미카에리스・멘텐식

미카에리스・멘텐식의 플롯

미카에리스・멘텐식(미카에리스・멘텐 깔아, 영: Michaelis-Menten equation)이란, 효소의 반응속도론에 큰 실적을 남긴 레오노르・미카에리스와 모드・레오노라・멘텐에 연관된, 효소의 반응속도 v에 관한 식에서,

$v\equiv {\frac {d[\mathrm {P} ]}{dt}}={\frac {V_{\mathrm {max} }[\mathrm {S} ]}{K_{m}+[\mathrm {S} ]}}$ $v\equiv {\frac {d[{\mathrm {P}}]}{dt}}={\frac {V_{{\mathrm {max}}}[{\mathrm {S}}]}{K_{m}+[{\mathrm {S}}]}}$

그리고 나타내진다.여기서,[S]는 기질 농도, V_max는 기질 농도가 무한대 때의 반응속도이다.또, K_m는 미카에리스・멘텐 정수라고 말해, v = V_max /2(최대 속도의 반의 속도)를 주는 기질 농도를 나타낸다.이 식을 기초로 한 모델을 미카에리스・멘텐 동역학(Michaelis-Menten kinetics)이라고 한다.

이 식에 의해, 반응속도 v는

기질 농도가 낮은([S] << K_m ) 때는 그 농도에 비례
기질 농도가 높다([S] >> K_m ) 때는 그 농도에 무관계하게 최대 속도 V_max에 수습

되는 것을 아는[¹].

해석해

미카에리스・멘텐식은 좌변에 기질 S의 농도의 시간 미분을 가지는 미분 방정식이다.이 방정식은 변수 분리형으로 해 적분 하는 것으로 풀 수 있지만, 해는 초등 관수로 표현할 수 있는 형태에는 안되어, 람벨토의 W함수 W를 이용하고 이하와 같이 나타내진다.

$[\mathrm {S} ](t)=K_{m}W\left({\frac {1}{K_{m}}}{\exp \left[{\frac {tV_{max}+C}{K_{m}}}\right]}\right)$ $[{\mathrm {S}}](t)=K_{m}W\left({\frac {1}{K_{m}}}{\exp \left[{\frac {tV_{{max}}+C}{K_{m}}}\right]}\right)$

여기서 C는 적분 정수이다.

실험에 의한 파라미터의 결정

2개의 파라미터, V_max와 미카에리스・멘텐 정수 K_m의 값은 실험으로는 헤인즈=울프 플롯이나 코닛슈보덴의 직접적 직선 플롯으로 요구할 수 있다.또는

v^{{-1}}={\frac {1}{V_{{\mathrm {max}}}}}+{\frac {K_{m}}{V_{{\mathrm {max}}}}}[{\mathrm {S}}]^{{-1}}

(와)과 식 변형할 수 있기 위해, 횡축에[S]^-1을, 세로축에 v^-1을 취해 플롯 하면 직선이 되어, 최소 이승법등을 이용해 요구할 수도 있다.이것을 라인 위버・버크의 플롯[²]또는 양역수 플롯이라고 한다.

도출

신속 평형법에 따르는 도출

효소(이하 E)가 기질(이하 S)과 결합해 효소 기질 복합체(이하 ES)를 형성, ES가 E와 S로 돌아올까 반응 생성물(이하 P)을 생성하는 일련의 반응 기구를 이하와 같이 가정한다.

$E+S\,{\overset {k_{+1}}{\underset {k_{-1}}{\rightleftharpoons }}}\,ES\,{\overset {k_{+2}}{\longrightarrow }}\,E+P$ $E+S\,{\overset {k_{{+1}}}{{\underset {k_{{-1}}}\rightleftharpoons }}}\,ES\,{\overset {k_{{+2}}}{\longrightarrow }}\,E+P$

이 반응은 $\mathrm {E} +\mathrm {S} \Leftrightarrow \mathrm {ES}$ ${\mathrm {E}}+{\mathrm {S}}\Leftrightarrow {\mathrm {ES}}$ (와)과 $\mathrm {ES} \rightarrow \mathrm {E} +\mathrm {P}$ ${\mathrm {ES}}\rightarrow {\mathrm {E}}+{\mathrm {P}}$ 의 2개의 반응 과정으로부터 되어 있다.후자의 반응을 률속단계와 가정해 반응속도 정수를 k +2와 설정한다.

