연속의 방정식

연속의 방정식(레응속편 쪽 헌신해 와, 영: equation of continuity, 연속 방정식, 연속의 식, 연속식등 고도 말한다)은 물리학으로 일반적으로 적용할 수 있는 분 정도식에서, 「원인도 없게 물질이 돌연 나타나거나 사라지거나 할 것은 없다」라고 하는 자연스러운 생각을 나타낸다.보존칙과 밀접하게 관련되고 있다.

협의에는 유체 역학에 있어서의 질량 보존칙

${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0}$

(ρ는 밀도, v는 흐름의 속도, t는 시간이다.∇(은)는 나브라를 참조.)

혹은, 이 식을 비압축성 유체에 적용했다

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}$

(을)를 가리킨다.

광의에는, 스칼라 물리량 q에 대한 보존칙

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}$

(ρ：q의 밀도, j：q의 류속)

(을)를 가리켜, 더욱 일반화하고, q의 수송 방정식(일반의 보존칙)

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=\sigma }$

(σ：q의 솟아 내밀기 밀도)

(을)를 가리키기도 한다.

목차

광의의 연속의 방정식의 도출

 

영역Ω에 있어서의 물리량 q의 총량 M의 시간 변화를 q의 생성과 유출과 합해 도시한 것.대표점만의 궤적을 적고 있다.푸른 점의 개수는Ω에 있어서의 q의 총량 M (t )를 나타낸다.핑크 점의 개수는 솟아 내밀기Δt S를, 황색 점은 흐르기 시작하는 유량Δt J를 나타낸다.그림보다
${\displaystyle \Delta M+\Delta tJ=\Delta tS}$ 
${\displaystyle (6-5)+3=4}$ 
하지만 성립되는 것이 안다.

광의의 연속의 식을 플럭스 형식 혹은 일반의 보존칙이라고 하는[¹].q를 있는 스칼라 물리량,Ω을 고정된 유계 적분 영역,∂Ω을Ω의 경계인 폐곡면으로 한다.

q에 대한 연속의 식은,

영역Ω에 있어서의 q의 단위시간 쯤의 증가량 ${\displaystyle {\mathrm {d} M \over \mathrm {d} t}}$  (와)과 경계∂Ω에 있어서의 q의 단위시간 쯤의 유출량(유량) J와의 화는, 영역Ω에 있어서의 q의 단위시간 쯤의 솟아 내밀기량 S에 동일하다.

${\displaystyle {\mathrm {d} M \over \mathrm {d} t}+J=S}$ 

(이)라고 표현할 수 있다.

여기서 q는 연속적으로 분포하는 양이며, 상술의 양은 모두 어떠한 「밀도량」으로 표현할 수 없으면 안 된다.거기서, q의 밀도ρ, q의 류속j, q의 솟아 내밀기 밀도σ를 도입하면,

${\displaystyle {\begin{aligned}M&=\int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V\\J&=\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}\\S&=\int _{\Omega }\sigma \mathrm {d} V\end{aligned}}}$ 

(와)과 나타낼 수 있다.여기서, dS는, 경계∂Ω상의 미소소편에 있어서의 외부로 향한 면적 벡터이며, 제2식은 류속과 면적 벡터와의 적의 총화가 경계를 지나 흐르기 시작하는 q의 유량인 것을 나타내고 있다.

이것에 의해 연속의 식은

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V+\oint _{\partial \Omega }{\boldsymbol {j}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=\int _{\Omega }\sigma \mathrm {d} V}$ 

된다.

Gauss의 정리를 사용해 제2항을 체적 적분으로 고쳐 써 제1항의 시간 미분과 체적 적분을 교환하면

${\displaystyle \int _{\Omega }\left\{{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}-\sigma \right\}\mathrm {d} V=0}$ 

되므로, 미분형

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=\sigma }$ 

하지만 얻을 수 있다.

특히, 솟아 내밀기가 없을 때의 연속의 식

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}$ 

(을)를 보존형, 혹은, q의 보존칙의 미분형이라고 부른다.

유체에 있어서의 연속의 식

질량 보존칙

속도가 v로 나타내지는 흐름을 생각한다.ρ(을)를 질량 밀도, j를 질량의 류속으로 한다.흘러 즉, 이류 혹은 대류는 속도 v로의 물질의 이동이므로, 류속은

${\displaystyle {\boldsymbol {j}}=\rho {\boldsymbol {v}}}$ 

되는[²].

질량 보존칙으로부터 연속의 식은

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)=0}$ 

된다.

수송 정리에 의한 도출

속도가 v로 나타내지는 흐름에 있어서의 연속의 방정식은, 질량 보존칙과 레이놀즈의 수송 정리를 이용해도 이끌 수 있는[¹].

${\displaystyle 0={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\Omega (t)}\rho \,dV=\int _{\Omega (t)}\left({D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}\right)dV}$ 

여기서,${\displaystyle {D \over Dt}}$  (은)는 실질 미분이며,Ω(t )는 흐름과 함께 이동하는 임의의 적분 영역으로 한다.1번째의 등식은 질량 보존칙을, 2번째의 등식은 레이놀즈의 수송 정리를 나타내고 있다.

이것보다,

${\displaystyle {D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}$ 

하지만 성립한다.

이 식은, 실질 미분의 정의

${\displaystyle {D \over Dt}\equiv {\partial \over \partial t}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla }$ 

(와)과 공식

${\displaystyle \nabla \cdot \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)=\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \rho }$ 

(을)를 사용하고,

${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0}$ 

(와)과 등가인 것을 알 수 있다.

