코시의 멱근판정법

코시의 멱근판정법(—말해 기혼은 라고 있어 편, root test)이란, 무한 급수의 수습성을 판정하는 방법의 하나이다.특히, 멱급수에 관련하는 것에 유용하다.「코시의 멱근판정법」이라고 하는 이름은, 이것을 최초로 발견한 오규스탄=루이・코시에 유래한다.

${\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$

("lim sup"은 상 극한을 의미한다)(으)로 할 때, C < 1이면 급수는 수습해, C > 1이면 발산한다.C = 1이라면, 이 판정법으로는 어느 쪽이라고도 말할 수 없다.만약, 급수의 항이 c를 중심으로 하는 멱급수

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$

의 계수이면, 이 멱급수의 수습 반경은 1/C이다.이것은, 0의 역수로서 생각했다∞도 포함한다.

증명

증명은, 비교 판정법을 이용한 것이다.만약, 모든 ${\displaystyle n\geq N}$ 에 대해 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}<k<1}$ (이)라면,${\displaystyle a_{n}<k^{n}<1}$ 하지만 성립한다.비교 판정법보다, 기하급수 ${\displaystyle \sum _{i=N}^{\infty }k^{i}}$ 하지만 수습하면,${\displaystyle \sum _{i=N}^{\infty }a_{n}}$ 도 또한 수습한다.

만약,${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1}$ (이)라면,${\displaystyle \sum _{i=N}^{\infty }1}$ (와)과 비교해 급수는 발산한다.a_n가 비정인 경우의 절대 수습성은,${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}$ (을)를 이용하면 똑같이 해 증명할 수 있다.

관련 기사

• 다란베이르의 수습 판정법
• 수습 반경

참고 문헌

• Knopp, Konrad (1956). "§3.2". Infinite Sequences and Series. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0486601536. 
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). "§2.35". A Course in Modern Analysis (fourth edition ed.). Cambridge University Press. ISBN 0521588073. 

이 기사는, 크리에이티브・코몬즈・라이센스 표시-계승 3.0비이식 아래 제공되고 있는 온라인 수학 사전 「PlanetMath」의 항목 Proof of Cauchy's root test의 본문을 포함한다

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