$k_{+2}=\mathrm {ES} \rightarrow \mathrm {E} +\mathrm {P}$ $k_{{+2}}={\mathrm {ES}}\rightarrow {\mathrm {E}}+{\mathrm {P}}$

$\mathrm {E} +\mathrm {S} \Leftrightarrow \mathrm {ES}$ ${\mathrm {E}}+{\mathrm {S}}\Leftrightarrow {\mathrm {ES}}$ 의 반응은 신속히 화학 평형에 이르고 있으면 가정해, 해리 정수를 K _s와 설정한다.

$K_{\mathrm {s} }={\frac {[\mathrm {E} ][\mathrm {S} ]}{[\mathrm {ES} ]}}\cdots (1)$ $K_{{\mathrm {s}}}={\frac {[{\mathrm {E}}][{\mathrm {S}}]}{[{\mathrm {ES}}]}}\cdots (1)$

가정되고 있는 반응계에 존재하는 효소종은, 기질과 결합하고 있지 않는 효소 E와 기질 S와 결합한 효소 ES의 2 종류만이므로, 전효소 농도[E]₀은 양자의 농도의 화에 동일하다.

$[\mathrm {E} ]+[\mathrm {ES} ]=[\mathrm {E} ]_{0}\cdots (2)$ $[{\mathrm {E}}]+[{\mathrm {ES}}]=[{\mathrm {E}}]_{0}\cdots (2)$

[ES] (을)를 미지수로서(1), (2)의 연립 방정식을 풀면,

$[\mathrm {ES} ]={\frac {[\mathrm {E} ]_{0}[\mathrm {S} ]}{K_{\mathrm {s} }+[\mathrm {S} ]}}\cdots (3)$ $[{\mathrm {ES}}]={\frac {[{\mathrm {E}}]_{0}[{\mathrm {S}}]}{K_{{\mathrm {s}}}+[{\mathrm {S}}]}}\cdots (3)$

최초로 가정한 반응 기구로는 단위시간 당에 세균이 고분자물질을 생합성하는 되는 반응 산물 P의 양은 효소 기질 복합체 ES와 속도 정수 k +2의 적으로 주어진다.

$v={\frac {d[\mathrm {P} ]}{dt}}=k_{+2}[\mathrm {ES} ]\cdots (4)$ $v={\frac {d[{\mathrm {P}}]}{dt}}=k_{{+2}}[{\mathrm {ES}}]\cdots (4)$

(3)(을)를(4)에 대입하고,

$v={\frac {k_{+2}[\mathrm {E} ]_{0}[\mathrm {S} ]}{K_{\mathrm {s} }+[\mathrm {S} ]}}\cdots (5)$ $v={\frac {k_{{+2}}[{\mathrm {E}}]_{0}[{\mathrm {S}}]}{K_{{\mathrm {s}}}+[{\mathrm {S}}]}}\cdots (5)$

(4)식으로부터 반응속도 v는[ES]에 비례하는 것을 알 수 있지만,[ES]의 최대치는(2) 식보다[E]₀이다.따라서 반응속도 v의 최대치 V _max는 차식이 된다.

