2017년 4월 10일 월요일

곱셈의 순서 문제

곱셈의 순서 문제

곱셈의 순서 문제(곱셈의 순서도 야)[1]은, 곱셈에 의해서 해를 얻을 수 있는 산수의 문장제목에 대하고, 특정의 순서로 쓰여진 식만을 정답으로 하는 채점 방침과 어느 순서로 쓰여진 식에서도 정답으로 해야 하는 것이다고 하는 주장의 대립인(자세한 것은 본문)[요점 출전].일본에서는, 1972년에 아사히 신문에서 보도된 이래, 수학자등에 가끔 다루어진[2].「곱셈의 순서 강제 문제」[3]「곱셈의 식의 올바른 순서」[4]「곱셈의 차례」[5]등이라고도 말하고 있다.

예를 들면, 1개 만큼의 수×몇분에 구만곱셈의 문장 문제로는, 「6명의 어린이에게, 1명 4오지 않고 죄나 를 내리고 싶다.귤은 몇 개 있으면 좋을까요.」라고 하는 설문에 대한, 「(사계) 6×4 = 24(대답해) 24개」라고 하는 해답을 부정해에 해야 할지[6]이 문제가 된다.일본의 초등학교로는, 1개 만큼의 수×몇분의 순서로 쓰여져 있는 식만을 정답으로 하는 채점 방침을 자주 볼 수 있어 식을 부정해로 해 대답을 정답으로 하는 일이 있는[7].이것에 대해서, 교환법칙이 성립되기 때문에 어느 쪽의 순서라도 좋은[8], 트럼프 배부와 같이 1오지 않고 개 건네준 아이는 6을 하나분 (1순분)으로 생각할 수도 있는[9]등의 비판이 있다.일본의 초등 학생을 위한 교과서, 학습 참고서에 예시되고 있는 식은 「1개 만큼의 수×몇분 」의 순서에 거의 통일되고 있다.반대의 순서에 쓰여진 식을 부정해로 간주하는 기술은, 각사의 교과서 지도서 및 일부의 교과서・학습 참고서로 보여진다.그러나, 문부 과학성에 의한 학습 지도 요령 및 지도 요령 해설로는 순서는 규정되지 않고, 문부 과학성은 신문의 취재에 대해서 채점 방침은 학교 현장에 재량이 있다고 하고 있는[10].

세계적으로는, 순서를 불문으로 하는 지역[11]과 이상과 같은 순서와는 반대의 순서를 주류로 하는 문화권이 있는[12].

목차

일본에 있어서의 곱셈의 순서 지도의 현상

학습 지도 요령・학습 지도 요령 해설의 기술

학습 지도 요령으로는, 곱셈의 기호 「×」은 곱셈의 의미등과 함께 제2학년으로 학습하게 되어 있다.

초등학교 학습 지도 요령 해설 산수편[13]으로는,×의 좌측으로 하나 분의수(걸칠 수 있는 수, 피승수), 우측으로 몇 개분에 해당하는 수(걸치는 수, 승수)를 쓰고 있는 식을 많이 볼 수 있는[요점 출전].몇개인가예를 나타낸다.

제2학년으로는, 「승수가 1증가하면 적은 피승수분만큼 증가하는 것」을 활용하고, 4×9 = 36으로부터, 4×10 = 40(36보다 4만 증가한다)등을 요구한다.수학적으로는 「피승수가 1증가하면 적은 승수분만큼 증가하는 것」도 말할 수 있지만, 4×9 = 36에서 5×9 = 45를 요구한다고 하는 사례는 쓰여지지 않았다.제2학년으로는 이 외 , 곱셈의 식으로부터 장면이나 문제를 만드는 활동에 대하고, 3×4의 식에 대해, 「푸딩이 3 개씩 들어간 팩이 4 팩 있습니다.푸딩은 전부 몇 있습니까.」라고 하는 문제를 예시하고 있다.「푸딩이 4 개씩 들어간 팩이 3 팩 있습니다.푸딩은 전부 몇 있습니까.」라고 하는 문제를 만드는 아이에게의 지도에 대해서는, 규정되어 있지 않다.

