최대공약수

40으로 15에 관한 다음 요소가 파묻힌 그림: 적(600), 상과 잉여(40÷15=2나머지 10), 최소 공배수(120), 최대공약수(5), 비(8:3)

기하학적으로 2개의 정수(W와 H) 및 그 최대공약수 및 최소 공배수를 길이로서 나타낼 수 있다.이 그림에서는, W와 H를 장방형의 폭과 높이에 할당해 최대공약수를 Euclid의 호제법에 근거하는 방법으로 길이로서 요구이고, 장방형의 면적(W와 H의 적)을 최대공약수로 나눈 결과적으로 최소 공배수도 길이로서 요구이고라고 있다.

최대공약수(최대 공약수, 영: greatest common divisor)란, 적어도 1개가 0이 아닌 복수의 정수의 공약수 중 최대의 것을 가리킨다.

자주 「G.C.D.」(이)나 「G.C.M. (Greatest Common Measure)」, 「G.C.F. (Greatest Common Factor)」, 「H.C.F. (Highest Common Factor)」등의 생략형으로 기술된다.

목차

정의

2이상의 정수 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ 의 최대공약수란,${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$  의 공약수 중 최대의 정정수이다.

즉,${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ (을)를

${\displaystyle a_{j}=\varepsilon _{j}\prod _{p\;\mathrm {prime} }p^{e_{p}(j)}\quad (e_{p}(j)\geq 0,\;\varepsilon _{j}=\pm 1)}$ 

(와)과 소인수 분해 했을 때,${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$  의 최대공약수는

${\displaystyle \prod _{p\;\mathrm {prime} }p^{\min\{e_{p}(1),\ldots ,e_{p}(n)\}}}$ 

그리고 주어진다.

예를 들면, 30으로 42의 공약수는 1, 2, 3, 6이기 때문에, 최대공약수는 6이다.

제개념

2이상의 정수 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$  의 최대공약수가 1일 때,${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$  (은)는 서로 순수하다라고 말한다.

정정수 a, b에 대해서, a와 b의 최대공약수 gcd (a, b)와 최소 공배수 lcm (a, b)와의 사이에는

${\displaystyle \operatorname {gcd} (a,b)\cdot \operatorname {lcm} (a,b)=ab}$ 

그렇다고 하는 관계가 있다.

그러나, 이 관계식은 3개 이상의 정정수에 대해서는 일반적으로는 성립하지 않는다.예를 들면, a = 2, b = 6, c = 15로 하면, gcd (a, b, c) = 1, lcm (a, b, c) = 30이지만, abc = 180이다.

다항식의 최대공약수

다항식의 공약수 가운데, 가장 차수의 높은 것을 최대공약수라고 한다.예를 들면,${\displaystyle x^{3}-x}$  (와)과 ${\displaystyle x^{3}+x^{2}-x-1}$  의 최대공약수는 ${\displaystyle x^{2}-1}$  이다.

다항식의 최대공약수는, 정수배를 제외하고 일의로 정해진다.

일반의 환의 경우

일반적으로 GCD정역(예를 들면 일의 분해정역)에 대해도, 최대공약수가(단원배를 제외하고 일의에) 존재한다.

참고 문헌

• 다카기 데이지 「초등 정수론 강의 제 2판」공동설립 출판, 도쿄, 1971년.

관련 항목

• Euclid의 호제법-대표적인 계산방법
• 공약수
• 공배수
• 최소 공배수
• 다항식

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