$V_{\mathrm {max} }=k_{+2}[\mathrm {E} ]_{0}\cdots (6)$ $V_{{\mathrm {max}}}=k_{{+2}}[{\mathrm {E}}]_{0}\cdots (6)$

(5), (6)보다 ,

$v={\frac {V_{\mathrm {max} }[\mathrm {S} ]}{K_{\mathrm {s} }+[\mathrm {S} ]}}$ $v={\frac {V_{{\mathrm {max}}}[{\mathrm {S}}]}{K_{{\mathrm {s}}}+[{\mathrm {S}}]}}$

정상 상태법에 따르는 도출

신속 평형법으로는 $\mathrm {E} +\mathrm {S} \Leftrightarrow \mathrm {ES}$ ${\mathrm {E}}+{\mathrm {S}}\Leftrightarrow {\mathrm {ES}}$ 하지만 신속히 평형에 이르면 가정되고 있기 때문에, $\mathrm {ES} \rightarrow \mathrm {E} +\mathrm {P}$ ${\mathrm {ES}}\rightarrow {\mathrm {E}}+{\mathrm {P}}$ 의 속도 정수가 $\mathrm {E} +\mathrm {S} \Leftrightarrow \mathrm {ES}$ ${\mathrm {E}}+{\mathrm {S}}\Leftrightarrow {\mathrm {ES}}$ 의 속도 정수보다 훨씬 작은 반응 밖에 성립되지 않는다.정상 상태법에 따라 요구하는 것으로 일반의 반응에서도 같은 식이 성립되는 것이 증명된다.

반응 기구는 같이로, $\mathrm {E} +\mathrm {S} \Leftrightarrow \mathrm {ES}$ ${\mathrm {E}}+{\mathrm {S}}\Leftrightarrow {\mathrm {ES}}$ 에 붙어 오른쪽 방향의 속도 정수를 k₊₁, 좌향의 속도 정수를 k_-1으로 한다.

정상 상태로는 각 효소종의 경시적 농도 변화는 없기 때문에,

{\begin{aligned}{\frac {d[{\mathrm {E}}]}{dt}}&=(k_{{-1}}+k_{{+2}})[{\mathrm {ES}}]-k_{{+1}}[{\mathrm {E}}][{\mathrm {S}}]=0\cdots (1)\\{\frac {d[{\mathrm {ES}}]}{dt}}&=k_{{+1}}[{\mathrm {E}}][{\mathrm {S}}]-(k_{{-1}}+k_{{+2}})[{\mathrm {ES}}]=0\cdots (2)\end{aligned}}

이 반응 기구로는 E와 ES 밖에 효소종이 존재하지 않기 때문에

$[\mathrm {E} ]+[\mathrm {ES} ]=[\mathrm {E} ]_{0}\cdots (3)$ $[{\mathrm {E}}]+[{\mathrm {ES}}]=[{\mathrm {E}}]_{0}\cdots (3)$

반응 산물은 ES보다 k₊₂의 속도로 생성되므로

$v={\frac {d[\mathrm {P} ]}{dt}}=k_{+2}[\mathrm {ES} ]\cdots (4)$ $v={\frac {d[{\mathrm {P}}]}{dt}}=k_{{+2}}[{\mathrm {ES}}]\cdots (4)$

(1)또는(2) 식과(3) 식을 연립 방정식으로 간주하고[ES]를 요구하면

$[\mathrm {ES} ]={\frac {k_{+1}[\mathrm {E} ]_{0}[\mathrm {S} ]}{k_{-1}+k_{+2}+k_{+1}[\mathrm {S} ]}}\cdots (5)$ $[{\mathrm {ES}}]={\frac {k_{{+1}}[{\mathrm {E}}]_{0}[{\mathrm {S}}]}{k_{{-1}}+k_{{+2}}+k_{{+1}}[{\mathrm {S}}]}}\cdots (5)$

(5)식을(4) 식에 대입해 속도 v를 얻은 후, 분자 분모를 k₊₁으로 나눈다.

$v={\frac {k_{2}[\mathrm {E} ]_{0}[\mathrm {S} ]}{{\frac {k_{-1}+k_{+2}}{k_{+1}}}+[\mathrm {S} ]}}\cdots (6)$ $v={\frac {k_{2}[{\mathrm {E}}]_{0}[{\mathrm {S}}]}{{\frac {k_{{-1}}+k_{{+2}}}{k_{{+1}}}}+[{\mathrm {S}}]}}\cdots (6)$

속도 파라미터로서

V_{{\mathrm {max}}}=k_{{+2}}[{\mathrm {E}}]_{0},\quad K_{m}={\frac {k_{{-1}}+k_{{+2}}}{k_{{+1}}}}

(이)라고 정의하면, (6) 식은

$v={\frac {V_{\mathrm {max} }[\mathrm {S} ]}{K_{m}+[\mathrm {S} ]}}$ $v={\frac {V_{{\mathrm {max}}}[{\mathrm {S}}]}{K_{m}+[{\mathrm {S}}]}}$

된다.

