위상군
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수학에 있고, 위상군(좋 전군, topological group)이란, 군에서도 위상 공간이기도 한 집합이며, 그 군구조와 위상 구조가 양립하는 것의 것이다.
목차
정의
위상 공간 G에 군연산(곱셈 혹은 적이라고 불리는 2항연산과 역원을 잡는 단항 연산)이 정의되고 있을 때, G에 대해 군구조와 위상 구조가 양립하는(혹은 가환인, 잘 되고 있는, compatible)란, 이하의 조건이 성립되는 것을 말한다.
양립하는 군구조와 위상 구조를 가지는 집합 G는 위상군이다고 한다.또, 자주 위상 공간으로서 T2 (하우스드르후의 분리 공리)를 채우는 것을 위상군의 정의에 포함하기도 한다.
예
- 임의의 군은 이산 위상을 넣는 것으로 위상군이라고 볼 수 있다.특히, 유한군을 이산 위상에 관한 위상군으로 간주하는 것으로, 슈아의 직교 관계식등의 유한군에 대한 여러 가지의 명제는 국소 콤팩트군등의 어떤 종류의 위상군에 있어서의 명제의 특수한 경우라고 볼 수 있다.
- 통상의 위상을 생각한 실수 전체 R나 p-진위상을 생각한 p-진수 전체 Qp는, 그 가법에 관해서 군(가법군)이라고 보면 위상군이다.이것들은 위상 공간으로서는 국소 콤팩트 이유, 국소 콤팩트군의 예이기도 하다.
- 0이 아닌 실수 전체가 곱셈에 관해서 이루는 군(곱셈군 혹은 단수군) R×, 0이 아닌 p-진수 전체가 이루는 곱셈군Qp×는 위상군이다.
- 리군은(가능 미분) 다양체의 구조에 양립하는 군구조를 가지는 군이니까, 다양체를 단지 위상 공간이라고 보면 리군은 위상군이다.상기의 R, R×나 복소수 전체가 만드는 가법군C, 곱셈군C×혹은 몸으로서의 R나 C 위의 행렬군 등은 이것에 해당한다.한편, Qp나 게다가의 행렬군은 완전불연결인 국소 콤팩트군(베룬슈타인의 어법으로 l-군)을 이룬다.
제개념
준동형
G, H를 위상군으로 한다.사상 f: G→H가 위상군으로서의 준동형(혹은 단지 준동형)이다는 것은, 단지 대수적인 의미로의 군의 준동형이다고 하는 것만이 아니고, 연속 사상인 것을 가리킨다.이것에 의해, 대수적인 의미로의 군 준동형의 경우와 같이 상Im(f) := {f(g)∈H | g∈G}나 핵Ker(f) := {g∈G | f(g) = e} (e는 H의 단위원)를 생각할 때, Im(f)⊂H는 다시(부분) 위상군이 된다.한편, Ker(f)⊂G가(부분) 위상군이 되는 것은 준동형 f: G→H가 개집합을 개집합에 찍는(즉 개사상이다) 때인다.개사상인 준동형을 개 준동형이라고 칭한다.위상군의 동형은 군으로서 동형 한편 위상 공간으로서 동상인 것으로 정의된다.즉, 전단 쏘아 맞혀 양연속(쌍 쏘아 맞혀 쌍연속) 되는 위상군의 준동형 사상은 동형이다.
상위상군
G를 위상군, H를 그 정규 부분군으로 하면, 잉여군G/H에 상위상(투영 G→G/H가 연속이 되는 가장 엉성한 위상)을 넣고 위상 공간이라고 볼 때, 다시 위상군이 된다.이것을 G를 H로 나눈 상위상군이라든지 H를 법으로 하는 G의 잉여 위상군등과 같이 말한다.위상을 생각하지 않는 대수적인 의미와 잊혀져가 없는 경우에는, 단지 잉여군, 상군이라고 부른다.위상군G로부터 상군G/H에의 표준 투영은 개사상이 된다.
G가 위상 공간으로서 하우스드르후의 분리 공리를 채우는(하우스드르후 위상군)일 때, 상군G/H가 다시 하우스드르후 위상군이 되는 것으로 H가 위상 공간으로서 폐(폐부분군)인 것으로는 동치이다.
작용
위상군G가 위상 공간 X에 작용하고 있다는 것은, G의 각 원g에 대해서, 연속 사상πg: X→X가 주어지고 있는 것을 말한다.작용
하지만, G×X에 곧 적공간으로서의 위상을 넣을 때, 2 변수의 사상으로서 연속이다면, G는 X에 연속 작용을 가진다, 혹은 G는 X상의 위상 변환군이다고 한다.또 게다가 생각하고 있는 각각의 공간이나 군의 위상이 가능 미분 구조등을 가질 때, 작용에도 연속성보다 강한 조건인 「매끄러움」을 부과하고, 매끄러운 작용을 생각하기도 한다.
위상 공간 X에 대한 위상 변환군G의 작용의 각 궤도는, G의 적당한 부분군H에 의한 상군G/H에 동상이다.
성질
관련 항목
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