허수 단위

이 기사는 검증 가능한 참고 문헌이나 출전이 전혀 나타나지 않은지, 불충분합니다. 출전을 추가해 기사의 신뢰성 향상에 협력해 주십시오.(2012년 2월)

복소헤이면(Gauss 평면) 상의 허수 단위 i.횡축은 실수 전체를 나타내, 그 이외의 부분이 허수이다.

허수 단위(허수 단위, 영: imaginary unit)란,－1의 평방근(2승 해-1이 되는 수)인 2개의 수 중 하나의 수이다(어느 쪽인지를 특정할 수 없다).그러한 수를 기호로 ${\displaystyle i}$ 또는 ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ 그리고 나타낸다.

${\displaystyle i^{2}=-1}$

임의의 실수의 2승은 0이상이므로, 허수 단위는 실수가 아니다.수의 개념을 복소수에 확장하면 등장하는 수이다.

허수 단위의 기호 ${\displaystyle i}$ (은)는 imaginary의 머리 글자에서 채집해지고 있다.다만,${\displaystyle i}$ (을)를 다른 의미(전류등)의 기호로서 사용하는 경우는, 허수 단위를 ${\displaystyle j}$ 등에서 나타내는 일이 있다(어느 문자를 이용할까는 자유롭다.그 경우에는 어느 문자를 이용할까를 처음에 반드시 선언한다).

적의 교환법칙이 성립되지 않는 것을 허용 하면, 다른 3개 이상의 허수 단위로부터 되는 수의 체계(비가환체)를 생각할 수 있다.3개의 허수 단위의 경우는 ${\displaystyle i,j,k}$, 7이상의 허수 단위의 조에는 ${\displaystyle i_{1},i_{2},\cdots }$ (와)과 같이 한개씩 첨자를 붙여 나타내는 것이 많다.

목차

정의

허수 단위 i란, 2차 방정식 x² + 1 = 0의 2살의 해 중 한편여,

${\displaystyle i^{2}=-1}$  혹은 ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ 

(와)과도 나타낼 수 있다.해의 한편을 i라고 하면, (x + i)(x－i) = 0보다, 해의 한편은-i이다.

「실수의 전체와 허수 단위 i를 포함해 사칙 연산을 자유롭게 할 수 있다(몸이 된다)」집합 중 최소의 것을 복소수체, 그 원(요소)을 복소수 라고 하여, 특히 실수가 아닌 복소수를 허수라고 한다.

같이 「복소수의 전체와 복소수가 아닌 새로운 허수 단위 j를 포함한 최소의 몸」을 4원수체 라고 하여, 그 원을 4원수라고 한다.이 때, ij = k와 두면, k도 허수 단위이다.즉 k² =－1을 채운다.이 i, j, k를 그대로 허수 단위로 할 수도 있지만, 복소수체의 경우에-i를 i와 다시 두어도 같은 구조인 것과 같이, 4원수체 H에 대해도, 허수 단위를 고칠 수 있다.즉, R³의 정규 직교 기저를 1 쌍선택해,

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {H} \quad ((a,b,c)\mapsto ai+bj+ck)}$ 

에 의해서 찍은 상을 새롭게 i, j, k와 두어 허수 단위라고 해도 좋다.다만, 기저를 왼손계에 취하면 ij =－k가 되어 버리므로, 수학적인 필연성은 없지만, 관습으로서 직교좌표의 결정방식이 선택된다.

즉 허수 단위는, 복소수・4원수의 범위를, 실수 부분과 허수 부분으로 나누었을 때의, 후자의 분의 기본 단위이다.8원수・16원수는 한층 더 많은 허수 단위를 가진다.

행렬 표현

선형대수학(혹은 선형표현)의 지식을 이용하면, 허수 단위가 행렬로 나타내진다.실제,

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$ 

(이)라고 정의되는 행렬 J는, J² =－E(E는 2차 단위행렬)라고 하는 성질을 가진다.이것은, 허수 단위 i의 왼쪽에서의 적이 일으키는 복소수체 C의 일차 변환을, 표현 공간 C를 2 차원실벡터 공간 R²라고 봐 행렬 표현하는 것에 의해서 얻을 수 있다.

4원수에 대해서도 같이 4원수체 H에 있어서의 적을 C²에 대해서 일으켜지는 일차 변환이라고 보는 것으로

${\displaystyle J_{1}=i\sigma _{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad J_{2}=i\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\quad J_{3}=i\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}$ 

그렇다고 하는 세 개의 허수 단위의 행렬 표현을 생각할 수 있다.또, C²라고 보므로 없게 R⁴라고 보면, 4다음 서방 행렬로서 표현할 수도 있다.자세한 것은 4원수의 항이 참조되고 싶다.

행렬의 적은 결합적이다 것으로, 8원수나 16원수로는(결합법칙을 채우지 않기 때문에) 이러한 표시는 할 수 없다.

허수 단위의 연산

${\displaystyle n}$  (을)를 정수,${\displaystyle e}$  (을)를 네이피아 수라고 한다.

허수 단위의 누승

${\displaystyle i^{\,n}={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}n\equiv 0{\pmod {4}}\\i,&{\mbox{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1,&{\mbox{if }}n\equiv 2{\pmod {4}}\\-i,&{\mbox{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}$ 

허수 단위의 허수 단위승

${\displaystyle i^{\,i}=e^{-\left({\frac {1}{\,2\,}}+2n\right)\pi }}$   ^[1]

1의 허수 단위승

${\displaystyle 1^{i}=e^{-2n\pi }}$   ^[2]

허수 단위의 자연대수

${\displaystyle \log i=\left({\frac {1}{\,2\,}}+2n\right)\pi i}$   ^[3]

각주

[헬프]

1. ^폴・J・나인 「허수의 이야기」pp. 270□271, 오즈치사, 2008년.
2. ^표 실 「이공계의 수학 입문 코스 5복소함수」p. 115, 이와나미 서점, 1988년.
3. ^키시 타다시 린・후지모토담효 「복소함수론」p. 45, 학술 도서 출판사, 1980년.

참고 문헌

• 폴・J・나인 「허수의 이야기」오즈치사, 2008년

관련 항목

• 멱근

이 항목은, 수학(수학자를 포함한다)에 관련한 쓰다 만 항목입니다.이 항목을 가필・정정등 해 주시는 협력자를 요구하고 있습니다(프로젝트:수학/Portal:수학).

「https://ja.wikipedia.org/w/index.php? title=허수 단위&oldid=58233153」으로부터 취득

This article is taken from the Japanese Wikipedia 허수 단위

This article is distributed by cc-by-sa or GFDL license in accordance with the provisions of Wikipedia.

Wikipedia and Tranpedia does not guarantee the accuracy of this document. See our disclaimer for more information.

In addition, Tranpedia is simply not responsible for any show is only by translating the writings of foreign licenses that are compatible with CC-BY-SA license information.