아스프룬드 공간

수학의, 특히 함수 해석학의 분야에 있어서의 아스프룬드 공간(아스프룬드 공간, 영: Asplund space) 혹은 강미분 가능성 공간(strong differentiablity space)은 well-behaved(영문판)인 바낫하 공간의 일종이다.아스프룬드 공간은, 바낫하 공간상의 리프싯트 함수의 후레시 미분 가능성에 흥미를 가진 수학자 에드거・아스프룬드에 의해서 1968년에 도입되었다.

동치인 정의

바낫하 공간 X가 아스프룬드 공간인 것의 정의에는, 이하와 같은 동치인 물건이 존재한다：

• X가 아스프룬드 공간이기 위한 필요 충분조건은, X의 모든 가분 부분 공간 Y가 가분인 연속쌍대공간 Y□를 가지는 것이다.
• X가 아스프룬드 공간이기 위한 필요 충분조건은, X의 임의의 개볼록부분 집합 U상의 모든 연속철함수가, U가 있는 조밀 Gδ-부분 집합의 점에 대해 후레시 미분 가능한 것이다.
• X가 아스프룬드 공간이기 위한 필요 충분조건은, 그 쌍대공간 X□가 라둔=니코디무성을 가지는 것이다.이 성질은 Namioka & Phelps에 의해서 1975년에, Stegall에 의해서 1978년에 증명되었다.
• X가 아스프룬드 공간이기 위한 필요 충분조건은, 그 쌍대공간 X□의 모든 하늘이 아닌 유계 부분 집합이, 임의의 작은 직경의 약*슬라이스를 가지는 것이다.
• X가 아스프룬드 공간이기 위한 필요 충분조건은, 그 쌍대공간 X□의 모든 하늘이 아닌 약*콤팩트 볼록부분 집합이, 그 약*강폭로점(exposed points)의 약*폐철포인 것이다.1975년에 Huff & Morris는, 이 성질은 쌍대공간 X□의 모든 유계폐볼록부분 집합이 그 극점의 폐철포이다고 하는 사실과 동치인 것을 나타냈다.

아스프룬드 공간의 성질

• 아스프룬드 공간의 종류는, 위상 동형 사상아래에서 닫고 있다.즉, X와 Y가 바낫하 공간에서, X가 아스프룬드 공간이며, X가 Y와 위상 동형이라면, Y도 또 아스프룬드 공간이다.
• 아스프룬드 공간의 모든 폐선형부분 공간은 아스프룬드 공간이다.
• 아스프룬드 공간의 모든 상공간은 아스프룬드 공간이다.
• 아스프룬드 공간의 종류는 확대아래에서 닫고 있다.즉, X가 바낫하 공간에서, Y가 X의 아스프룬드 부분 공간이며, 상공간 X□Y가 아스프룬드 공간이다면, X도 아스프룬드 공간이다.
• 아스프룬드 공간이 있는 개부분 집합상의 모든 국소 리프싯트 함수는, 그 정의역이 있는 조밀 부분 집합의 점에 대해 후레시 미분 가능하다.이 결과는 1990년에 데이빗・프레이스(영문판)에 의해서 증명되어 최적화 이론에 있어 빈번히 응용되고 있다.
• 아스프룬드의 1968년의 원저 논문으로 나타난 다음 정리는, 왜 아스프룬드가 아닌 공간이 badly behaved인지를 나타내는 좋은 예이다：X가 아스프룬드 공간이 아니면, X의 모든 점에 대해 후레시 미분 가능해지지 않는 X상의 동치 법칙이 존재한다.
• 1976년에 Ekeland & Lebourg는, X가 원점을 피해 후레시 미분 가능한 동치 법칙을 가지는 바낫하 공간이다면, X는 아스프룬드 공간인 것을 나타냈다.그러나 1990년에 Haydon은, 원점을 피해 가토 미분 가능한 동치 법칙을 가지지 않는 아스프룬드 공간의 예를 나타냈다.

참고 문헌

• Asplund, Edgar (1968). "Frechet differentiability of convex functions". Acta Math. 121: 31–47. doi:10.1007/bf02391908. ISSN 0001-5962. MR 0231199. 
• Ekeland, Ivar; Lebourg, Gerard (1976). "Generic Frechet-differentiability and perturbed optimization problems in Banach spaces". Trans. Amer. Math. Soc. 224 (2): 193□216 (1977). doi:10.1090/s0002-9947-1976-0431253-2. ISSN 0002-9947. MR 0431253. 
• Haydon, Richard (1990). "A counterexample to several questions about scattered compact spaces". Bull. London Math. Soc. 22 (3): 261–268. doi:10.1112/blms/22. 3.261. ISSN 0024-6093. MR 1041141. 
• Huff, R. E.; Morris, P. D. (1975). "Dual spaces with the Krein□Milman property have the Radon□Nikodym property". Proc. Amer. Math. Soc. 49: 104–108. doi:10.1090/s0002-9939-1975-0361775-9. ISSN 0002-9939. MR 0361775. 
• Namioka, I.; Phelps, R. R. (1975). "Banach spaces which are Asplund spaces". Duke Math. J. 42 (4): 735–750. doi:10.1215/s0012-7094-75-04261-1. ISSN 0012-7094. MR 0390721. 
• Preiss, David (1990). "Differentiability of Lipschitz functions on Banach spaces". J. Funct. Anal. 91 (2): 312–345. doi:10.1016/0022-1236(90) 90147-D. ISSN 0022-1236. MR 1058975. 
• Stegall, Charles (1978). "The duality between Asplund spaces and spaces with the Radon□Nikodym property". Israel J. Math. 29 (4): 408–412. doi:10.1007/bf02761178. ISSN 0021-2172. MR 0493268. 

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