제3학년으로는, 필산에 대해 피승수와 승수가 구별된다.23×45라면 45가 승수이며, 이것을 45 = 40 + 5로 보고, 23×40으로 23×5로 나누어 계산한다.또 같이 제3학년으로 제법이 도입되지만, 그 때에 제법의 「의미」에는 「등분제와 포함제」(#등분제와 포함제를 참조)이 있다고 하여, 그것과 곱셈을, 포함제는 3×□= 12, 등분제는□×3 = 12인, 등과 관련짓게 하고 있다.

고학년으로는 소수의 곱셈을 학습하지만, 제4학년으로는 승수가 정수인 경우에 한정된다.0.1×3이라면, 0.1 + 0.1 + 0.1의 의미이다.제5학년으로는 승수가 소수가 되는 곱셈을 학습해, 「1 m의 길이가 80엔의 옷감을 2.5 m 샀을 때의 대금」은, 80×2.5로 나타내진다.

말의 식에 대해서도, 「1 m의 무게×봉의 길이=봉의 무게」 「(단가)×(개수)=(대금)」(이)라고 일관해서 있다.또한 중학교 학습 지도 요령 해설 수학편[14]로는, 몇개의 말의 식과 함께 「(가격)=(단가)×(개수)」가 기록되고 있다.

그러나, 장면에 대응스루곱셈의 식은, 항상 하나라고 하는 것은 아니다.제2학년으로는, 「12개의 구슬치기를 궁리해 늘어놓는다」라고 하는 활동에 대하고, 다음 같게 구슬치기를 늘어놓아 복수의 식을 기재하고 있다.이것은 「하나의 수를 다른 수의 적으로서 본다」일을 의도한 것이다.

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2×6또는 6×2
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3×4또는 4×3





제4학년의 장방형의 면적의 공식으로는, 「(장방형의 면적)=(세로)×(옆)(혹은(옆)×(세로))」(이)라고 있다.

학습 지도 요령은 「교육과정의 표준」 「 각 교과로 가르치는 내용」을 정한 것이어, 예시로서 한쪽의 순서를 나타내고 있는 곳은 있어도, 그 한쪽의 순서에서만 식을 쓰는 것을 요청하는 문장은 존재하지 않고, 한편의 순서를 부정해로 할 것도 없다.학습 지도 요령・학습 지도 요령 해설에 근거해 교재나 수업, 테스트로서 구체화되어 가는 가운데, 특정의 순서가 선택된다.그 때, 반대의 순서에 쓰여진 식을 정답으로 할까 부정해로 할까는 다양한[15].

문부 과학성 초등 중등 교육국 교육과정과는 중일 신문의 취재에 대답해 「곱셈의 의미를 이해시키도록(듯이) 정하고 있지만, 순서에 대해서는 나라가 정하는 것은 아니다」라고 말하는 것과 동시에, 지도 요령 해설의 「10×4는, 10이 네 개 있는 것부터, 40이 된다」를 근거로 「순서에 의미가 있다」라고 하는 해석에 대해서는 「깊게 지나치게 생각해라고 생각한다」라고 부정하고 있는[16].

교과서・교과서 지도서의 기술

일본의 학교 교육으로는, 초등학교 2 학년의 산수 나가 산의 도입이 행해진다.초등학교 2 학년의 산수 교과서에서는,

1개 만큼의 수×몇분=전부의 수

(으)로서 곱셈의 도입이 이루어진다.

예를 들면,

☆1(아) 1권 x엔의 노트를 8권 삽니다.대금을 y엔으로서 x와 y의 관계를 식에 나타냅시다.

— 계림관소 6 산수 교과서 「두근두근 산수 6상」p. 58

그렇다고 하는 문제의 정답은 「x×8 = y」라고 교과서에 나타나고 있다.

이 교과서의 지도서[17]으로는,

☆1의 것(아)으로 말하면, x×8 = y에서도 y = x×8에서도 올바르지만, 「1권 x엔의 노트를 8권 사, 대금이 y엔일 때의 관계식」이라고 하는 문장의 흐름 매운 보풀, x×8 = y를 추천 하고 싶다.

다만, x×8이 8×x가 되어 있는 경우는, 「8엔의 노트가 x권」이라고 하는 의미가 되어 버리므로 문제문과는 맞지 않는다.항상 식의 의미를 제대로 의식시키는 것이 소중하다.

— 계림관소 6 산수 교과서 「두근두근 산수 6상」지도서주주p. 58

(이)라고 설명되고 있다.게다가

1개 x엔의 도시락을 3개 모아서 사면, 80엔 싸집니다.
이 때의 대금을 나타내고 있는 식은, 다음 어떤 것입니까.

