디리크레 고유치

수학에 있고, 디리크레 고유치(디리크레 코유 쳐, 영: Dirichlet eigenvalue)는, 있는 주어진 형태의 이상적인 북의 기본 고유 진동이다.여기서의 문제는, 북의 형태를 들을 수 있는지(영문판), 이다.즉, 디리크레 고유치가 주어졌을 때, 그 북의 형태의 어떠한 특징을 추측할 수 있는지, 라고 하는 것이다.여기서의 「북」이란, 경계가 고정된 평면 영역으로서 나타내지는, 신축 자재의 막Ω을 말한다.디리크레 고유치는, 미지 함수 u≠0으로 고유치λ에 대해서 다음 문제를 푸는 것으로 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta u+\lambda u=0&{\rm {{in\ }\Omega }}\\u|_{\partial \Omega }=0.&\end{cases}}}$

(1)

여기서Δ는, xy-좌표에 대하고 다음으로 주어지는 라프라시안이다.

${\displaystyle \Delta u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}.}$

경계치 문제(1)는, 물론 헤룸호르트 방정식에 대한 디리크레 문제이며, 따라서λ는Ω에 대한 디리크레 고유치로서 알려진다.디리크레 고유치는, 대응하는 노이만 문제에 대한 고유치인 노이만 고유치와는 비교된다.(1) 에 나타나는 laplace 작용소Δ는, 디리크레 경계 조건을 채우는 함수 u 에 대해서만 생각할 수 있을 때, 자주 디 리크 레라 플라스틱 시안으로 불린다.보다 일반적으로, 스펙트럼 기하학(영문판)에 있어서는, (1)는 경계를 가지는 다양체Ω상에서 생각할 수 있다.이 때Δ는, 디리크레 경계 조건에 대해서, laplace=베르트라미 작용소(영문판)가 된다.

콤팩트 자기모두역 작용소에 대한 스펙트럼 정리를 이용하는 것으로, 고유 공간이 유한 차원이며, 디리크레 고유치λ가 열매 한편 정이며, 집적점을 가지지 않는 것이 나타난다.따라서, 그것들을 크기의 차례로 늘어놓을 수 있다：

${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}\to \infty .}$

여기서 각 고유치는, 그 기하학적 중복도에 따라서 셀 수 있다.그 고유 공간은, 자승가능 적분 함수의 공간에 있어 직교 해, 매끄러운 함수로부터 된다.실제, 디 리크 레라 플라스틱 시안은, 소보레후 공간 ${\displaystyle H_{0}^{2}(\Omega )}$ (으)로부터 ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ 에의 작용소에의 연속적인 확장을 가진다.이 작용소는 가역이며, 그 역은 컴팩트하고 자기공역이기 위해, 통상의 스펙트럼 정리는Δ의 고유 공간과 그 고유치의 역수1/λ를 얻기 위해서 이용할 수 있다.

디리크레 고유치의 연구에 있어서의 기본적인 도구의 하나에, 다음 최대치 최소치 원리가 있다：제일 고유치λ₁은 디리크레에네르기를 최소화한다.즉

${\displaystyle \lambda _{1}=\inf _{u\not =0}{\frac {\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}}{\int _{\Omega }|u|^{2}}},}$

(은)는,Ω에 두어 항등적으로 제로는 되지 않는 컴팩트한 받침대를 가지는 모든 u에 관한 하한이다.이 하한은 제로가 아니다 ${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ 에 관한 하한이 된다.한층 더 락스=밀 그램의 정리와 같은 변분법의 결과를 사용하는 것으로,${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ 안에 최소점이 존재하는 것을 증명할 수 있다.보다 일반적으로

${\displaystyle \lambda _{k}=\sup \inf {\frac {\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}}{\int _{\Omega }|u|^{2}}}}$

하지만 성립된다.여기서 상한은 모든(k－1)-타풀 ${\displaystyle \phi _{1},\dots ,\phi _{k-1}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$ 에 붙어 놓쳐 하한은φ_i에 직교 하는 모든 u에 대해 놓친다.

