칸=히리아드 방정식

칸=히리아드 방정식(칸=히리아드 편이라고 있어 깔아, 영: Cahn□Hilliard equation)과는, 존・W・칸(영문판)과 존・E・히리아드의 이름에 연관되는 수리물리학의 방정식에서, 2원 유체의 2 성분을 동시에 분리해, 각 성분에 대해 순수한 영역을 형성하는 상분리의 프로세스를 표현하는 것이다.${\displaystyle c}$ (을)를 유체의 농도로 해,${\displaystyle c=\pm 1}$ 그리고 영역을 나타낸다고 했을 때, 칸=히리아드 방정식은 다음 같게 기술된다：

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\left(c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c\right)}$

여기서 ${\displaystyle D}$ (은)는 단위가 ${\displaystyle {\text{Length}}^{2}/{\text{Time}}}$ 인 확산 계수로,${\displaystyle {\sqrt {\gamma }}}$ (은)는 영역의 사이의 천이 영역의 길이를 나타낸다.또 ${\displaystyle \partial /{\partial t}}$ (은)는 시간에 대한 편미분으로,${\displaystyle \nabla ^{2}}$ 하 ${\displaystyle n}$ 차원에 있어서의 라프라시안을 나타낸다.게다가 양 ${\displaystyle \mu =c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c}$ (은)는 화학 포텐셜이라고 해석된다.

칸=히리아드 방정식은 알렌=칸 방정식과 관련한다.또 같이 확률 칸=히리아드 방정식은 확률 알렌=칸 방정식과 관련하는 것이다.

특징과 응용

칸=히리아드 방정식에 대한 수학자의 흥미는, 주어진 매끄러운 초기 데이터에 대한 그 일의인 해의 존재, 코호모로지적인 해석, 계산등에 있다. 일의성의 증명은, 본질적으로는 랴프노후 함수의 존재에 의루 것이다.구체적으로, 자유에너지 함수로서

${\displaystyle F[c]=\int d^{n}x\left[{\frac {1}{4}}\left(c^{2}-1\right)^{2}+{\frac {\gamma }{2}}\left|\nabla c\right|^{2}\right]}$ 

(을)를 정하면,

${\displaystyle {\frac {dF}{dt}}=-\int d^{n}x\left|\nabla \mu \right|^{2},}$ 

하지만 얻을 수 있어 따라서 그 자유에너지는 제로로 감쇠한다.이것은 또, 영역에의 분리가, 방정식의 발전의 점근적인 결과인 것을 의미하고 있다.

실제의 실험에 대해도, 처음에 혼합되고 있던 2원 유체의, 영역에의 분리는 관측되고 있다.그 만큼리는, 다음 사실에 의해 특징지울 수 있다.

• 분리된 영역의 사이에, 전이상(transition layer)이 존재한다.거기에는 함수 ${\displaystyle c(x)=\tanh \left({\frac {x}{\sqrt {2\gamma }}}\right)}$  그리고 주어지는 프로파일과 길이 ${\displaystyle {\sqrt {\gamma }}}$  하지만 갖춰져 있다.그 이유는, 그 함수가 칸=히리아드 방정식의 평형해이니까이다.

• 또 흥미가 따라지는 점으로서 분리된 영역이 시간에 츠이테베 나무칙에 따라서 성장한다, 라고 하는 사실을 들 수 있다.즉,${\displaystyle L(t)}$  (을)를 전형적인 영역의 크기라고 하면,${\displaystyle L(t)\propto t^{1/3}}$  하지만 성립한다.이것은 리후싯트=스료조후칙이며, 칸=히리아드 방정식에 대해서는 엄밀하게 증명되고 있고, 2원 유체에 대한 수치 실험이나 실제의 실험에 대해도 관측되고 있다.

• 칸=히리아드 방정식에는, 보존칙 ${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot {\mathbf {j}}(x)}$  의 형상도 존재한다.여기서 ${\displaystyle {\mathbf {j}}(x)=D\nabla \mu }$  이다.따라서, 상분리 과정은 총농도 ${\displaystyle C=\int d^{n}xc\left(x,t\right)}$  (을)를 보존하는 것으로,${\displaystyle {\frac {dC}{dt}}=0}$  하지만 성립한다.

• 하나의 위상이 현저하게 풍부하다라고 와, 칸=히리아드 방정식은 오스트와르드 숙성(영문판)으로서 알려진 현상을 보인다.그 현상으로는, minority인 위상은 구면의 코미즈 물방울을 형성해, 확산을 통해서, 작은 물방울은 보다 큰 물방울로 흡수된다.

칸=히리아드 방정식은, 여러가지 분야에 있어 응용되고 있다.예를 들면, 계면에 있어서의 유체의 흐름, 중합체 과학, 산업적인 응용, 등이다.2원 혼합에 대한 칸=히리아드 방정식의 해는, 스테펀 문제의 해나 토마스와 윈돌의 모델 해와 자주(잘) 일치하는 것이 적셔지고 있는[¹]. 중합체 과학으로는, 선형항이 붙었다

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\left(c^{3}-c-\gamma \nabla ^{2}c\right)+\sigma (u-{\overline {u}})}$ 

하지만 이용되는 것이 많다.다만${\displaystyle {\overline {u}}}$ 하${\displaystyle u}$ 의 평균이다.

참고 문헌

1. ^ F. J. Vermolen, M.G. Gharasoo, P. L. J. Zitha, J. Bruining. (2009). Numerical Solutions of Some Diffuse Interface Problems: The Cahn-Hilliard Equation and the Model of Thomas and Windle. IntJMultCompEng,7(6):523□543.

• J. W. Cahn and J. E. Hilliard, "Free energy of a nonuniform system. I. Interfacial free energy, "J. Chem. Phys 28, 258 (1958).
• A. J. Bray, "Theory of phase-ordering kinetics, "Adv. Phys. 43, 357 (1994).
• J. Zhu, L. Q. Chen, J. Shen, V. Tikare, and A. Onuki, "Coarsening kinetics from a variable mobility Cahn□Hilliard equation: Application of a semi-implicit Fourier spectral method, "Phys. Rev. E 60, 3564 (1999).
• C. M. Elliott and S. Zheng, "On the Cahn□Hilliard equation, "Arch. Rat. Mech. Anal. 96, 339 (1986).
• T. Hashimoto, K. Matsuzaka, and E. Moses, "String phase in phase-separating fluids under shear flow, "Phys. Rev. Lett. 74, 126 (1995).
• T. Ursell, "Cahn□Hilliard Kinetics and Spinodal Decomposition in a Diffuse System, "California Institute of Technology (2007).

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