다.

예를 들면, 팬을 사용해 온도를 일정하게 유지하는 매우 단순한 기기가 있다고 하면, 다음과 같은 규칙을 생각할 수 있다.

  • IF온도 IS 「매우 춥다」THEN 팬을 멈춘다.
  • IF온도 IS 「춥다」THEN 팬을 늦게 한다.
  • IF온도 IS 「보통」THEN 팬을 일정하게 유지한다.
  • IF온도 IS 「덥다」THEN 팬을 빠르게 한다.

ELSE절이 없는 점에 주의받고 싶다.모든 규칙은 동시에 평가된다.왜냐하면, 온도는(정도의 차이는 있어도) 동시에 「춥다」와「보통」의 양쪽 모두에 속한다고 했던 것이 생각할 수 있기 때문이다.

불 논리의 논리 연산 AND, OR, NOT에 상당하는 연산이 퍼지 논리에도 있어, 예를 들면 아래와 같이 정의된다.아래와 같은 정의는 더 데이의 오리지날의 논문으로 정의되고 있던 것으로, 더 데이 연산자라고도 불린다.여기서 x와 y는 퍼지 변수이다.

  • NOT x = (1 - truth(x))
  • x AND y = minimum(truth(x), truth(y))
  • x OR y = maximum(truth(x), truth(y))

다른 연산으로서보다 언어적인 「헤지(hedges)」가 있다.이것은, 수식에서 나타내지는 집합의 의미(예를 들면 「춥다」)를 수식하는 「매우」라고「조금」이라는 부사에 상당하는 것이다.

프로그램 언어로의 응용으로서 Prolog는 규칙군의 데이터 베이스에 논리 문의를 실시하는 구조가 되어 있고, 퍼지 논리와의 궁합이 좋다.이러한 프로그래밍을 논리 프로그래밍이라고 한다.

그 외의 예

신장을 「높다」와「낮다」로 나누는 것을 생각한다.고전 집합론(고전 논리)으로는, 예를 들면 다음 같게 규칙을 정의한다.

  • 남자의 신장이 1.8미터라면, 그 사람은 키가 크다.
IF man IS true AND height >= 1.8 THEN is_tall IS true; is_short IS false

퍼지 규칙은 키가 「높다」와「낮다」를 명확하게 구별하지 않는다.그러한 구별은 현실적이지 않다.거기서, 이하와 같은 규칙을 정의한다.

IF height <= medium male THEN is_short IS agree somewhat
IF height >= medium male THEN is_tall IS agree somewhat

퍼지의 경우, 1.83미터와 같이 명확한 신장의 구분은 하지 않고, 다음과 같은 퍼지치의 할당을 한다.

  • dwarf male = [0, 1.3] m
  • short male = (1.3, 1.5]
  • medium male = (1.5, 1.8]
  • tall male = (1.8, 2.0]
  • giant male > 2.0 m

따라서, 진리치도 2치가 아니고, 이하와 같은 5치로 한다.

  • agree not = 0
  • agree little = 1
  • agree somewhat = 2
  • agree a lot = 3
  • agree fully = 4

크리스프 집합(2치)의 경우, 1.79미터의 신장의 사람은 단지 키가 작다고 여겨진다.1.8미터나 2.25미터의 사람은 키가 크다고 여겨진다.

또한 위의 기술에서는, 성별을 2치 정보, 즉 기존으로 애매함이 없는 정보로 간주하고 있다.대상의 성별을 외관등에서 판단하는 경우, 혹은 중성의 존재등을 고려하는 경우에는, 성별에 대해서도 퍼지치를 도입해, 규칙의 조건부를

IF male >= agree somewhat AND ...

(와)과 같이 할 필요가 있다.

