경영
수학에 있어서의 경영(경영, 영: reflection) 혹은 경영변환과는 Euclid 공간의 초평면을 고정 점집합 짐등 장 변환이다.그 이름과 같이, 3 차원 공간내에서는, 어느 도형에 경영변환을 베푼 것은, 평면거울에 비친 그 도형의 위치 및 보이는 방법과 일치한다.(이 경우, 거울의 위치가 고정 점집합이 된다)
예를 들면 2 차원 Euclid 공간에서는 경영의 고정 점집합은 직선이며, 고정 점집합을 경영의 축이라고 한다.반대로, 주어진 직선을 축으로 하는 경영이 정해져, 직선에 의한 즉시 등이라고도 불린다.같이 3 차원 공간에서는 주어진 평면에 의한 경영이 정해진다.
경영에 의해서 변하지 않는 도형을 경영대칭(2 차원 도형의 경우, 특히 선대칭이라고도 부른다)이다, 혹은 경영대칭성을 가지는 등이라고 한다.특히 축이 수직인 경우는 좌우 대칭이라고도 말한다.예를 들면 알파벳의 A나 H 등은 수직인 축으로 관계해 경영대칭이다.3 차원의 물체나 현상(특히 분자)이 경영대칭이며, 합동은 아닌 것을 장성이라고 부른다.
길이나 각도는 경영에 의해서 변하지 않지만, 방향이 바뀐다.또, 같은 경영을 2회 계속해 실시하면 항등변환이 되므로 경영은 대합의 일종이다.
목차
정의
표준 내적이 주어진 2 차원실계량 벡터 공간 R2에 대하고, 벡터 v, a에 대해
(을)를 a에 직교 하는 원점을 포함한 직선에 의한 경영, 혹은 단지 a에 관한 경영이라고 한다.다만 여기서 v·a는 v와 a의 점승적이다.
Refa는 선형 변환이며, 특히 v와 a가 직교 한다면 Refa(v) = v이며, v가 a의 스칼라배라면 Ref(v) = -v가 된다.따라서 원점을 고정하는 경영의 고유치는 1으로—1인 일도 안다.
n차원 계량 벡터 공간에 있어도 같이 v의 a에 직교 하는 원점을 포함한 초평면에 의한 경영을
(이)라고 정의한다.
일반적으로, 점c를 대로, a에 직교 하는 초평면에 의한 경영은
(와)과 나타내진다.
예
xy평면의 벡터(x, y)에 대해(x, -y)를 대응시키는 변환은 x축으로 관한 경영이다.Gauss 평면에 있어 복소수 에 대한 복소 모두역 (은)는 실축으로 관한 경영이라고도 볼 수 있다.
성질
Rn의 원점을 고정하는 경영은 선형 변환이며, 대응하는 행렬은 행렬식이—1의 직교 행렬로(1, 1, ... 1, -1)를 고유치에 가진다.
위의 정의에 있어서의 식에 대한 행렬은
(을)를 성분으로 하는 직교 행렬이 된다.다만, 여기서δij는 크로넥카의 델타이다.
이러한 2개의 행렬의 적은 특수 직교 행렬이 되어, 회전을 나타낸다.실은 반대로, 원점을 고정하는 어떤 회전도, 원점을 지나는 초평면에 의한 짝수회의 경영으로서 나타내진다.또 직교군O(n) 목응인 원도 고들n회의 경영의 적으로서 나타내져 경영의 전체는 직교군O(n)를 생성한다.이 사실은 일반적으로 부호수(p, q)의 내적(2차 형식)이 주어진 선형 공간 Rp, q에서도 성립되어, 카르탄□듀드네의 정리로서 알려져 있다.
같이 Euclid 공간의 등 장 변환군은 아핀초평면에 의한 경영으로 생성된다.일반적으로, 아핀초평면에서 생성되는 군은 경영군으로 불린다. 코크세타군도 참조.
크리포드 대수와의 관계
크리포드적v2 = |v|2를 사용하면 벡터 v, a의 내적은 va + av = 2 (v·a)와 나타내지므로, a를 법으로 하는 초평면에 의한 경영은
(이)라고 쓸 수 있다.직교변환군은 경영으로 생성되는 사실을 밟으면, 이것은 크리포드 대수로부터 직교군에의 준동형을 이끈다.자세한 것은 크리포드 대수를 참조.
관련 항목
참고 문헌
- Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 123930
- Weisstein, Eric W. "Reflection". MathWorld(영어).
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