조화 계수

수학에 있어서의 조화 계수(나비원공 들이마시는, 영: harmonic series)와는 발산 무한 급수

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }$

(을)를 말한다.명칭의 「조화」(harmonics)이라고 하는 것은 음악이나 화성학에 있어서의 배음의 개념에 유래하는 것으로, 진동하는 현의 배음의 파장이 그 현의 기본 파장의1/2, 1/3, 1/4, ... 되고 있는 것에 의한다.조화 계수의 각 항은 전후의 항의 조화 평균이 되어 있어, 또 조화 평균이라고 하는 용어도 역시 음악에 유래하는 것이다.

목차

역사

사실로서 조화 계수가 발산하는 것의 최초의 증명은 14 세기의 니콜・오레임에 의하는 것이지만, 이것에는 잘못이 있었다.후에 올바른 증명이 이루어지는 것은 17 세기, 피에트로・몬고리, 요한・베르누이, 야곱・베르누이등 에 의해서이다.

역사적으로는, 조화 수열은 건축학의 관점으로부터의 수요가 있었다.특히 바로크 시대에는, 평면도나 입면도로의 균형을 취하기 위해서, 혹은 교회나 궁전의 내장과 외장의 구조적 상세한 조화 관계를 확립하기 위해서 이용된[¹].

도입

조화 계수는, 그 항의 극한이 0이 되는 것에도 불구하고 발산한다고 하는 의미로, 초심자에 있어서는 직관적이 아닌 급수이다.즉, 0에 수습하는 수열의 무한화가 반드시 유한치에 수습한다고는 할 수 없는 것이 나타난다.조화 계수가 발산하는 것에 기인하는 몇개의 역리나 직관에 반하는 결과가 알려져 있다.

예를 들면, 「고무 건어물상의 고구마벌레」("worm on the rubber band")로 불리는 역리가 있는[²].내용은 「1미터의(무한하게 성장할 수 있다) 고무 끈이 있다.건어물 일단으로부터 이제 한편의 구석으로 향해 고구마벌레가 매분 1센치의 속도로 건어물상을 기는 것으로 한다.고무 끈은 1분 마다(정확하게는 고구마벌레가 1센치 긴 직후에) 한결같게 길이가 1미터 길게 늘어진다.즉, 1 분후에 고구마벌레는 시점으로부터 1센치 겼을 뿐이지만, 실제는(고무 끈이 길게 늘어졌기 때문에) 시점으로부터 2센치의 위치에 있게 된다. 2 분후에는 거기로부터 게다가 1센치 밖에 기지 않음에도 불구하고, 실제는 시점으로부터 4.5센치의 위치에 있다.이러한 프로세스를 반복할 때, 고구마벌레는 건어물단까지 도달할 수 있을까」라고 하는 것이다.대답은, 직관에 반해 「도달할 수 있다」이다.출발점과 T분후에 고구마벌레가 있는 위치와의 거리를 L_T센티미터로 하면, L_T는

${\displaystyle L_{T}={\frac {T+1}{T}}{\bigl (}L_{T-1}+1{\bigr )},}$  (다만${\displaystyle L_{0}=0}$ (으)로 한다)

그렇다고 하는 점화식에서 나타내진다.이것을 풀면,

${\displaystyle L_{T}=(T+1)\sum _{n=1}^{T}{\frac {1}{n}}}$ 

된다.한편, T분후의 고무 건어물 길이는 100(T +1) 센티미터이니까, 고구마벌레가 단 점에 도착할 수 있는 것은,

${\displaystyle (T+1)\sum _{n=1}^{T}{\frac {1}{n}}\geq 100(T+1)}$ 

될 때, 즉

${\displaystyle {\frac {1}{100}}\sum _{n=1}^{T}{\frac {1}{n}}\geq 1}$ 

될 때이다.이 급수는 n를 크게 하면 얼마든지 크게 할 수 있기 때문에, 충분히 큰 T에 대해서 위의 식은 성립된다.즉 고구마벌레는 구석까지 도달할 수 있게 된다.다만, 그러한 것이 되기 위해서는 n의 값을 지극히 크게 할 필요가 있다.구체적으로는, 후술의 적분 판정법의 곳에서 보도록(듯이), 좌변의 것Σ한 화는 ln (T +1)보다 조금 큰 값을 받으므로, 대략 e¹⁰⁰≒10^43.429... 분에 겨우 구석에 도달할 수 있게 된다.

