메르게르얀의 정리

메르게르얀의 정리(Mergelyan's theorem)는, 복소해석의 유명한 결과로, 아르메니아의 수학자, 셀게이・메르게르얀(영문판)(Sergei Nikitovich Mergelyan)에 의해 1951년에 증명되었다.메르게르얀의 정리는, 다음과 같은 정리이다.

K를 ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$ 하지만 연결인 복소헤이면의 콤팩트 부분 집합으로 하면, 연속 함수 f : K${\displaystyle \to }$ C이며 K의 내부 int(K)에의 f의 제한이 마사노리가 되는 함수는 모두, K상에서 다항식에 의해 한결같게 근사 할 수 있다.

메르게르얀의 정리는, 거의 바이에르슈트라스의 근사 정리나 Lunge의 정리의 일반화이며 최종형이 되고 있고 있고, 다항식에 의한 근사의 고전적인 문제의 완전한 해답이 되고 있다.

${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$ 하지만 컴팩트하지 않은 경우는, 주요항의 근사 문제로 다항식이 유리 함수에 옮겨진다.이 유리 근사(영문판)(rational approximation) 문제의 해의 중요한 스텝도 또 메르게르얀에 의해 1952년에 제안되었다.유리 근사의 것보다 깊은 결과는, 특히 아나톨리-・비트시킨(영문판)(Anatoli Vitushkin)들에 의해 얻을 수 있었다.

바이에르슈트라스나 Lunge의 정리는 1885년 이전에 얻어지고 있는 것에 대해, 메르게르얀의 정리는 1952년에 얻을 수 있었다.메르게르얀 자신에 의해 고안 된 새로운 강력한 방법에 의해 정리가 증명되었으므로, 긴 시간이 걸린 것은 놀랄 만한 것은 아니다.바이에르슈트라스나 Lunge의 정리 이후, 많은 수학자(특히, 죠제프・레오나르도・와르슈(영문판)(Joseph Leonard Walsh)나 무스티스라후・케르디슈(영문판)(Mstislav Keldysh)나 미하일・라브렌티에후(영문판)(Mikhail Lavrentyev))는, 같은 문제에 도전하고 있었다.메르게르얀에 의해 제시된 증명의 방법은, 유일 알려져 있는 구성적인 증명이다.

참고 문헌

• Lennart Carleson, Mergelyan's theorem on uniform polynomial approximation, Math. Scand., V. 15, (1964) 167□175.
• Dieter Gaier, Lectures on Complex Approximation, Birkhauser Boston, Inc. (1987), ISBN 0-8176-3147-X.
• W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw□Hill Book Co., New York, (1987), ISBN 0-07-054234-1.
• A. G. Vitushkin, Half a century as one day, Mathematical events of the twentieth century, 449□473, Springer, Berlin, (2006), ISBN 3-540-23235-4/hbk.

외부 링크

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Mergelyan theorem", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/m063450.htm 

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