발전기 이론

발전기 이론(발전기리로응, 영: dynamo theory)이란, 지구나 태양등의 천체가 내부의 유체 운동에 의해서 대규모 자장을 생성・유지하는 기능을 기술하는 이론이다.다이나모 효과, 발전기 작용이라고도 불린다.천체의 자장은, 대규모 전류에 의해서 유지되고 있다고 하는 의미로, 전자석이다고 생각되고 있다.전류가 전자석을 만든다고 하는 의미로는, 자장은, 발전기(발전기)와 같이 생성・유지되고 있다.

목차

이론의 대강

발전기 이론으로는, 자전하는 천체 중(안)에서, 도전성이 있는 유체가 대류에 의해서 자장을 유지하는 프로세스가 기술된다.이 이론은, 천체에 대해 왜 자장을 오랫동안 존재할 수 있는지를 설명하는데 사용된다.도전성 유체는 지구자장에 대하고는 외핵에 있는 액체의 철이며, 태양 자장에 있고는 대류층의 플라스마이다.천체의 발전기 이론에 있어서는, 자기유체 역학(전자 유체 역학, magnetohydrodynamics, MHD)의 방정식을 이용해 어떻게 유체가 계속적으로 자장을 재생할까를 조사한다.천체 물리학과 지구물리학에 있어서의 거의 모든 발전기는 자기유체 발전기이다.

지자기의 기원의 이론의 발달사

1600년에 윌리엄・길버트는, 「자석론(De Magnete)」에 두고, 지자기의 기원은 지구 내부에 있어, 지구 전체가 본질적으로는 자석인 것이다고 하는 논의를 한[¹].이래, 오랫동안, 영구자석이 지구 내부의 물질의 항구적인 자기를 일으켜 있다고 믿을 수 있어 왔다.컬・프리드리히・Gauss는, 1832년과 1838년의 논문에 의해서, 지자기의 강도의 관측 방법을 확립하는 것과 동시에, 지자기 포텐셜의 구면 조화 함수 전개의 방법을 발명해, 지자기의99%의 기원이 지구 외부는 아니고 내부일 것을 밝힌[2^].Gauss도, 지구 내부(그것도 지표 근처)에 있는 영구자석이 지구의 자장의 기원이다고 생각하고 있었다.발전기 이론의 맹아라고 할 수 있는 것은, 1919년에 죠제프・라모아가 태양 자장에 관해서 제안한[³][⁴].그것은 지구에도 적용할 수 있는 것이었지만, 단순한 아이디어였으므로, 그 이상 발전하지 않았다.라모아에 의한 제안의 뒤도, 저명한 과학자로, 다른 가설을 제안한 예도 있다.알베르트・아인슈타인은, 전자와 요코의 어떠한 비대칭성에 의해서 지구 전체로 지자기가 되어 있는 것은 아닐까 생각하고 있었다.노벨상 수상자 패트릭・브랙킷은, 실험을 통해서 각운동량과 자기모멘트의 관계를 찾아내려고 했지만, 잘 되지 않았던[⁵][⁶].

발전기 이론의 발전은 1930년대 정도까지 정체하고 있었다.하나의 이유는, 1933년에 토마스・카우링이, 전자 유도로는 축대칭인 정상 자장은 만들 수 없다고 하는 반발전기 정리를 증명해 버렸던 것에 있었다.지금부터 생각하면, 이것은 꽤 특수한 형태의 자장이 발전기 작용에 따라서는 만들 수 없다고 하는 것을 말하고 있을 뿐 인 것이지만, 당시는, 유체 발전기의 불가능성의 증명이라고도 수취되었다.지자기에 관한 당시의 대표적인 교과서인 체프 맨과 바테르스에 의한 「지자기」(1940)[⁷]으로는, 자기 증폭하는 발전기 작용이 부정되고 있었다.

현재에 연결되는 발전기 작용의 이론이 만들어진 것은 1940년대가 되고 나서이다.지자기의 기원에 관한 발전기 이론의 「아버지」는, 월터・엘 샷사이다.그는, 지구의 유체외핵 중(안)에서 유도되고 있는 전류에 의해서 지자기가 만들어져 있다, 라고 제안했다.그는, 암석중의 광물의 자화의 방향의 연구에 의해서, 지자기의 역사도 분명히 했다.1950년대가 되면 에드워드・브라드등이 발전기 이론의 구축에 참가했다.이 이론은, 한층 더 그 후, 지자기 오랫동안 변동, 고지 자기학(지자기 역전을 포함한다), 지진학, 및 태양계의 원소의 다양성 등 광범위의 연구를 통해라는 수정되었다.현재는, 지자기의 기원은 자기유체 발전기인 것이 확립되어 있다.