(아) x×3+80
(있어) 3×x+80
(우) x×3-80
(네) 3×x-80

그렇다고 하는 문제가 있어, (우)만을 정답으로 하고 있다.이와 같이, 현행의 계림관교과서에서는 초등학교 6년에 이르기까지 「특정의 순서로 나타내지는 식만이 올바르다」라고 해, 현장 교원 전용의 메뉴얼에서도 순서가 거꾸로 된 식은 의미가 문장과 맞지 않는다고 하고 있다.

초등학교 산수 교재로는 해답란이 「식」과「답」으로 나누어져 있는 것이 통례이다.교원은, 지도서에 따라서, 「식」의 란을 보고, 아동이 문제문의 독해를 올바르게 되어 있을지를 채점하게 된다.올바르게 독해가 되어 있지 않다고 여겨지는 식의 쓰는 법을 하고 있는 아동은, 답이 올발라도 「식」이 올바르지 않기 때문에 부정해라고 되는 일이 있는[16].이러한 경우는, 「식」에 바트를 붙여 「답」에 말을 붙이는 것이 통례이다.

중일 신문의 취재에 대해서, 도쿄 서적은, 문장제목의 의미를 이해하고 있는지를 판별하는 단서로서 식의 순서를 보면 좋은, 또, 지도 요령 해설에 「10×4는, 10이 네 개 있는 것부터, 40이 된다」라고 한 기술이 있는 것을 근거로 「순서에 의미가 있다」라고 주장한[16].

아동의 이해

이토 히로시의 보고[18]에 의하면, 「여기에 4매의 봉투가 있습니다.수나 너가, 1매의 유부조림 사과를 3오지 않고 개 넣었습니다.사과는, 전부 몇 개 있습니까」라고 하는 설문에 대해서, 초등학교 3 학년 34 명중, 8명이 3×4, 1명이3+3+3+3, 21명이 4×3으로 대답해 그 외의 해답이 4명이었다. 또, 그림을 거를 수 있었는데

어째서, 그러한 사계가 되었는지, 그림에 써 가르쳐 주세요.

  • 식이 정답으로, 그림에도 올바르게 나타낼 수 있던 아동(8명)
  • 식이 오답에서도, 그림에는 올바르게 나타낼 수 있던 아동(21명)
  • 식이 정답으로, 그림에는 올바르게 나타낼 수 없었던 아동(1명)
  • 식이 오답으로, 그림에도 올바르게 나타낼 수 없었던 아동(4명)

그렇다고 하는 결과를 얻었다.여기서, 4×3은 오답으로 간주해지고 있다.

또, 일단, 그림에 의거해 식과 대답을 쓸 수 있게 된 아동이, 곱셈의 순서가 지도된 후, 문장제목이 풀리지 않는다고 말하기 시작해, 식을 쓰는 것을 주저 하게 된 예가 보고되고 있는[19].

「올바른 순서」를 쓰게 하기 위한 지도

아동에게 「올바르다」순서로 식을 쓰게 하는 것은 어려운 것이어, 그 때문에(위해), 여러가지 방법이 개발 실천되고 있다.

 
식과 만나는 그림을 선택하고 선으로 묶으세요…

예를 들어, 타나카 히로시는 문장과 그림을 선으로 묶는 것으로 그림과 식을 선으로 묶는 것을 연습하는 드릴을 개발한[20].이 드릴로는, 예를 들어, 「3×2」(와)과「3개의 게다가 2 개씩 사과가 오르고 있는 그림」을 묶는다고 오답인 것이 된다.

그 밖에

「3×2는 3개귀의 토끼가 2마리, 2×8은 2개 다리의 낙지가 8마리 있다고 하는 의미가 됩니다.」[21]등과 지도를 행한다.
그림을 그리게 하고, 그림 속에서 사람이나 모임이 되어 있는 것을 「1개 만큼의 수」로 하도록(듯이) 지시하는[요점 출전].
「샌드위치의 법칙」이라고 하는 특수한 규약을 준수하도록(듯이) 지시하는[요점 출전].

그렇다고 한 「올바른 순서」지도가 전개된다.

