아티야=보트의 부동점정리

수학에 있어서의 아티야=보트의 부동점정리(아티야=보트노후 어떻게라고 라고 필요해, 영: Atiyah□Bott fixed-point theorem)란, 1960년대에 마이클・아티야와 라울・보트에 의해서 증명된 정리로, 매끄러운 다양체 M에 대한 레후시트의 부동점정리의 일반화로서 M상의 타원형복체를 취급하는 것이다.이것은 벡터속상의 타원형 미분 작용소의 계로, 원래의 레후시트의 부동점정리에 대해 나타나는 매끄러운 미분 형식으로부터 구성되는 드・람복체를 일반화하는 것이다.

목차

내용

고전적인 결과에 대하고, 매끄러운 사상

f:M→M

의 부동점의 정확한 공헌을 세기 위한 정수인 레후시트수에 대신하는 것을 찾아내는 것이 아이디어이다.직감적으로 말하면, 부동점이란, M×M에 있어서의 f의 그래프와 대각선(항등 사상의 그래프)과의 교점이며, 레후시트수는 교점수이다.아티야=보트의 정리는, 좌변이 포괄적 위상 기하학적(동성애 연구학적) 계산의 결과로, 우변은 f의 부동점으로의 국소적인 공헌의 화인 방정식이다.

M×M의 여차원(영문판)을 세는 것으로, f의 그래프와 대각선에 대한 횡단성의 가정은, 부동점의 집합이 반드시 0 차원인 것을 보증하는 것인 것을 안다.그러자(면) M를 폐다양체와 가정하는 것으로, 교점의 집합이 유한하고, 기대되는 분 정도식의 우변의 화도 유한이 된다.각 j에 대해, 벡터 E_j의 타원형복체, 즉

φ_j:f－¹ E_j→E_j

(으)로부터의 다발 사상(영문판)으로, 단면상에서 이끌리는 사상이 그 타원형복체의 자기 준동형 T인 물건에 관련하고, 새로운 데이터가 필요하다.그러한 T는, 레후시트수

L(T)

(을)를 가진다.여기서 정의보다, 이 레후시트수는 그 타원형복체의 동성애 연구학의 각 단계상의 트레이스의 교항급수이다.

이상의 준비아래에서, 아티야=보트의 부동점정리는, 다음 식에서 나타내진다.

L(T) =Σ(Σ(－1) ^j traceφ_{j, x})/δ(x).

여기서 트레이스φ_{j, x}는, f의 부동점x에 있어서의φ_j, 의 트레이스를 의미해,δ(x)는 자기 준동형 I－Df의 x로의 행렬식이다.단 Df는 f의 도함수(횡단성에 의해, 이것은 소실하지 않는다)이다.외측의 화는 부동점x에 관한 것으로, 안쪽의 화는 타원형복체의 첨자 j에 관한 것이다.

아티야=보트의 정리를, 매끄러운 미분 형식의 드・람복체에 특수화 하는 것으로, 원의 레후시트의 부동점정리가 이끌린다.아티야=보트의 정리의 유명한 응용으로서 리군의 이론에 있어서의 와일의 지표 공식으로 대하는 간단한 증명을 들 수 있는[^요설명].

역사

이 결과의 근원은 아티야=싱어의 지수 정리와 관련한다.거기에 관련하고, 과거에(특히 고립 부동점의 경우에 대해서) 사용되고 있던 「우즈 홀의 부동점정리」(Woods Hole fixed point theorem)이라고 하는 대신의 이름도 시사되고 있다.1964년에 우즈 홀에서 개최된 회의는, 여러가지 연구 그룹을 일동에게 모은 것이었다：

아이히라(영문판)는, 부동점정리와 보형형식의 관계에 대해 연구를 시작했다.시무라는, 1964년의 우즈 홀에서의 연구 집회에 대해 이것을 보트에 설명했다고 하는 점으로, 그 발전에 중요한 역할을 담당한[¹].

아티야는 다음 같게 말하고 있는[²]：

(연구 집회에서)…보트와 나는, 레후시트의 공식 마사노리 사상에의 일반화에 관한 시무라의 예상을 (들)물었다.그 후 다대한 노력의 결과, 이 타입의 일반적인 공식이 존재한다고 하는 확증을 우리는 얻었다.

그 후, 그들은 타원형복체에 대해서 이론을 확장하고 있다.

그 회의도 참가한 윌리엄・풀 톤(영문판)의 회상으로는, 처음 증명을 제공한 것은 쟌・루이・베르디에(영문판)이라고 되고 있다.

관련 항목

• 보트의 류수공식(영문판)

각주

1. ^ http://www.math.ubc.ca/~cass/macpherson/talk.pdf
2. ^ Collected Papers III p.2.

참고 문헌

• M. F. Atiyah; R. Bott A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Differential Operators. Bull. Am. Math. Soc. 72 (1966), 245□50. This states a theorem calculating the Lefschetz number of an endomorphism of an elliptic complex.
• M. F. Atiyah; R. Bott A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: I II. Applications The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 86, No. 2 (Sep., 1967), pp. 374□407 and Vol. 88, No. 3 (Nov., 1968), pp. 451□491. These gives the proofs and some applications of the results announced in the previous paper.

외부 링크

• [1]

「https://ja.wikipedia.org/w/index.php? title=아티야=보트의 부동점정리&oldid=63140021」으로부터 취득

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