저해가 있는 경우의 미카에리스・멘텐식

저해란 어떠한 이유로 반응이 늦어지는 것으로, 효소 반응의 저해에는

기질 저해
경쟁 저해(경합 저해)
비경쟁 저해(비경합 저해)
불경쟁 저해(불경합 저해)
혼합형 저해

등의 종류가 있다.전술의 양역수 플롯오사우와 이것들을 분별할 수 있다.

기질 저해

다음 그림과 같이 효소 기질 복합체가 한층 더 기질과 결합해 불활성이 되는 경우를 말한다.

$\mathrm {ES} +\mathrm {S} \,{\overset {K_{\mathrm {ss} }}{\rightleftharpoons }}\,\mathrm {ESS}$ ${\mathrm {ES}}+{\mathrm {S}}\,{\overset {K_{{\mathrm {ss}}}}\rightleftharpoons }\,{\mathrm {ESS}}$

이 경우의 해리 정수는

$K_{\mathrm {ss} }={\frac {[\mathrm {ES} ][\mathrm {S} ]}{[\mathrm {ESS} ]}}$ $K_{{\mathrm {ss}}}={\frac {[{\mathrm {ES}}][{\mathrm {S}}]}{[{\mathrm {ESS}}]}}$

포함되는 효소종은 E, ES와 ESS의 3 종류이므로, 전효소 농도는

$[\mathrm {E} ]_{0}=[\mathrm {E} ]+[\mathrm {ES} ]+[\mathrm {ESS} ]$ $[{\mathrm {E}}]_{0}=[{\mathrm {E}}]+[{\mathrm {ES}}]+[{\mathrm {ESS}}]$

그 외의 값은 신속 평형법으로 미카에리스・멘텐식을 요구했을 때 그대로로 연립 방정식을 만들어[ES]를 요구하면,

$[\mathrm {ES} ]={\frac {[\mathrm {E} ]_{0}[\mathrm {S} ]}{K_{s}+[\mathrm {S} ]+[\mathrm {S} ]^{2}/K_{\mathrm {ss} }}}$ $[{\mathrm {ES}}]={\frac {[{\mathrm {E}}]_{0}[{\mathrm {S}}]}{K_{s}+[{\mathrm {S}}]+[{\mathrm {S}}]^{2}/K_{{\mathrm {ss}}}}}$

이것을 v = k₊₂ [ES]에 대입해 파라미터 V_max로 바꾸면,

$v={\frac {V_{\mathrm {max} }[\mathrm {S} ]}{K_{s}+[\mathrm {S} ]+[\mathrm {S} ]^{2}/K_{\mathrm {ss} }}}$ $v={\frac {V_{{\mathrm {max}}}[{\mathrm {S}}]}{K_{s}+[{\mathrm {S}}]+[{\mathrm {S}}]^{2}/K_{{\mathrm {ss}}}}}$

경쟁 저해

경쟁 저해와는 기질과 저해제(이하, I)가 효소의 같은 활성 중심으로 결합하는 경우에 일어나는 저해.

반응 기구는 차식대로.