예를 들어 「3명에게 4 개씩 귤」의 경우, 그림을 그리게 하면, 각자가 4 개씩 귤을 가지고 있고, 그림 속에서 귤 4개가 사람이나 모임이 되어 있으므로, 4를 「1개 만큼의 수」로서, 4×3으로 「립식」해야 한다.

「100엔의 노트를 8권」의 경우라면 단위(조수사)에 주목해 원×권=엔과 같이 샌드위치의 형태로 하는 것이 올바르고, 100×8 = 800이 정답으로 여겨지는[요점 출전].이러한 「립식」의 방법을 샌드위치의 법칙이라고 부른다.

「곱셈의 올바른 순서」에 대한 비판

교환법칙을 채우므로, 어느 순서로 써도 부정해에 해서는 안된

 
겉(표) 형식(어레이도)에 늘어놓은 귤
답안에 6×4=24이라고 하는 식을 쓰고 수준 미달을 붙여진 어느 아동의 부형은, 「6×4=4×6이라고 하는 것은 일반적인 상식이고, 수학상, 교환법칙에 의거하는 진리이기도 하다」라고 지적했다. — 아사히 신문, 1972년 1월 26일

「6명의 어린이에게, 1명 4오지 않고 죄나 를 내리고 싶다」라고 할까 케산의 문제에 대하고, 교환법칙으로부터 6×4는 4×6은 같은 값이 되기 위해, 부정해에 해서는 안된다고 하는 주장이 있다.

이 곱셈의 문제에는 교환법칙을 적용할 수 있다.이유의 하나는, 이 문제를 풀려고 했을 때에 이미지를 하기 위해서 겉(표) 형식(어레이도)에 늘어놓아 그렸을 경우, 세로로부터 시작하는 식(6×4)도 옆으로부터 시작하는 식(4×6)도 그림으로부터 읽어 잡혀 이 세로와 가로의 대등성은 교환법칙의 전제이기 때문이다.[22][23]

1개 만큼의 수를 결정하는 것은 좋지 않은

 
4씩 나눠줄까 6씩 나눠줄까에 의해서 1개 만큼의 수가 바뀐다.
귤을 나눠주는데, 트럼프를 나눠줄 때의 방식으로 나눠주면, 1회분이 6개, 그것을 4회쿠바루이니까, 그것을 떠올리는 아이는, 오히려, 6×4=24이라고 하는 방식을 세우는 편을 합리적이라고 말할 수 있다. — 토오야마히라쿠, 양이란 무엇인가 I, p116

「6명의 어린이에게, 1명 4오지 않고 죄나 를 내리고 싶다」라고 할까 케산의 문제에 대하고, 「1개 만큼의 수」가 1명에 나눠주는 4개이다고는 할 수 없다.

트럼프 배부와 같이 6명에게 1오지 않고 죄나 를 나눠주는 경우, 1순으로 나눠주는 6개를 「1개 만큼의 수」라고 생각해도 이상하지 않다. 그것을 4순 한다고 하는 식 「6×4=24」은, 1개 만큼의 수×몇분=전부의 수라고 하는 수학적 사고에 기즈이타곱셈이 된다.

출제자가 자의적으로 상정하는 「1개 만큼의 수」는, 오히려 올바른 수학적 사고에 대한 저해 요인이나 될 수 있는 일로부터, 해답의 정 부정하게 영향 해서는 안된다.

순서로는 문장제목의 의미를 이해하고 있는지를 판별할 수 없는

곱셈의 순서로 「독해」가 올바르게 되어 있든가 혹은 「문장제목의 의미를 이해하고 있을까」를 판정한다고 하는 생각은 불합리하다. 이토 히로시의 보고[18]과 같이 그림을 그리게 했을 경우, 그림을 보는 것에 의해서 아동이 올바르고 문제문을 읽어내고 있을까 판단할 수 있다.그 결과, 초등학교 3 학년에 대하고, 순서의 독해가 적절히 되어 있어도 문제에 등장한 순서에 쓰는 아동 쪽이 많고, 「올바른 순서」가 아닌 식을 쓴 아동이라도 적절히 독해가 되어 있는 것이 보고되고 있다.

또, 원×권=엔과 같이 샌드위치의 형태로 하는 것이 올바르다는 등 지도하면, 수치로 단위(조수사)를 보면 기계적으로 「올바른 립식」이 가능하게 되게 된다.문제문을 올바르게 읽어내게 한다고 하는 당초의 목적으로 역행하는 것이다.