응용

디 리크 레라 플라스틱 시안은, 수리물리학의 여러가지 문제에 나타난다.예를 들면, 이상화된 북의 모드나, 이상화된 풀의 표면에서의 작은 물결이나, 근축근사에 있어서의 이상화된 광섬유의 모드 등에 관한 문제로 나타난다.이 마지막 예는, 더블 클래드 섬유(영문판)와의 관계로 가장 실용적이다.그러한 섬유에 대하고, 대부분의 모드는 영역을 한결같게 묻든가, 혹은 대부분의 반직선은 그 핵과 교차한다고 하는 사실이 중요하다.가장 단순한 형태의 영역은은, 원상 대칭인[¹][²][³].펌프의 모드는, 더블 클래드 섬유 증폭기에 대해서 이용되는 액티브 코어를 피해서는 안된다.그러한 응용에 대해서 소용돌이 모양 영역은, 디 리크 레라 플라스틱 시안의 모드의 경계에서의 거동에 의해, 특히 효과적이 되는[⁴].

다음 정리는, 기하 광학에 있어서의 반직선의 성질과 닮은 디 리크 레라 플라스틱 시안의 경계에서의 거동에 관한 것이다：반직선의 각운동량은, 그 반직선이 체크 무디어져 익을 때까지, 경계의 소용돌이 모양의 부분에서 반사할 때마다 증가한다.(광축과 평행한 것을 제외하다) 모든 반직선은, 각운동량의 초과를 위해서 체크의 부근을 반드시 통과한다.같이 디 리크 레라 플라스틱 시안의 모드는 체크의 부근에서 제로로 없는 값을 받는다.그 모드의 경계에서의 미분의 법선 성분은, 압력이라고 해석할 수 있다.그 압력이 표면에 붙어 적분 된 것이 힘이 된다.그 모드는 전파 방정식의(종좌표에의 자명한 의존성을 가진다) 정상해이므로, 그 힘의 총화는 반드시 제로가 된다.같이 그 힘의 각운동량도 제로가 되지 않으면 안 된다.그러나, 물리계에 대해서 같은 결과를 얻을 수 없다고 하는 사실에 관한 정식적이다 증명이 존재하는[⁴].

주석

1. ^ S. Bedo; W. Luthy; H. P. Weber (1993). "The effective absorption coefficient in double-clad fibers". Optics Communications 99 (5-6): 331□335. Bibcode 1993 OptCo..99..331 B. doi:10.1016/0030-4018(93)90338-6. http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TVF-46JGTGD-M5&_user=10&_coverDate=06%2F15%2F1993&_alid=550903253&_rdoc=1&_fmt=summary&_orig=search&_cdi=5533&_sort=d&_docanchor=&view=c&_ct=1&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=c8a4c3ecc3d9a4e9ecb84f96cfef0333. 
2. ^ Leproux, P.; S. Fevrier; V. Doya; P. Roy; D. Pagnoux (2003). "Modeling and optimization of double-clad fiber amplifiers using chaotic propagation of pump". Optical Fiber Technology 7 (4): 324□339. Bibcode 2001 OptFT...7..324 L. doi:10.1006/ofte.2001.0361. http://www.ingentaconnect.com/content/ap/of/2001/00000007/00000004/art00361. 
3. ^ A. Liu; K. Ueda (1996). "The absorption characteristics of circular, offset, and rectangular double-clad fibers". Optics Communications 132 (5-6): 511□518. Bibcode 1996 OptCo. 132..511 A. doi:10.1016/0030-4018(96)00368-9. http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TVF-497C4YV-BW&_user=10&_coverDate=12%2F15%2F1996&_alid=550869877&_rdoc=3&_fmt=summary&_orig=search&_cdi=5533&_sort=d&_docanchor=&view=c&_ct=3&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=688bbca25fdd98e29caadb676b003c1e. 
4. ^ ^{a b} Kouznetsov, D.; Moloney, J.V. (2004). "Boundary behavior of modes of Dirichlet laplacian". Journal of Modern Optics 51 (13): 1955□1962. Bibcode 2004 JMOp...51.1955 K. doi:10.1080/09500340408232504. 

참고 문헌

• Benguria, Rafael D. (2001), "Dirichlet eigenvalues", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/d/d130170.htm .
• Chavel, Isaac (1984). Eigenvalues in Riemannian geometry. Pure Appl. Math.. 115. Academic Press. ISBN 0-12-170640-0. .
• Courant, Richard; Hilbert, David (1962). Methods of Mathematical Physics, Volume I. Wiley-Interscience. .

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