형식 퍼지 논리

수리논리학에는, 지금까지 설명해 온 퍼지 논리를 모델로서 형식 체계가 몇개인가 존재한다.그 많게는, 이른바 t-norm 퍼지 논리에 속한다.덧붙여 각론리체계로 사용되는 연산은 전술의 더 데이 연산자와는 다른 경우가 있다.

명제 퍼지 논리

주된 명제 퍼지 논리로서는, 이하의 것이 있다.

  • 기본 명제 퍼지 논리 BL는, 논리적을 연속인 삼각형 법칙(t-norm)으로 정의해, 어떤 말에 특별한 뜻을 가지게 를 t-norm의 잔여로서 정의하는 공리화 된 논리이다.그 모델은 BL-algebra로 불린다.삼각형 법칙 t(x, y)는 이하의 성질을 가진다.
    • 가환성
    • 결합성
    • 단조성 (이)라면
    • 단위원 1
  • 우카시비치・퍼지 논리는, 기본 퍼지 논리의 특수 케이스이며, 논리적은 우카시비치 t-norm()(이)가 되어 있다.기본적인 논리 공리 외에 이중 부정의 제거도 공리로 해(따라서 직관 논리는 아니다), 그 모델은 MV-algebra로 불린다.
  • 괴델・퍼지 논리는, 기본 퍼지 논리의 특수 케이스이며, 논리적은 괴델 t-norm()(이)가 되어 있다.기본적인 논리 공리 외에 논리적의 멱등 성도 공리로 해, 그 모델은 G-algebra로 불린다.
  • 프로덕트・퍼지 논리는, 기본 퍼지 논리의 특수 케이스이며, 논리적은 프로덕트 t-norm()(이)가 되어 있다.그 모델은 product algebra로 불린다.
  • MTL(Monoidal t-norm logic)는, 기본 퍼지 논리를 확장한 것.
  • Rational Ravelka logic은, 다치 논리를 확장한 것.우카시비치・퍼지 논리의 확장이기도 하다.

이것들은, 모두 명제 논리(모델은 불리언 대수)를 확장한 것이다.

술어 퍼지 논리

명제 논리로부터 1층 술어 논리가 생성되도록(듯이), 상술의 퍼지 논리에 전칭량화자와 존재량화자를 추가한다고 술어 퍼지 논리가 된다.량화 된 논리식의 퍼지 진리치에 대해서, 전칭량화로는 하한, 존재량화로는 상한을 의미한다.

퍼지 논리와 결정 가능성

「결정 가능 부분 집합」이나 「귀납적가산부분 집합」은 고전 수학과 고전 논리의 기본이다.그러자(면) 당연히, 퍼지 집합론에 그것들을 확장한다고 하는 문제가 생긴다.이러한 방향성의 최초의 제안은, E.S. Santos에 의한 「퍼지・튜링 기계」, 「마르코후 정규 퍼지 알고리즘」, 「퍼지・프로그램」의 제창이었던[5].거기에 계속 되어 L. Biacino와 G. Gerla [6]이 그러한 정의가 적정이 아닌 것을 나타내 보여, 다음과 같은 것을 제안했다.U는[0,1]의 유리수의 집합을 의미한다.

퍼지 집합 S의 퍼지 부분 집합 s : S [0,1]이 「귀납적가산」인 것은, 귀납적 사상 h : S×N U 하지만 존재하는 경우로, 그것은 즉 S의 모든 x에 대해 함수 h(x, n)가 n에 대응해 증가해, s(x) = lim h(x, n)가 되는 경우이다.s가 「결정 가능」인 것은, s와 그 여집합□s가 모두 「귀납적가산」의 경우이다.Gerla 2006으로 L-부분 집합의 일반 케이스로의 이러한 이론의 확장이 나타나고 있다.제안되고 있는 정의는 퍼지 논리와도 잘 정합하고 있다.실제, 다음 정리가 성립된다(퍼지 논리의 추론 기구가 분명한 유효적 특성을 채워 있다면).