이와 같이, 곱셈의 순서로 「독해」가 올바르게 되어 있는지 판정한다고 하는 생각은 불합리하고, 설득력을 갖지 않는다.

테스트는 교육의 한 수단이며, 부정해로 해 끝내야 하는 것이 아닌

이것(아사히 신문, 1972년 1월 26일)을 읽어 우선 느낀 것은, (중략) 테스트는 교육의 한 수단이며, 그 목적은 아니다.(중략) 6×4로 쓴 아이가 있으면, 바트를 붙이기 전에(중략) 좋은가 나쁜가를 토의시키면 좋을 것이다.그렇다면, 그 토의의 과정에서, 그 아이가 잘못되어 있으면, 왜 잘못으로 여겨졌는지를 납득할 것이다.또, 4×6으로 쓴 아이도, 그 아이의 설명을 들어 6×4의 생각을 알 수 있고, 찬성할지도 모른다.(중략) 바트를 붙여 끝내면, 모처럼의 찬스오노가스 것으로 되어 버린다. — 토오야마히라쿠, 양이란 무엇인가 I, p114

일견 정답과 다른 해답을 들어 토의시키면, 왜 잘못인지를 아는 것이나, 올바른 생각을 여러 가지 알 수 있어 교육의 하나의 수단이 되므로, 곱셈의 순서가 차이가 나도 정답의 가능성이 있는 테스트는, 빨리 부정해로 해 끝내서는 안되라고 하는 주장이다.

이 주장으로는, 정답인지 어떤지는 토의의 후에 밝혀지지만, 토의에 들어갈 때까지의 채점 방법이나, 올바르게 이해하고 있을지를 조사하는 목적의 테스트의 취급에 대해서는 언급되어 있지 않다.(테스트는 점을 얻는 것이 목적은 아닌 것은 언급되고 있다.) 그러나, 해답에 책그타곱셈의 순서가 다를지만으로, 곱셈의 이해가 올바른지 어떤지를 조사하지 못하는 것은 나타나고 있다.

다면적으로 것을 보는 힘이나 논리적으로 생각하는 힘을 기르는 것에 마이너스

반드시 「1개 만큼의 수×몇분=전부의 수」라고 하는 패턴에 적용시키고 생각하지 않으면 안 되는 것은 아니다.

「3명에게 각각 4 개씩 귤을 나눠주었다.귤은 전부 몇개인가」라고 하는 문제는, 장방형의 형태에 늘어놓아 놓여져 있는 귤의 수를 요구하는 문제와 같은 것이라고 간주할 수 있다.이와 같이 생각했을 경우, 「3×4」 「4×3」모두 올바른 것은 자명하다.또, 곱셈의 식을 「1개 만큼의 수×몇분=전부의 수」는 아니고 「몇분×1개 만큼의 수=전부의 수」라고 해석할 수도 있다.

「3×2로 3개귀의 토끼가 2마리, 2×8으로 2개 다리의 낙지가 8마리라고 하는 의미가 됩니다.」라고 하는 해석은 부적절하다.[요점 출전]

「곱셈의 올바른 순서」를 추진・옹호 하는 주장

「1개 분의수」×「몇분 」의 순서로 쓸 약속이 되어 있는

곱셈의 식은 「1개 분의수」×「몇분 」의 순서에 쓸 약속이 되어 있으므로, 문제문으로부터 올바르게 읽어내고, 그대로에 식에 쓸 수 있도록 합시다. —  Benesse 초등 학생의 학습 Q＆A

곱셈의 식은 「1개 분의수」×「몇분 」이라고 가르치고 있기 때문에 그 순서에 쓸 약속이 되어 있으므로,×의 좌우의 수가 거꾸로 된 식은 의미가 달라, 부정해이다고 하는 주장이다.[24]

「1개 분의수」×「몇분 」의 순서로 쓸 약속이 있으면, 1개 분의수 물어 구두분이 각각 올바르게 읽어낼 수 있고 있는지 어떤지를, 문제문과 식의 순서를 굳이 반대로 한 문제에 의해서 확인할 수 있다.[25]

 
곱셈의 숫자로 문장에 나타나는 숫자를 굳이 반대로 한 문제문
「1권 5엔의 노트를, 6권 사면, 아무리 지불하면 좋을 것입니다.」라고 하는 문제를 풀 때는, 「5엔×6」(으)로서, 그 결과를 요구하는 것이 보통이다.그런데 , 이 문제를, 「노트를 6권 샀습니다.모두 1권 5엔이었습니다.전부 아무리 지불하면 좋을 것입니다.」라고 하면, 「6×5=30(엔)」(으)로서 결과를 요구하는 어린이가 나올 것이다.