$\mathrm {E} +\mathrm {S} \,{\overset {K_{s}}{\rightleftharpoons }}\,\mathrm {ES} \,{\overset {k_{+2}}{\longrightarrow }}\,\mathrm {E} +\mathrm {P}$ ${\mathrm {E}}+{\mathrm {S}}\,{\overset {K_{s}}\rightleftharpoons }\,{\mathrm {ES}}\,{\overset {k_{{+2}}}{\longrightarrow }}\,{\mathrm {E}}+{\mathrm {P}}$

$\mathrm {E} +\mathrm {I} \,{\overset {K_{i}}{\rightleftharpoons }}\,\mathrm {EI}$ ${\mathrm {E}}+{\mathrm {I}}\,{\overset {K_{i}}\rightleftharpoons }\,{\mathrm {EI}}$

기질과 저해제의 해리 정수는

$K_{i}={\frac {[\mathrm {E} ][\mathrm {I} ]}{[\mathrm {EI} ]}}$ $K_{i}={\frac {[{\mathrm {E}}][{\mathrm {I}}]}{[{\mathrm {EI}}]}}$

포함되는 효소종은 E, ES와 EI의 3 종류이므로, 전효소 농도는

$[\mathrm {E} ]_{0}=[\mathrm {E} ]+[\mathrm {ES} ]+[\mathrm {EI} ]$ $[{\mathrm {E}}]_{0}=[{\mathrm {E}}]+[{\mathrm {ES}}]+[{\mathrm {EI}}]$

다른 값은 신속 평형법으로 요구했을 때와 같고 연립 방정식을 만들어[ES]를 요구하면,

$[\mathrm {ES} ]={\frac {[\mathrm {E} ]_{0}[\mathrm {S} ]}{K_{s}(1+[\mathrm {I} ]/K_{i})+[\mathrm {S} ]}}$ $[{\mathrm {ES}}]={\frac {[{\mathrm {E}}]_{0}[{\mathrm {S}}]}{K_{s}(1+[{\mathrm {I}}]/K_{i})+[{\mathrm {S}}]}}$

이것을 v = k₊₂ [ES]에 대입해 파라미터 V_max로 바꾸면,

$v={\frac {V_{\mathrm {max} }[\mathrm {S} ]}{(1+[\mathrm {I} ]/K_{i})K_{s}+[\mathrm {S} ]}}$ $v={\frac {V_{{\mathrm {max}}}[{\mathrm {S}}]}{(1+[{\mathrm {I}}]/K_{i})K_{s}+[{\mathrm {S}}]}}$

비경쟁 저해

기질과 저해제가 효소의 다른 부위에 결합해, 양자가 서로 다른 결합에 영향을 미치지 않는 경우를 비경쟁 저해라고 한다.

반응 기구는 다음 그림대로：

해리 정수는, 기질이 유리의 효소에 결합할 때도 효소 저해제 복합체에 결합할 때도 같고, 저해제의 결합 정수도 동일한의로,

${\begin{aligned}K_{s}&={\frac {[\mathrm {E} ][\mathrm {S} ]}{[\mathrm {ES} ]}}={\frac {[\mathrm {EI} ][\mathrm {S} ]}{[\mathrm {ESI} ]}}\\K_{i}&={\frac {[\mathrm {E} ][\mathrm {I} ]}{[\mathrm {EI} ]}}={\frac {[\mathrm {ES} ][\mathrm {I} ]}{[\mathrm {ESI} ]}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}K_{s}&={\frac {[{\mathrm {E}}][{\mathrm {S}}]}{[{\mathrm {ES}}]}}={\frac {[{\mathrm {EI}}][{\mathrm {S}}]}{[{\mathrm {ESI}}]}}\\K_{i}&={\frac {[{\mathrm {E}}][{\mathrm {I}}]}{[{\mathrm {EI}}]}}={\frac {[{\mathrm {ES}}][{\mathrm {I}}]}{[{\mathrm {ESI}}]}}\end{aligned}}$

반응 기구안에 있는 효소종은 E, ES, EI와 ESI의 4 종류이므로, 전효소 농도는

$[\mathrm {E} ]_{0}=[\mathrm {E} ]+[\mathrm {ES} ]+[\mathrm {EI} ]+[\mathrm {ESI} ]$ $[{\mathrm {E}}]_{0}=[{\mathrm {E}}]+[{\mathrm {ES}}]+[{\mathrm {EI}}]+[{\mathrm {ESI}}]$