현재의 이해로는, 지구로는, 내부의 핵(코어)에 대하고, 철이나 니켈을 주성분으로 하는 액체 금속이 자전의 효과를 받으면서 열대류하는 것으로 전류를 일으켜 이 전류가 자장을 만들고 있다.오옴 흩어 없어짐(지구의 쌍극자 자장에서는 2 만년 정도로 일어난다)에 저항해 자장을 유지하기 위해서는, 외핵은 대류하고 있지 않으면 안 된다.대류로서는, 열적 대류와 조성적 대류의 양쪽 모두가 일어나고 있다고 생각되고 있다.핵으로부터 얼마나 열이 방출될까는 맨틀이 결정하고 있다.열원에는, 지구의 냉각에 수반하는 에너지의 방출, 핵의 압축에 의한 온도 상승, 내핵이 성장할 때에 내핵과의 경계에 있어 경원소(어쩌면 유황, 산소, 또는 규소)가 방출되는 것에 의한 중력 에너지의 해방, 내핵 경계에 있어서의 결정화의 잠열, 및 칼륨, 우라늄, 도륨의 방사능[⁸]등이 있다.

자장이 만들어지기 위해서는 회전 유체인 일도 본질적으로 중요하다.외핵은, 지구의 자전이 일으키는 코리올리 효과에 의해서 회전 유체가 되어 있다.코리올리력의 기능에 의해, 유체 운동과 전류는 자전 축으로 따른 기둥 모양(테일러기둥 참조)에 조직 된다.

기초 방정식

지구의 외핵과 같은 별로 압축성의 크지 않은 액체 금속중의 발전기 작용은 이하의 적어도 다섯 개의 방정식에서 기술된다.시네마틱 발전기 이론은, 이 중의 유도 방정식만의 성질을 조사하는 것이다.완전한 비선형 발전기 이론으로는 이하의 다섯 개의 방정식을 모두 이용한다.그 시뮬레이션은 컴퓨터를 이용해 수치적으로 행해진다.

자장의 유도내지 발생은 다음 유도 방정식에서 기술된다.이것은, 맥스웰 방정식에 빛보다 충분히 늦은 현상을 취급하는 근사를 하고, 자장 우세와 가정해, 게다가 오옴의 법칙의 회전(curl)을 대입하는 것으로 구할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=\eta \nabla ^{2}{\vec {B}}+{\vec {\nabla }}\times ({\vec {u}}\times {\vec {B}})}$ 

여기서 ${\displaystyle {\vec {u}}}$  (은)는 속도, ${\displaystyle {\vec {B}}}$  (은)는 자장, ${\displaystyle t}$  (은)는 시간, ${\displaystyle \eta =1/\sigma \mu }$  (은)는, 전기 전도율 ${\displaystyle \sigma }$  (와)과 투자율 ${\displaystyle \mu }$  (을)를 이용해 정의되는 자기 확산율이다.우변 제2항의 제1항에 대한 비율은, 자장의 확산의 이류에 대한 무차원의 비율인 자기 레이놀즈수를 준다.

자속밀도에 대한 소레노이달 조건：

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {B}}=0}$ 

브시네스크 질량 보존：

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {u}}=0}$ 

브시네스크 운동량 보존(나비에이스토크스 방정식으로서도 알려진다)：

${\displaystyle {\frac {D{\vec {u}}}{Dt}}=-\nabla p+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}+\rho ^{'}{\vec {g}}+2{\vec {\Omega }}\times {\vec {u}}+{\vec {\Omega }}\times {\vec {\Omega }}\times {\vec {R}}+{\vec {J}}\times {\vec {B}}}$ 

여기서 ${\displaystyle \nu }$  (은)는 동점성 계수, ${\displaystyle \rho ^{'}}$  (은)는 부력을 주는 밀도 섭동으로, 열대류의 경우는 ${\displaystyle \rho ^{'}=\alpha \Delta T}$ ,${\displaystyle \Omega }$  (은)는 지구의 자전 각속도, 그리고 ${\displaystyle {\vec {J}}}$  (은)는 전류 밀도이다.여기서, 압력은, 정수력학적인 압력과 구심 포텐셜을 제외한 동압이다.

마지막으로, 통상은 열(때로는 경원소)의 수송 방정식:

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\kappa \nabla ^{2}T+\epsilon }$ 

여기서 T는 온도, ${\displaystyle \kappa =k/\rho c_{p}}$  (은)는 열확산율(${\displaystyle k}$ (은)는 열전도율, ${\displaystyle c_{p}}$  (은)는 열용량, ${\displaystyle \rho }$  (은)는 밀도), 그리고 ${\displaystyle \epsilon }$  (은)는 열원으로, 이것은 생각하지 않는 것도 있다.이러한 방정식이 무차원화 되면, 이하의 무차원의 파라미터가 도입된다.

${\displaystyle Ra={\frac {g\alpha TD^{3}}{\nu \kappa }},E={\frac {\nu }{\Omega D^{2}}},Pr={\frac {\nu }{\kappa }},Pm={\frac {\nu }{\eta }}}$ 

여기서 Ra는 레일리수, E는 에크만수, Pr와 Pm는 prandtl수 및 자기 prandtl수이다.자장은 자주 엘 샷사수(Elsasser number) ${\displaystyle B=\rho \Omega /\sigma }$ (을)를 단위로서 스케일 된다.