비압축성 유체에 대한 연속의 방정식

연속의 방정식

${\displaystyle {D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}$ 

에 대해서, 비압축성 유체의 성질(밀도가 일정하는 것)을 부가하면, 비압축성 유체에 있어서의 연속의 식이 도출된다.밀도가 일정이라고 하는 것은, 공간적으로 일 모양이라고 하는 의미가 아니고, 변형해 나가는 영역내에서 일정이라고 하는 의미인[²].즉,${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}=0}$  되므로,ρ≠0인 것부터,

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0}$ 

(을)를 얻는다.이 식을 비압축성 조건이라고도 한다.

이 조건을 채우는 흐름에 대하고, 흘러 가는 유체 요소의 체적은 불변이다.

전자기학에 있어서의 연속의 방정식

전하 보존칙

전자기학에 있어서의 연속의 식과는 전하의 보존칙의 미분형인[³].ρ(을)를 전하 밀도, j를 전류 밀도라고 하면, 연속의 식은

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}$ 

된다.

변위 전류

맥스웰의 방정식에 대하고, 전하의 보존칙을 채우기 위해서 오리지날의 안 페일의 식

${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {j}}}$ 

에 변위 전류를 도입할 필요가 있었다.수정된 안 페일의 식

${\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}={\partial {\boldsymbol {D}} \over \partial t}+{\boldsymbol {j}}}$ 

에 두고, 양변에 발산∇· (을)를 작용시키면, 좌변은 제로가 되므로,

${\displaystyle \nabla \cdot {\partial {\boldsymbol {D}} \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}$ 

되어, Gauss의 식

${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {D}}=\rho }$ 

(을)를 대입하는 것으로 연속의 식을 얻을 수 있다.

4원 전류

전하의 보존칙을 나타내는 연속의 식은 4원 전류를 사용하는 것으로, 로렌트모두 이상하고 컴팩트한 형태로 할 수 있다.4원 전류 Jμ(μ= 0, 1, 2, 3)를

${\displaystyle J^{\mu }=\left(c\rho ,{\boldsymbol {j}}\right)}$ 

(와)과 나타낸다.여기서 c는 광속이다.미분 연산자

${\displaystyle \partial _{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\partial \over \partial t},\nabla \right)}$ 

(을)를 정의하면, 연속의 식은

${\displaystyle \partial _{\mu }J^{\mu }=0}$ 

(이)라고 표현할 수 있다.다만, 첨자에 있어서의 아인슈타인의 규약을 채용했다.

양자 역학

양자 역학에 있어서의 연속의 식은 확률의 보존칙을 나타내는[⁴].

Ψ(r , t )(을)를 규격화된 파동관수로 한다.확률 밀도ρ, 확률류속j를

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\Psi ^{*}\Psi \\{\boldsymbol {j}}&={\frac {\hbar }{2m\mathrm {i} }}\left[\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right]\end{aligned}}}$ 

(이)라고 정의하면, 슐레징거-방정식

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi }$ 

(을)를 이용하고, 확률에 대한 연속의 식

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}$ 

하지만 얻을 수 있다.

연속의 식의 도출

슐레징거-방정식과 그 복소 모두역의 식

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ,\\-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}\end{aligned}}}$ 

각각Ψ* ,Ψ을 각각 걸어 2식의 차이를 취하면

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar \Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\mathrm {i} \hbar \Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}}$ 

더욱

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \left(\Psi ^{*}\Psi \right)}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right)}$ 

되어, 연속의 식

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot {\boldsymbol {j}}=0}$ 

다만,

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\Psi ^{*}\Psi \\{\boldsymbol {j}}&={\frac {\hbar }{2m\mathrm {i} }}\left[\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right]\end{aligned}}}$ 

하지만 얻을 수 있다.

확산 방정식

브라운 운동등의 미크로스 케일 유래의 현상에 의한 물질의 질량 수송 현상을 생각하는[⁵].이 때, 경험칙인 픽크의 법칙(픽크의 제일 법칙)에 의해 류속은

${\displaystyle {\boldsymbol {j}}=-\kappa \nabla \rho }$ 

(와)과 밀도의 구배로 주어진다.계수κ는 확산 계수로 불려 차원 ${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}\ \mathrm {T} ^{-1}}$  (을)를 가진다.확산 계수가 정수때, 연속의 식으로부터 확산 방정식

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}=\kappa \nabla ^{2}\rho }$ 

하지만 얻을 수 있다.

각주

[헬프]

출전

1. ^ ^{a b}나카무라육웅 「유체 해석 핸드북」(초판) 공동설립 출판, 1998년 3월 20일.ISBN 4320081188。 
2. ^ ^{a b}손우 타다시 「 신물리학 시리즈 21 유체 역학」배풍관, 1995년 9월.ISBN 456302421X。 
3. ^스나가와 시게노부 「이론 전자기학」(3판) 키노쿠니야 서점, 1999년 9월.ISBN 4314008547。 
4. ^메시아; 코이데 쇼우이치로우, 타무라 지로우역 「양자 역학 1」(1판) 도쿄 도서, 1971년 6월 15일.ISBN 4489012438。 
5. ^토다 모리카즈; 사이토 노부히코; 구보 료고; 하시츠메 나츠키 「이와나미 강좌 현대 물리학의 기초 통계 물리학」(신장판) 이와나미 서점, 2011년 11월 26일.ISBN 4000298054。 

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