이 3개의 식에서 연립 방정식을 만들어,[ES]에 대해 요구하면,

$[\mathrm {ES} ]={\frac {[\mathrm {E} ]_{0}[\mathrm {S} ]}{(1+[\mathrm {I} ]/K_{i})(K_{s}+[\mathrm {S} ])}}$ $[{\mathrm {ES}}]={\frac {[{\mathrm {E}}]_{0}[{\mathrm {S}}]}{(1+[{\mathrm {I}}]/K_{i})(K_{s}+[{\mathrm {S}}])}}$

이것을 v = k₊₂ [ES]에 대입해 파라미터 V_max로 바꾸면,

$v={\frac {{\frac {V_{\mathrm {max} }}{1+[\mathrm {I} ]/K_{i}}}[\mathrm {S} ]}{K_{s}+[\mathrm {S} ]}}$ $v={\frac {{\frac {V_{{\mathrm {max}}}}{1+[{\mathrm {I}}]/K_{i}}}[{\mathrm {S}}]}{K_{s}+[{\mathrm {S}}]}}$

불경쟁 저해

기질과 저해제가 효소의 다른 부위에 결합하지만, 저해제는 유리의 효소에는 결합하지 못하고, 효소 기질 복합체에만 결합할 수 있는 경우를 불경쟁 저해라고 한다.

반응 기구는 다음 그림대로：

해리 정수는,

$K_{s}={\frac {[\mathrm {E} ][\mathrm {S} ]}{[\mathrm {ES} ]}}$ $K_{s}={\frac {[{\mathrm {E}}][{\mathrm {S}}]}{[{\mathrm {ES}}]}}$
$K_{i}={\frac {[\mathrm {ES} ][\mathrm {I} ]}{[\mathrm {ESI} ]}}$ $K_{i}={\frac {[{\mathrm {ES}}][{\mathrm {I}}]}{[{\mathrm {ESI}}]}}$

반응 기구안에 있는 효소종은 E, ES, ESI의 3 종류이므로, 전효소 농도는

$[\mathrm {E} ]_{0}=[\mathrm {E} ]+[\mathrm {ES} ]+[\mathrm {ESI} ]$ $[{\mathrm {E}}]_{0}=[{\mathrm {E}}]+[{\mathrm {ES}}]+[{\mathrm {ESI}}]$

이 3개의 식으로부터 연립 방정식을 만들어,[ES]에 대해 요구하면,

$[\mathrm {ES} ]={\frac {[\mathrm {E} ]_{0}[\mathrm {S} ]}{K_{s}+(1+[\mathrm {I} ]/K_{i})[\mathrm {S} ]}}$ $[{\mathrm {ES}}]={\frac {[{\mathrm {E}}]_{0}[{\mathrm {S}}]}{K_{s}+(1+[{\mathrm {I}}]/K_{i})[{\mathrm {S}}]}}$

이것을 v = k₊₂ [ES]에 대입해 파라미터 V_max로 바꾸면,

$v={\frac {{\frac {V_{\mathrm {max} }}{1+[\mathrm {I} ]/K_{i}}}[\mathrm {S} ]}{{\frac {K_{s}}{1+[I]/K_{i}}}+[\mathrm {S} ]}}$ $v={\frac {{\frac {V_{{\mathrm {max}}}}{1+[{\mathrm {I}}]/K_{i}}}[{\mathrm {S}}]}{{\frac {K_{s}}{1+[I]/K_{i}}}+[{\mathrm {S}}]}}$

혼합형 저해

이 마디의 가필이 바람직하고 있습니다.

참고 문헌

^오오타케전웅 「화학 공학Ⅲ」이와나미 서점, 1978년, 16 페이지.ISBN 4-00-021103-X。
^ A. G. Whittaker; A. R. Mount; M. R. Heal; 나카무라 히로시남 (뜻)이유 「키노트 화학 시리즈 물리화학 키노트」슈프링거・페아라크 도쿄, 2002년.ISBN 4-431-70956-8。

외부 링크

미카에리스・멘텐식 - 뇌과학 사전

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2016년 6월 20일 월요일