무니에의 정리 ~ 셀프피디아

2017년 6월 5일 월요일

무니에의 정리

무니에의 정리(Meusnier's theorem)와는 1776년에 프랑스의 수학자 쟌=바티스트・무니에에 의해서 제창되어 1785년에 논문 발표된 미분 기하학에 있어서의 정리이다.

어느 곡면에 대하고, 기운 평면에 의한 절선의 곡율 반경 $\rho$ 하지만 기존일 때, 해당 곡면의 수직절선의 곡율 반경 $\rho _{N}$ (은)는, 수직절면과 기운 평면과의 이루는 모퉁이를 $\varphi$ (으)로 할 때,

$\rho _{N}={\frac {\rho }{\cos \varphi }}$

(와)과 구할 수 있는 것을 주장하는 것이다.

지구를 적도 반경 $a$ 、이심율 $e$ 인 편구로 진단할 때, 지리 위도 $\varphi$ 에 있어서의 위선이 형성하는 엔(평행권)의 곡율 반경 $\rho$ (은)는, 타원의 기하학적 성질로부터 용이하게

$\rho ={\frac {a\cos \varphi }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}$

인 것이 나타난다.여기서, 지리 위도는 평행권과 묘서선을 포함한 평면과의 이루는 모퉁이와 다름없기 때문에, 무니에의 정리를 이용하고, 묘서선곡율 반경 $N_{\varphi }$ (을)를

$N_{\varphi }=\rho _{N}={\frac {\rho }{\cos \varphi }}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}$

(와)과 요구할 수 있다.

Meusnier, J. B. (1785): "Memoire sur la courbure des surfaces", Memoires de Mathematiques et de Physique, presentesal'Academie Royale des Sciences, par divers savans, et lus dans ses Assemblees, t. X, Paris, p. 477-510.