벳치수

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벳치수(Betti numbers)와는 위상 공간에 대한 불변량으로 자연수에 값을 가진다.

원환체는 하나의 연결 성분(b₀)을 가지고 있고, 두 개의 원상의 구멍(b₁)(하나는 중심을 원점으로 하는 엔으로, 또 하나는, 관 모양이 되어 있는 중의 원상의 부분)여,2-차원의 내용이 없는 부분을 안에 가지는(내부가 관 모양이 되고 있다) 것이 하나(b₂)이므로, 벳치수는 1(b₀), 2(b₁), 1(b₂)이 된다.

오른쪽의 그림과 같은 원환체를 생각한다.이 원환체에 단면이 원주가 되도록(듯이) 베인 자국을 넣었을 때, 그 결과 두 개의 피스로 나누어지지 않는 자르는 방법이, 구멍의 주위에 따라 일주 하는 방법과 세로에 절단 하는 방법의 2통리 있다.이것으로부터 원환체의 1차 벳치수는 2인[¹].직감적인 말을 사용하면, 벳치수는 여러가지 차원의「구멍」의 수이다.예를 들면, 엔의 1차 벳치수는 1이며, 일반적인 프레트르(pretzel)의 경우는, 1차 벳치수는 구멍의 수의 2배가 된다.

벳치수는, 오늘, 수학 뿐만 아니라 계산기 과학이나 디지털 화상등의 분야에서도 연구되고 있다.

「벳치수」라고 하는 말은, 엔리코・벳치(Enrico Betti)에 연관되어, 앙리・포안카레(Henri Poincare)에 의해 명명되었다.

목차

정의

비부의 정수를 k로서 공간 X의 k다음 벳치수b_k(X)는, X의 k다음 동성애 연구학군H_k(X)의 랭크로서 정의된다.동성애 연구학군은 유리수체 Q상의 벡터 공간으로 할 수도 있으므로, H_k(X; Q)의 벡터 공간의 차원으로서 벳치수를 정의할 수도 있다.보편 계수 정리는, 비틀 수 있는이 없는 단순한 경우에는(계수의 취하는 방법에 의존하지 않고) 이러한 정의가 같은 것을 나타내고 있다.

또 벳치수를 계수 짐다항식으로서 포안카레 다항식을 정의한다.즉, X의 포안카레 다항식 P_X(t)와는 b₀(X)+b₁(X) t+b₂(X) t²+...+b_n(X) tⁿ이다.

예

단체복체

위의 그림과 같은 단체복체로의 벳치수를 계산한다.이것은0-단체로서 a, b, c, d, 1-단체로서 E, F, G, H, I, 2-단체로서 색이 붙은 부분 J다만 하나를 가지는 것이다.이 그림의 연결 성분은 단지 하나이며, 1 차원의 구멍은 색이 붙지 않은 부분 즉 정점 a, c, d를 가지는 삼각형의 부분이다.또 평면상에 있어, 「공동」을 갖지 않는다.이상의 일로부터 b₀=1, b₁=1, b₂=0이며, 포안카레 다항식은 1+t가 된다.

그래프 이론

위상적 그래프 이론(영문판)으로는, 정점 n개, m책의 옆, k개의 연결 성분을 가진 그래프 G의 1차 벳치수는, 다음 값에 동일하다.

${\displaystyle m-n+k.\ }$

이것은, 옆의 수에 대한 수학적 귀납법에 의해 직접 증명을 할 수 있다.즉, 새로운 옆1-사이클 분의수를 늘리지만, 혹은 옆의 연결 성분의 수를 하나 줄일까의 어느 쪽인지이다.

제일 벳치수는, 그스타후・키르히호후(Gustav Kirchhoff)가 벳치(Betti)의 논문 이전에 도입한 용어인 사이크로마틱크수(영문판)(cyclomatic number)라고도 불린다.^[2]제일 벳치수의 소프트웨어 공학에의 응용은, 순환적 복잡도를 참조.

그래프의 제0번째의 벳치수는, 연결 성분의 수k를 단순하게 의미하고 있다.^[3]

포안카레 다항식의 계산예

1. 엔에 대한 벳치수의 열은, 1, 1, 0, 0, 0, ...

   포안카레 다항식은,

   ${\displaystyle 1+x\,}$.

2. 2-원환체에 대한 벳치수의 열은 1, 2, 1, 0, 0, 0, ...

   포안카레 다항식은,

   ${\displaystyle (1+x)^{2}=1+2x+x^{2}\,}$.

3. 3-원환체에 대한 벳치수의 열은 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ...

   포안카레 다항식은,

   ${\displaystyle (1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}\,}$.

4. 같이 n-차원 원환체에 대해서

   포안카레 다항식은,

   ${\displaystyle (1+x)^{n}\,}$ (키넷트의 정리(영문판)에 의해), 벳치수는 이항 계수이다.