별도인 예로서 「완전히 같은 도미노의 모임이 주어졌을 때, 그것을 테이블의 가장자리에 쌓아 올릴 수 있는 것은 분명하지만, 그러면 테이블노헤리를(어느 정도) 내다 붙이도록(듯이) 쌓을 수 있을까」라고 하는 것을 들 수 있다.이 직관적이 아닌 결과라고 하는 것은, 「도미노가 충분히 있으면, 얼마든지 좋아할 뿐(만큼) 내다 붙이게 할 수 있다」인[³][⁴].

발산성

조화 계수는 정의 무한대+∞에 발산한다.이 사실을 증명하는 방법은 잘 알려진 것이 몇개인가 존재한다.

비교 판정법

조화 계수의 발산성을 나타내는 방법의 하나는 다른 발산 급수와 비교하는 것이다.조화 계수의 각 항은, 이하의 제2의 급수의 대응하는 항보다 큰가 아니면 일치하므로, 조화 계수의 화의 값은 제2의 급수보다 크다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{9}}+\right.\cdots \\[12pt]>{}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\right.\cdots \\[12pt]={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =\infty .\end{aligned}}}$ 

그러나, 제2의 급수의 값은 무한대이기 때문에 비교 판정법에 의해, 조화 계수의 화도 이와 같이 무한대가 된다.더 분명히 말하면, 상기의 증명에 대해 비교

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\,2^{k}\!}{\frac {1}{n}}>1+{\frac {k}{2}}}$ 

하지만 임의의 정의 정수 k에 대해서 성립한다.이 증명은 니콜・오레임에 의하는 것으로, 중세의 수학의 극한이다.현재는, 이 방법이 교과서적인 증명의 표준적인 것으로 하고 배우고 있다.코시의 판정법은 이 방법을 일반화한 것이 되어 있다.

적분 판정법

 

조화 계수의 발산을 있는 광의 적분이라는 비교에 의해서 나타내 보일 수도 있다.이것에는, 조화 계수의 각 항에 대응하는 면적을 가지는 가산무한개의 장방형의 모임을 생각한다.n번째의 항에 대응하는 장방형은, 가로폭 1, 높이 1/n를 가지는 것으로 한다.이러한 장방형의 면적의 합계는 조화 계수

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }$ 

의 값에 일치한다.한편, 곡선 y = 1/x를 생각해 x∈[1,∞)의 부분아래에 있는 면적은 광의 적분

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}=\infty }$ 

이다.이 면적은 방금전의 장방형들에 의해서 완전하게 덮이기 때문에, 장방형의 면적의 합계도 이와 같이 무한대가 된다.더 말하면,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}>\int _{1}^{k+1}{\frac {dx}{x}}=\ln(k+1)}$ 

하지만 나타났다고 하는 것이 된다.이러한 수법을 일반적으로 적분 판정법이라고 한다.

발산율

조화 계수의 발산은 매우 늦고, 예를 들어 최초의 10⁴³개의 항의 화는 100보다 작은[⁵].이것은 부분화가 대수적 증가(영문판)인 것에 의한다.특히

${\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}=\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}}$ 

하지만 성립된다.여기서γ는 나-・마스케로니 정수로ε_k는 k→∞의 극한으로 0에 가까워진다.이 결과는 나-에 의한다.

부분화

발산하는 조화 계수의 제n부분화

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$ 

(은)는 제n조화수로 불린다.

n번째의 조화수와 ln n와의 차이는, 나-의 정수에 수습한다.상이 되는 번호의 조화수끼리의 차이는 결코 정수는 되지 않는다.또, n = 1을 제외하고 어느 조화수도 정수가 아닌[⁶].

관련이 있는 급수

교대 조화 계수

 

교대 조화 계수의 최초의 14개의 부분화(흑선분).2의 자연대수(공창 지역)에 가까워지는 모습을 볼 수 있다.

급수

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$ 

(은)는 교대 조화 계수(alternating harmonic series)로서 알려진다.이 급수의 수습성은 라이프닛트의 수습 판정법으로부터 안다.특히 이 급수의 화는 2의 자연대수에 동일하다.즉

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2}$ 

하지만 성립된다.이 식은 자연대수 함수의 테일러 급수인 메르카토르 급수의 특별한 경우이다.

역탄젠트 함수의 테일러 급수로부터, 관련하는 급수

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}}$ 

하지만 이끌린다.이것은 라이프닛트의 것π한 공식으로서 알려진다.