시네마틱 발전기 이론

시네마틱 발전기 이론(운동 학문적 발전기 이론)으로는, 유도 방정식의 성질을 조사한다.속도장을 역학 변수로서 취급하지 않고, 미리 준다.이 방법은, 흐름(flow)의 구조나 속도에 의해서 자장이 어떻게 바뀌는지를 연구하기 위해서 이용된다.이 방법으로는, 물론 완전한 비선형인 발전기의 시간 변화는 기술할 수 없다.

유도 방정식은 자장 ${\displaystyle {\vec {B}}}$ 에 붙어 선형이므로, 속도장이 시간 변화하지 않으면, 해는${\displaystyle e^{\lambda t}}$ 에 비례하면 둘 수 있고,${\displaystyle \lambda }$ 에 대한 고유치 방정식이 이끌린다.흐름의 크기에 비례하는 자기 레이놀즈수가 충분히 크면 자장이 증폭되어 작으면 자장이 감쇠한다.그 경계가 되는 자기 레이놀즈수의 값을 임계 자기 레이놀즈수라고 한다.

시네마틱 발전기 이론의 이용법으로서는, 있는 주어진 속도장이 발전기 작용을 일으킬지를 조사하는 것이 있다.작은 종 자장에 대해서 조사하고 싶은 속도장을 작용시키고, 그 흐름에 따르고 자장이 성장할지를 보고 주면 좋다.만약 자장이 성장한다면 그 계에는 발전기 작용이 있는 것으로, 만약 자장이 성장하지 않으면 발전기 작용이 없다고 하는 것이다.

비선형 발전기 이론

유도 방정식은 자장에 대해서 선형이므로, 그것만으로는 자장의 힘이 정해지지 않는다.즉, 시네마틱 발전기 이론으로는 자장의 힘을 모른다.자장의 힘을 결정하려고 하면, MHD의 방정식을 전부 풀지 않으면 안 된다.이와 같이 해 풀린 발전기는, 자기유체 발전기로 불린다.자장이 강해지면, 속도는 로렌트력에 의해서 억제된다.그래서, 자장의 증폭이 억제되는 것으로, 자장의 힘이 정해진다.

블랙 홀과의 관계

막패러다임(membrane paradigm)은 발전기 이론의 말로 블랙 홀 표면 가까이의 물질을 들여다 보는 방법이다.

각주

[헬프]

1. ^야마모토(2003)
2. ^ Courtillot, Vincent; Le Mouel, Jean Louis (2007). "Earth's Magnetism (1269-1950)". Reviews of Geophysics 45. RG3008. 
3. ^ Larmor, J. (1919). "How could a rotating body such as the Sun become a magnet?". Reports of the British Association 87: 159□160. 
4. ^ Larmor, J. (1919). "Possible rotational origin of magnetic fields of sun and earth". Electrical Review 85: 412ff.  Reprinted in Engineering, vol. 108, pages 461ff (3 October 1919).
5. ^ Nye, Mary Jo (1 March 1999). "Temptations of theory, strategies of evidence: P. M. S. Blackett and the earth's magnetism, 1947□52". The British Journal for the History of Science 32 (1): 69–92. doi:10.1017/S0007087498003495. 
6. ^ Merrill, McElhinny & McFadden 1996, page 17에 대해서는, 특수 상대성이론의 논문을 집필해 얼마 되지 않은 1905년에, 알베르트・아인슈타인은 지자기의 기원을 근대 물리학이 직면하고 있는 미해결의 대문제이다고 했다, 라고 써 있다.그러나, 이 언명이 어디서 되었는지의 자세한 것은 쓰여지지 않았다.
7. ^ Chapman & Bartels (1940)
8. ^ Sanders, Robert (2003년 12월 10일). "Radioactive potassium may be major heat source in Earth's core". UC Berkeley News. http://www.berkeley.edu/news/media/releases/2003/12/10_heat.shtml 2007년 2월 28일 열람. 

참고 문헌

• 야마모토, 요시타카 「자력과 중력의 발견 3 근대의 시작」봐 주석 서점, 2003년 5월.ISBN 4622080338。
• Merrill, Ronald T.; McElhinny, Michael W.; McFadden, Phillip L. (1996). The magnetic field of the earth: Paleomagnetism, the core, and the deep mantle. Academic Press. ISBN 978-0-12-491246-5. 
• Olson, Peter, ed (2007). Core Dynamics. Treatise on Geophysics. 8. Elsevier. ISBN 978-0-444-51928-3. 
• Chapman, S.; Bartels, J. (1940). Geomagnetism. Oxford: Clarendon Press. 
• Demorest, Paul. "Dynamo Theory and Earth's magnetic Field." 21 May 2001. [1]
• Fitzpatrick, Richard. "MHD Dynamo Theory." 18 May 2002. [2]

관련 항목

• 발전기
• 태양 자장
• 태양 발전기
• 지자기
• 맥스웰 방정식
• 회전 자계
• 자기유체 역학

외부 링크

• Brandenburg, Axel. (2007년). "Hydromagnetic dynamo theory". Scholarpedia. 2013년 12월 21일 열람.

「https://ja.wikipedia.org/w/index.php? title=발전기 이론&oldid=50144930」으로부터 취득

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