매입(수학)

수학에 있고, 매입(묻어, embedding, imbedding[¹])이란, 수학적 구조간의 구조를 유지하는 단 쏘아 맞혀이다.

목차

토폴러지와 기하학

위상 공간론

위상 공간론에 있고, 매입이란, 상 위에의 동상사상인[²].즉, 위상 공간 X와 Y의 사이의 단 쏘아 맞혀 연속 사상 f: X→Y이며, (f(X)에는 Y의 상대 위상을 넣어) f가 X와 f(X)의 사이의 동상사상인 물건이다.

주어진 공간 X에 대해, 매입 X→Y의 존재는 X의 위상적 성질(영문판)이다.이것에 의해서 2개의 위상 공간을, 한편이 있는 공간에 묻을 수 있어 한편은 할 수 없다면, 구별할 수 있다.

미분 토폴러지

미분 토폴러지에 대해： M와 N를 매끄러운 다양체로 해, f: M→N를 매끄러운 사상으로 한다.이 때 f가 껴 포함이란, 미분이 도처에 단 쏘아 맞혀인 것을 말한다.매입(embedding), 혹은 매끄러운 매입(smooth embedding)은, 위에 말한 위상적인 의미로 매입인(즉 상 위에의 동상사상인) 단 쏘아 맞혀 껴 포함이라고 정의되는[³].

바꾸어 말하면, 매입은 상에의 미분 동상이며, 특히 매입의 상은 부분 다양체가 아니면 안된다.껴 포함은 국소적인 매입이다(즉 임의의 점x∈M에 대해, 근방 x∈U⊂M가 존재하고, f: U→N는 매입이다).

리만 기하학

리만 기하학에 있어： (M, g)(와)과(N, h)를 리만 다양체로 한다.등 장 매입(isometric embedding)이란, 매끄러운 매입 f: M→N이며 계량을 유지하는 것, 즉 g는 h의 f에 의한 되돌려(영문판)에 동일한, 즉 g = f*h인 물건이다.명시적으로는, 임의의 2개의 접벡터

${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$ 

에 대해,

${\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w))\,}$ 

하지만 성립된다.

대수학

일반적으로, 대수적권C에 대해서, 2개의 C-대수 구조 X와 Y의 사이의 매입이란, 단 쏘아 맞혀 C-쏘아 맞혀 e: X→Y이다.

체론

(가환)체론에 있고, 몸E의 몸F에의 묻어(embedding)란, 환 준동형σ: E→F이다.

σ의 핵은 E의 이데알이며, 이것은 조건σ(1) = 1에 의해, 몸E전체에서는 있을 수 없다.게다가 몸의 이데알은 영이데알과 몸자신 전체 밖에 없는 것은 잘 알려진 몸의 성질이다.따라서 각은 0이기 때문에, 몸의 임의의 매입은 단 쏘아 맞혀이다.따라서, E는 F의 부분체σ(E)에 동형이다.이것에 의해서 몸의 임의의 준동형에 대해서 매입이라고 하는 호칭이 정당화 된다.

보편 대수학과 모델 이론

「부분 구조(영문판) 및 Elementary equivalence(영문판)」도 참조

순서 이론과 영역 이론

순서 이론(영문판)에 있고, 반순서의 매입은 X로부터 Y에의 사상 F이며

${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\leq x_{2}\Leftrightarrow F(x_{1})\leq F(x_{2})}$ 

(을)를 채우는 것의 것이다.

영역 이론에 있어서는, 한층 더 다음 일이 요구된다：

${\displaystyle \forall y\in Y:\{x:F(x)\leq y\}}$  (은)는 유향이다.

거리 공간

거리 공간의 사이의 사상 ${\displaystyle \phi :X\to Y}$  하지만(distortion ${\displaystyle C>0}$  의) 매입이란,

${\displaystyle Ld_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\phi (x),\phi (y))\leq CLd_{X}(x,y)}$ 

하지만 있는 정수 ${\displaystyle L>0}$  에 대해서 성립되는 것을 말한다.

법칙 공간

중요한 특별한 경우는 법칙 공간의 경우이다.이 경우선형매입을 생각하는 것이 자연스럽다.

유한 차원 법칙 공간 ${\displaystyle (X,\cdot )}$  에 붙어 물을 수 있는 기본적인 문제의 하나는, 히르베르트 공간 ${\displaystyle \ell _{2}^{k}}$  (을)를 정수 distortion로 X에 선형에 묻을 수 있는 최대의 차원 k는 무엇인가?이다.

대답은 드보레트키의 정리(영문판)에 의해서 주어진다.

권론

권론에 있고, 모든 권에 대해 적용 가능한 매입의 만족이 살아 한편 일반적으로 받아 들여지고 있는 정의는 존재하지 않는다.모든 동형 쏘아 맞혀와 매입의 모든 합성은 매입인 것으로, 모든 매입은 물건 쏘아 맞혀인 것은 기대될 것이다.다른 전형적인 요구는： 임의의 extremal monomorphism(영문판)은 매입이며, 매입은 되돌려(영문판)의 아래에서 안정한다.

관련 항목

• 폐 가라앉혀 포함(영문판)
• 피복(영문판)
• Dimension reduction（영문판）
• 가라앉혀 포함
• 존슨・린덴 스트라우스의 보제（영문판）
• 부분 다양체
• 부분 공간

각주

1. ^ It is suggested by Spivak 1999, p. 49, that the word "embedding" is used instead of "imbedding" by "the English", i.e. the British.
2. ^ Hocking & Young 1988, p. 73. Sharpe 1997, p. 16.
3. ^ Bishop & Crittenden 1964, p. 21. Bishop & Goldberg 1968, p. 40. Crampin & Pirani 1994, p. 243. do Carmo 1994, p. 11. Flanders 1989, p. 53. Gallot, Hulin & Lafontaine 2004, p. 12. Kobayashi & Nomizu 1963, p. 9. Kosinski 2007, p. 27. Lang 1999, p. 27. Lee 1997, p. 15. Spivak 1999, p. 49. Warner 1983, p. 22.

참고 문헌

• Bishop, Richard Lawrence; Crittenden, Richard J. (1964). Geometry of manifolds. New York: Academic Press. ISBN 978-0-8218-2923-3. 
• Bishop, R.L.; Goldberg, S.I. (1968). Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.). The Macmillan Company. ISBN 0-486-64039-6. 
• Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). Applicable differential geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23190-9. 
• do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry. ISBN 978-0-8176-3490-2. 
• Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. Dover. ISBN 978-0-486-66169-8. 
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannian Geometry (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20493-0. 
• Hocking, John Gilbert; Young, Gail Sellers (1988) [1961]. Topology. Dover. ISBN 0-486-65676-4. 
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Differential manifolds. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8. 
• Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0. 
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1963). Foundations of Differential Geometry, Volume 1. New York: Wiley-Interscience. 
• Lee, John (1997). Riemannian manifolds. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6. 
• Sharpe, R.W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-94732-9. .
• Spivak, Michael (1999) [1970]. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 1). Publish or Perish. ISBN 0-914098-70-5. 
• Warner, F.W. (1983). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90894-3. .

외부 링크

• Adamek, Jiri; Horst Herrlich; George Strecker (2006). Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats). http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/. 
• Embedding of manifolds on the Manifold Atlas

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