일반 조화 계수

일반 조화 계수(general harmonic series)는 a, b를 실수로 해, a≠0되는 것으로서

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}}}$ 

그렇다고 하는 형태에 나타내지는 급수이다.비교 판정법에 의해, 임의의 일반 조화 계수가 발산하는 것을 나타내 보일 수 있는[⁷].

p-급수

조화 계수의 일반화로 p -급수(p-series)로 불리는 것은, 정의 실수 p를 이용해

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$ 

의 형태에 나타내진다.p = 1 때의 p-급수는 통상의 조화 계수이며, 발산한다.적분 판정법이나 코시의 판정법을 이용하면, p-급수는 p > 1 때에 반드시 수습하는 것을 알 수 있는(이 때의 p-급수는, 우조화 계수(over-harmonic series)라고도 불린다).반대로, p□1 때는 발산한다.p > 1 때, p-급수의 화의 값은 리만제이타 함수의 p에 있어서의 값ζ(p )에 동일하다.

φ-급수

실수치철함수φ로

${\displaystyle \limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi ({\frac {u}{2}})}{\varphi (u)}}<{\frac {1}{2}}}$ 

(을)를 채우는 것에 대해, 급수

∑_n□1φ(n－¹)

(은)는 반드시 수습한다.

확률 조화 계수

앨버트 대학의 바이론・숩란드(Byron Schmuland)는 확률 조화 계수(random harmonic series)

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}}}$ 

의 성질에 대해 연구한[⁸][⁹].분자의 s_n는±1의 값을 각각1/2의 등 확률로 취하는 독립 동분포 확률 변수열이다.이 확률 변수의 화가 거의 확실히 수습하는 것은, en:Kolmogorov three-series theorem등을 이용해 나타내 보일 수 있는[⁹]. 숩란드는, 그 극한이 몇개의 흥미로운 성질을 가진 확률 변수가 되는 것을 나타냈다.특히, 그 확률 변수의 확률 밀도 함수±2에 있어서의 값은

0.124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 764…

그리고, 이것은1/8(=0. 125)보다 10－⁴² 정도 작다.숩란드의 논문에는, 이 확률이1/8에 가깝지만 일치하는 것은 아닌 것의 설명이 나타나고 있다.이 확률의 엄밀한 값은

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\Bigl (}{\frac {x}{n}}{\Bigr )}dx}$    ^[10]

그리고 주어지는[⁹].

열화 조화 계수

자세한 것은 「켄프나 급수」를 참조

열화 조화 계수(depleted harmonic series)는, 조화 계수의 항 가운데, 분모의 10진표시의 여러분의 수의 어디엔가 9가 나타나는 것을 모두 배제하는 것으로 얻을 수 있는 급수이다.열화 조화 계수는 수습하고, 그 값은 22.92067... 되는[¹¹].실은, 10진표시열로부터 어느 특정의 숫자열을 없앴다고 해도, 그렇게 해서 얻을 수 있는 급수는 수습한다.

각주

[헬프]

1. ^ George L. Hersey, Architecture and Geometry in the Age of the Baroque, p 11-12 and p37-51.
2. ^ Graham, Ronald; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1989), Concrete Mathematics (2nd ed.), Addison-Wesley, pp. 258□264, ISBN 978-0-201-55802-9 .
3. ^ Sharp, R.T. (1954), "Problem 52: Overhanging dominoes", Pi Mu Epsilon Journal: 411□412 .
4. ^ Graham, Ronald; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1989), Concrete Mathematics (2nd ed.), Addison-Wesley, pp. 258□264, ISBN 978-0-201-55802-9 .
5. ^ Sequence A082912 in the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
6. ^ http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
7. ^ Art of Problem Solving: "General Harmonic Series"
8. ^ "Random Harmonic Series", American Mathematical Monthly 110, 407-416, May 2003
9. ^ ^{a b c} Schmuland's preprint of Random Harmonic Series
10. ^ Weisstein, Eric W. "Infinite Cosine Product Integral."From MathWorld – a Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/InfiniteCosineProductIntegral.html accessed 2014-11-09
11. ^ Nick's Mathematical Puzzles: Solution 72

관련 항목

위키메디아・코몬즈에는, 조화 계수에 관련하는 카테고리가 있습니다.

• 조화 수열
• 복소대수관계
• 라그리아스의 정리(영문판)

외부 링크

• 세계대백과사전 제 2판 「조화 수열」-코트반크
• 『조화 계수1+1/2+1/3…하지만 발산하는 것의 증명」-고교 수학의 아름다운 이야기.
• Weisstein, Eric W. "Harmonic Series". MathWorld(영어). 

• "Harmonic Series" at Springer Encyclopaedia of Mathematics
• "The Harmonic Series Diverges Again and Again", The AMATYC Review, 27 (2006), pp. 31□43. Many proofs of divergence of harmonic series.

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