카라테오드리 계량

수학의 분야에 있어서의 카라테오드리 계량이란, 복소바낫하 공간의 개단위구상에 정의되는 계량으로, 쌍곡기하학에 있어서의 포안카레 계량과 유사한 성질을 많이 가진다.그리스의 수학자인 콘스탄틴・카라테오드리의 이름에 연관된다.

목차

정의

(X,□□)(을)를 복소바낫하 공간으로 해, B를 X내의 단위개구로 한다.Δ(을)를 복소헤이면C내의 개단위엔판으로 하면, 그것은 이차원실/일차원복소의 쌍곡기하의 포안카레 원판 모델이라고 보여진다.Δ위의 포안카레 계량ρ을

${\displaystyle \rho (a,b)=\tanh ^{-1}{\frac {|a-b|}{|1-{\bar {a}}b|}}}$

그리고 준다(따라서, 곡율은-4에 고정된다).이 때, B상의 카라테오드리 계량 d는

${\displaystyle d(x,y)=\sup\{\rho (f(x),f(y))\mid f\colon B\to \Delta {\mbox{ is holomorphic}}\}}$

(이)라고 정의된다.여기서, 바낫하 공간상의 함수가 마사노리(holomorphic)인 것의 의미에 대해서는, 기사 무한 차원 마사노리성(영문판)이 참조되고 싶다.

성질

• B내의 임의의 점x에 대해서

${\displaystyle d(0,x)=\rho (0,x)}$

하지만 성립된다.

• d는 다음 식에서도 주어진다(카라테오드리는, 이것은 에르하르트・슈미트에 의해서 얻을 수 있던 결과이다고 하고 있다):

${\displaystyle d(x,y)=\sup \left\{\left.2\tanh ^{-1}\left{\frac {f(x)-f(y)}{2}}\right\;\right|\;f\colon B\to \Delta {\mbox{ is holomorphic}}\right\}}$

• B내의 모든 a 및 b에 대해서

${\displaystyle a-b\leq 2\tanh {\frac {d(a,b)}{2}}\qquad (1)}$

하지만 성립한다.또, 이 등호가 성립되기 위한 필요 충분조건은, a = b이든가, 혹은□□□= 1으로□(a + b) = 0 및

${\displaystyle \rho (\ell (a),\ell (b))=d(a,b)}$

(을)를 채우는 유경계선형범함수□∈X□가 존재하는 것이다.게다가 이러한 3죠건을 채우는□은 어떠한 것이어도 |□(a－b)| = □a－b□를 채운다.

• 또,□a□=□b□및□a－b□=□a□+□b□가 성립하고 있는 경우에도, (1)에 있어서의 등호는 성립한다.이것을 성립시키기 위한 하나의 방법으로서 b =－a로 하는 것을 생각할 수 있다.

• X내의 폐단위구의 단 점은 아닌 듯한, X내의 단위벡터 u가 존재한다면, (1)에 두어 등호가 성립하지만 b≠±a인 B내의 점a와 b가 존재한다.

접벡터의 카라테오드리 장

구 B에의 접벡터에 대한 카라테오드리장(Caratheodory length)이라고 하는 개념이 있다.x를 B의 점으로 해, v를 x에 있어서의 B에의 접벡터로 한다.B는 벡터 공간 X내의 개단위구이기 위해, 접공간 T_xB는 자연스러운 방법에 따르고 X와 관련지을 수 있어 v는 X의 원으로 보여진다.이 때, x에 있어서의 v의 카라테오드리장α(x, v)은

${\displaystyle \alpha (x,v)=\sup\{|Df(x)v|\mid f\colon B\to \Delta {\mbox{ is holomorphic}}\}}$

(이)라고 정의된다.α(x, v)□□v□이며, 등호는 x = 0일 때 성립되는 것이 나타난다.

관련 항목

• 에아레이하미르톤의 부동점정리（영문판）

참고 문헌

• Earle, Clifford J. and Harris, Lawrence A. and Hubbard, John H. and Mitra, Sudeb (2003). "Schwarz's lemma and the Kobayashi and Caratheodory pseudometrics on complex Banach manifolds". In Komori, Y., Markovic, V. and Series, C. (eds). Kleinian groups and hyperbolic 3-manifolds (Warwick, 2001). London Math. Soc. Lecture Note Ser. 299. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 363□384. 

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