무한 차원의 복소투영 공간의 벳치수의 열은, 1, 0, 1, 0, 1, ... (와)과 주기적이 되므로, 주기의 길이는 2이다.이 경우는, 포안카레 함수는 다항식이 아니고, 무한 급수

${\displaystyle 1+x^{2}+x^{4}+\dotsb }$

된다.이것은, 기하급수이며, 다음 유리 함수로서 써 나타낼 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}=1+x^{2}+(x^{2})^{2}+(x^{2})^{3}+\dotsb .}$

컴팩트한 단순 리군의 포안카레 다항식은,

${\displaystyle P_{SU(n+1)_{}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{5})...(1+x^{2 n+1})}$

${\displaystyle P_{SO(2 n+1)_{}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{7})...(1+x^{4 n-1})}$

${\displaystyle P_{Sp(n)_{}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{7})...(1+x^{4 n-1})}$

${\displaystyle P_{SO(2 n)_{}}(x)=(1+x^{2 n-1})(1+x^{3})(1+x^{7})...(1+x^{4 n-5})}$

${\displaystyle P_{G_{2}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{11})}$

${\displaystyle P_{F_{4}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{11})(1+x^{15})(1+x^{23})}$

${\displaystyle P_{E_{6}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{9})(1+x^{11})(1+x^{15})(1+x^{17})(1+x^{23})}$

${\displaystyle P_{E_{7}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{11})(1+x^{15})(1+x^{19})(1+x^{23})(1+x^{27})(1+x^{35})}$

${\displaystyle P_{E_{8}}(x)=(1+x^{3})(1+x^{15})(1+x^{23})(1+x^{27})(1+x^{35})(1+x^{39})(1+x^{47})(1+x^{59})}$

된다.

성질

(유리)벳치수b_k(X)는, 동성애 연구학군의 임의의 뒤틀림 부분군(torsion)을 고려에 넣지는 않지만, 그러나, 매우 기본적인 위상 불변량이다.

유한의 단체복체의 경우는, 동성애 연구학군H_k(X, Z)는 모든 k로 유한 랭크이며, 또 k가 단체의 차원을 넘고 있는 경우는 0이다.

유한의 CW-복체 K에 대해,

${\displaystyle \chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}b_{i}(K,F),\,}$

하지만 성립된다.여기에 ${\displaystyle \chi (K)}$ (은)는 K의 나-표수를 나타내, F는 임의의 몸이다.

2개의 공간 X와 Y에 대해

${\displaystyle P_{X\times Y}=P_{X}P_{Y},\,}$

하지만 성립된다.여기에 P_X는 X의 포안카레 다항식(Poincarepolynomial)(보다 일반적으로는, 무한 차원의 공간에 대해서는 포안카레 급수(영문판)), 즉 X의 벳치수의 어머니 함수이다

${\displaystyle P_{X}(z)=b_{0}(X)+b_{1}(X)z+b_{2}(X)z^{2}+\cdots ,\,\!}$

이다.키넷트의 정리(영문판)(Kunneth theorem)를 참조.

X를 향해 붙여 가능한 폐다양체로 n차원으로 하면, 임의의 k에 대해 k와 n－k를 바꿔 넣는 포안카레 상대성

${\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X),\,\!}$

하지만 있다.

동성애 연구학군이 뒤틀림을 가지지 않을 때, 벳치수는 계수체 F에 의하지 않고 정해진다.소수 p에 대해 정수 계수 동성애 연구학군의 p-torsion는 표수p를 가지는 계수체 F의 벳치수b_i(X, F)를 이용해(단순한 경우에는, Tor함수를 기초로 한다) 보편 계수 정리에 의해 상세하게 구할 수 있다.

미분 형식의 공간의 차원과의 관계

X가 폐다양체 때, 벳치수는 드・람코호모로지의 차원을 내린다.폐형식의 공간을 완전 형식의 공간에서 깬 상공간의 차원을 내린다.이것은 드・람의 정리와 동성애 연구학론의 보편 계수 정리에 의해 얻을 수 있다. 또 X가 리만 다양체이면, 홋지 이론에 의하면 벳치수는 조화 형식의 공간의 차수를 주는 것을 알 수 있다.

모스 이론에 의해 벳치수의 교대화와 대응하는 적절한 모스 함수의 임계점(critical point)의 수N_i의 교대화에 관한 부등식이 이하와 같이 주어진다.

${\displaystyle b_{i}(X)-b_{i-1}(X)+\cdots \leq N_{i}-N_{i-1}+\cdots .}$

윗텐은, 모스 함수를 사용해 이러한 부등식의 설명을 하고, 드・람복체의 밖미분을 변형했다.^[4]

참고 문헌

1. ^ Barile, and Weisstein, Margherita and Eric. "Betti number". From MathWorld--A Wolfram Web Resource.. 2014년 2월 26일 열람.
2. ^ Peter Robert Kotiuga (2010). A Celebration of the Mathematical Legacy of Raoul Bott. American Mathematical Soc.. p. 20. ISBN 978-0-8218-8381-5. http://books.google.com/books?id=mqLXi0FRIZwC&pg=PA20. 
3. ^ Per Hage (1996). Island Networks: Communication, Kinship, and Classification Structures in Oceania. Cambridge University Press. p. 49. ISBN 978-0-521-55232-5. http://books.google.com/books?id=ZBdLknuP0BYC&pg=PA49. 
4. ^ Witten, Edward (1982). Supersymmetry and Morse theory. J. Differential Geom. 17 (1982), no. 4, 661□692.

• Warner, Frank Wilson (1983), Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, New York: Springer, ISBN 0-387-90894-3 .
• Roe, John (1998), Elliptic Operators, Topology, and Asymptotic Methods, Research Notes in Mathematics Series, 395 (Second ed.), Boca Raton, FL: Chapman and Hall, ISBN 0-582-32502-1 .

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