정리
어떠한 공리화 가능한 퍼지 이론도 귀납적가산이다.일반적으로 타당한 논리식의 크리스프 집합이 귀납적가산이 아니다고 해도, 논리적으로 진인 논리식의 퍼지 집합은 귀납적가산이다.게다가 공리화 가능하고 완전한 임의의 이론은 결정 가능하다.

퍼지 부분 집합의 귀납적가산성에 대한 제안된 관념이 적정한 것이라고 해도, 퍼지 논리에 대해 교회=튜링의 정립이 성립될지 어떨지는 미해결의 문제이다.그러기 위해서는, 퍼지 문법이나 퍼지・튜링 기계의 새로운 연구가 필요한[7].한층 더 그 전에 있는 미해결의 문제로서 괴델의 정리군의 퍼지 논리 전용의 확장이 있다.

퍼지・데이터 베이스

퍼지 관계가 정의되면, 퍼지 관계 데이터 베이스를 개발할 수도 있다.세계 최초의 퍼지 관계 데이터 베이스 FRDB는, Maria Zemankova가 논문으로 발표했다.그 후 Buckles-Petry 모델, Prade-Testemale 모델, Umano-Fukami 모델, GEFRED 모델이라고 하는 모델도 만들어지고 있다.퍼지・데이터 베이스라고 하는 의미로는, 쿠에리를 위한 퍼지 문의 언어도 몇개인가 정의되고 있어 SQLf, FSQL등이 있다.이것들은 SQL문에, 퍼지적 요소(퍼지 조건, 퍼지 연산, 퍼지 제약, 퍼지 제한, 퍼지 해 귀의치, 언어 라벨등)를 도입한 구조를 정의하고 있다.

확률론이라는 비교

퍼지 논리도 확률도 애매함을 다른 방법으로 표현하고 있다.퍼지 논리도 확률론도 주관적 신념을 표현할 수 있지만, 퍼지 집합론으로는 멘바십의 개념을 사용해, 확률론으로는 베이즈 확률의 개념을 사용한다.이 구별은 주로 사상적인 물건이지만, 퍼지 논리에 근거하는 확률측도는 확률론의 확률측도와는 본질적으로 달라, 직접적으로 등가는 아니다.통계학자의 상당수는 블르노・데・피넷티의 실적을 믿고 있어, 수학적 애매함을 논하는 이론은 1개로 충분하고 , 퍼지 논리는 불필요하다고 생각하고 있다.한편 바트・코스코는, 확률로는 일종류의 애매함 밖에 나타낼 수 없으니까, 확률론이 퍼지 논리에 포함 된다고 했다.그는 또, 퍼지 집합론의 개념으로부터 베이즈의 정리를 도출할 수 있는 것을 증명했다고 주장하고 있다.퍼지 논리를 낳은 로트피・더 데이는, 퍼지 논리는 확률과는 다른 성격을 가진다고 해, 확률을 대체하는 것은 아니라고 했다.그는 확률론의 대체가 되는 Possibility Theory도 낳고 있는[8].

각주・출전

[헬프]
  1. ^"Fuzzy Logic". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Stanford University (2006년 7월 23일). 2008년 9월 29일 열람.
  2. ^ Zadeh, L.A. (1965). "Fuzzy sets", Information and Control 8 (3): 338□353.
  3. ^ Novak, V., Perfilieva, I. and Mockor, J. (1999) Mathematical principles of fuzzy logic Dodrecht: Kluwer Academic. ISBN 0-7923-8595-0
  4. ^ Zadeh, L. A. et al. 1996 Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Fuzzy Systems, World Scientific Press, ISBN 9810224214
  5. ^ Santos 1970
  6. ^ Biacino & Gerla 2002
  7. ^ Wiedermann 2004
  8. ^ Novak, V. Are fuzzy sets a reasonable tool for modeling vague phenomena?, Fuzzy Sets and Systems 156 (2005) 341—348.

참고 문헌

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