완화시간

물리학, 공학 및 사회과학에 대하고, 완화시간(사저 들이마신다, 때라고 이 들이마신다, 라고 해 승수, 영: time constant[¹])이란, 선형시 불변계(LTI 시스템)에 있어서의 1다음 주파수 응답을 나타내는 값이다.그리스 문자의 것τ으로 나타내진다.과도 현상의 응답 속도의 지표라고 해도 이해되는[¹].Time constant의 국역어로서는 「때라고 이 들이마신다」이다고 하는 설도 있다.학술 용어로서는 「사저 들이마신다」, JIS로는 「이라고 해 승수」라고 하고 있다.

예로서 전자 회로의 RC회로(저항기-콘덴서), RL회로(저항기-코일)가 있는[¹].그 값은 자기테이프, 송신기, 수신기, 레코드 및 재생장치, 디지털 필터등의 신호 처리계에 있어서의 주파수 응답의 특징을 나타내기 위해서 이용해 1다음 선형계로서 모델화 및 근사 한다.같은 식의 형태여도, 전자기학, 기계공학, 사회과학의 순서에, 완화시간이 커져, 시스템의 감시, 상태의 관리 방법이 다르다.전기적 수법보다 공기 압력을 제어의 적분이나 미분에 사용하는 제어 시스템도 완화시간을 이용하는 예로서 들 수 있다.

물리적 혹은 화확적[¹]에는, 완화시간은 시스템이 목표치의(1 -e^-1) [¹]에 이를 때까지의 시간을 나타낸다.혹은 외력이 제거되었을 때에 초기치의 약37%에 이르는데 필요한 시간이기도 한[1^].공학, 사회과학에서도, 약 63.2%에 이를 때까지가 시간이 걸리면, 전자기학으로는 마이크로 세컨드, 밀리 세컨드의 사상이 많아, 기계공학으로는 밀리 세컨드, 초의 단위가 많다.사회과학으로는, 시간, 일, 주, 월, 년등의 단위가 되기도 한다.완화시간의 크기가, 시스템의 분류에 도움이 된다.

목차

미분 방정식

자세한 것은 「LTI 시스템 이론」을 참조

수학적으로 동치인 이 미분 방정식의 수리 전반에 대해서는 「지수함수적 감쇠」를 참조

1다음 선형계를 다음 미분 방정식에서 나타낸다.

${\displaystyle {dV(t) \over dt}=-\alpha V(t)}$ 

여기서α는 지수 감소 계수를 나타내, V (t )는 시간 t의 함수이다.완화시간τ은 지수 감소 계수α에 관계하고 있다.

${\displaystyle \tau ={1 \over \alpha }}$ 

일반해

미분 방정식의 일반해는 다음 같게 된다.

${\displaystyle V(t)\ =\ V_{0}e^{-\alpha t}\ =\ V_{0}e^{-t/\tau }}$ 

여기서

${\displaystyle V_{0}\ =\ V(0)}$ 

(은)는 V의 초기치이다.

이 식은, 다음 일을 나타내고 있다.

• t = 0으로 초기치 V₀가, 시간과 함께 서서히 감소한다.
• t =τ의 시간이 경과하면 ${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{-1}\approx 0.368V_{o}}$  되어, 출력은 초기치 V₀의 약 36.8%된다.
• 한층 더 시간이 경과하면, ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }V(t)=0}$  에 가까워진다.

완화시간의 예

전자 회로에 있어서의 완화시간

 

콘덴서의 전압 스텝 응답

 

인덕터의 전압 스텝 응답

RL회로에 있어서의 완화시간τ(단위는 초)은 다음 같게 되는[¹].

${\displaystyle \tau \ =\ {L \over R}}$ 

여기서, R는 저항(단위는 오옴), L는 유도계수(단위는 헨리-)이다.같이 RC회로에 있어서의 완화시간τ은 다음 같게 되는[¹].

${\displaystyle \tau \ =\ RC}$ 

여기서, C는 정전 용량(단위는 파라드)이다.

신경 생물학에 있어서의 완화시간

뉴런에 있어서의 활동 전위에 대하고, 완화시간τ은 다음 같게 된다.

${\displaystyle \tau \ =\ r_{m}c_{m}}$ 

여기서, r_m는 막을 횡단하는 저항, c_m는 막의 용량이다.막을 횡단하는 저항은, 개방된 이온 채널의 함수, 용량은 지방질막의 특성의 함수이다.

완화시간은 활동 전위의 상승 및 하강을 기술하기 위해서도 이용한다.상승은

${\displaystyle V(t)\ =\ V_{max}(1-e^{-t/\tau })}$ 

하강은

${\displaystyle V(t)\ =\ V_{max}e^{-t/\tau }}$ 

그리고 나타내진다.여기서 전압의 단위는 밀리 볼트, 시간의 단위는 초,τ의 단위는 밀리미터이다.V_max는 활동 전위에 있어서의 최대의 전압으로서 정의된다.

${\displaystyle V_{max}\ =\ r_{m}I}$ 

여기서 r_m는 막을 횡단하는 저항, I는 전류이다.

• 상승에 대해 t =τ의 시간이 경과하면 V (t )는 0.63 V_max에 동일해져, 완화시간은 V_max의63%까지 경과하는 시간인 것을 의미한다.
• 하강에 대해 t =τ의 시간이 경과하면 V (t )는 0.37 V_max에 동일해져, 완화시간은 V_max의37%까지 경과하는 시간인 것을 의미한다.

완화시간이 커지는 것에 따라, 뉴런의 전위의 상승 및 하강은 늦어진다.긴 완화시간은 시간적 가산성, 혹은 포텐셜의 반복의 대수화에 기인한다.

방사성 원소의 반감기

방사성 동위 원소의 반감기 T_HL는 완화시간의 지수함수에 관계하고 있다.

${\displaystyle T_{HL}=\tau \cdot \ln 2}$ 

여담이지만, 완화시간 그 자체는 방사성 물질의 평균수명 그 자체이며, 붕괴 정수의 역수이기도 하다.

경제학에 있어서의 완화시간

투자등의 효과가, 시간과 함께 체감해 나가는 님을 미분 방정식에서 기술한다.

사회학에 있어서의 완화시간

사람의 사이에서의 정보의 전달, 문화의 침투가 시간과 함께 체감해 나가는 님을 미분 방정식에서 기술한다.

경영학에 있어서의 완화시간

예를 들면, 조직의 방침을 결정하고, 실제로 유효하게 기능하기 시작할 때까지의 시간.

참고 문헌

1. ^ ^{a b c d e f g h}나가쿠라 사부로외편 「이와나미 이화학 사전」이와나미 서점, 1998년.ISBN 4-00-080090-6。http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/08/6/0800900. html。 항목 「완화시간」보다.

관련 항목

• 지수함수적 감쇠-완화시간을 포함한 현상의 일반적인 수리
• 과도 현상-반응의 응답 속도의 기준이 될 수 있는 양
• 붕괴 정수-수학적으로는, 완화시간(물리학으로는 평균수명)의 역수
• 완화 시간

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