알렉산더의 정리

수학에 있고, 알렉산더의 정리(Alexander's theorem)는, 모든 매듭, 혹은 관련되어 눈은 닫은 브레이드로서 표현할 수 있다고 하는 정리이다.정리의 명명은, 제임스・알렉산더(영문판)(J. W. Alexander)에 연관되고 있다.

폐브레이드(영문판)(closed braid)는, 처음은 알렉산더에 의해 매듭 이론의 툴로서 생각되었다.이것으로부터 매듭과 브레이드에 관한 2의 다음과 같은 기본적인 문제를 직접, 정식화할 수 있다.제일에,

주어진 매듭을 항상 폐브레이드에 변환하는 것이 가능한가 아닌가?

알렉산더의 정리 Alexander (1923)는, 이 문제에의 긍정적인 대답을 준다.매듭과 브레이드의 사이의 대응이 1대 1이 아닌 것은 분명하고(예를 들어, 공역브레이드는 동치인 매듭을 가져온다), 이것으로부터 제2의 문제가 자연스럽게 이끌린다.

어떠한 폐브레이드가, 동일한 형태의 매듭을 표현하는지?

이 문제에 대답하는 것이, 마르코후의 정리이며, 임의의 2개의 브레이드를 관계 붙이는 「이동」(move)을 준다.

참고 문헌

• Alexander, James (1923). "A lemma on a system of knotted curves". Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 9: 93-95. 

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