어린이가, 이러한 잘못된 해결을 하는 것은, (이하약어)

— 문부성, 1951년

타나카 히로시는, 식을 「1개 분의수」×「몇분 」의 순서로 써, 반대의 순서의 식은 의미가 다른 것을 명확하게 한, 99 카르타라고 하는 산수 교재를 개발했다.[26]

「5×8」
(카드)1은 와에 5개들이의 초콜릿이 8은 개 있습니다.
「8×5」
(카드)초콜릿이 5는 개 있습니다.1은 개는 8개들이입니다.
카드의 대답의 수를 봐 5×8의 대답을 취하려고 하면, 지금까지는 40의 대답이 2매 있고, 어느 쪽의 식인가 몰랐습니다.이 카드라면 수의 옆에 문장제목도 써 있기 때문에, 그것을 읽어내는 것으로, 판별할 수 있습니다.



— 타나카 히로시, 2011년

「1개 분의수」×「몇분 」의 순서로 쓸 약속이 있다고 하는 옹호파의 주장은, 전후 곧의 산수 지도로부터 볼 수 있어 현재에 있어도 뿌리 깊다. 1951 연소 학교 학습 지도 요령 산수과편(시안), 수학 교육 협의회, 1972년 오사카부의 초등학교, 1977년 모리 타케시, 1993년 이토 타케히로, 하기상 코우이치, 하라다 미노루, 2008년 타나카 코우지, 2011년 모리야 세이지, 타나카 히로시, 2014년 츠보타 코우조우. 자세한 것은 「#곱셈의 순서 문제의 경위」의 장을 참조.

「1개 분의수」×「몇분 」의 순서로 쓰는 것이 합리적인

일본은 「4의 6배」식에 4×6으로 쓰지만, 구미에서는 「6배의 4」식에 6×4로 쓴다.이것은(중략) 언어 습관으로부터 와있다.다만, 일본식이 합리적이라고 하는 것이 세계의 시세(중략) 「4의 6배」식에 조작을 나중에 쓰는 일본식이 편리하게 된다.최근의 컴퓨터 언어는 이쪽이 편리하고, 구미어로 가로 쓰기를 왼쪽에서 오른쪽으로 쓰고 있을 때도, 6 x와 역행하는 것보다도, x6와 계속하는 것이 하기 쉽다. —  모리 타케시, 수의 현상학 p67, p76

곱셈은, 「1개 분의수」×「몇분 」과 같이, 조작 내용인 승수를 후에 쓰는 것이 합리적이다라는 판단이 세계적으로 봐 많은[요점 출전]. 덧붙여 곱셈에 있어서의 피승수의 정의는 걸 수 있는 분의 수(1개 분의수), 승수의 정의는 거는 분의 수(몇분 )이다.

 
영문식은 조작과 피조작의 순서가 가산 감산 때와 다르다

승수를 오른쪽으로 쓰면, 사칙 연산의 모든 것이 조작되는 수, 조작하는 수의 순서에 통일 성과 합리적이다. 구미에서는 「6×」의 쓰는 법도 보급되어 있지만[27][28], 2를 빼는 끌어 산은 「－2」와 같이 써, 연산에 의해서 숫자와 기호의 위치 관계가 역이다.

계산기로 4를 6배가 되는 경우, 4,×, 6, =의 순서에 눌러도, 6,×, 4, =의 순서에 눌러도 올바른 계산 결과는 표시되지만, 6배가 된 후에 더욱 2배가 되는 경우, 계속하고×, 2, =의 순서에 누를 수 밖에 없다. 역폴란드 기법으로 실시하는 일부의 계산기(HP-15 C등)로는, 4, Enter, 6,×의 순서에 누른 후, 2,×의 순서에 누를 수 있지만, 사칙 연산 모든 것이 역폴란드 기법이 되기 위해, 더욱 3을 빼는 경우, 3,－의 순서에 누르지 않으면 안 된다. 사칙 연산이 가볍게 걸쳐 산만 누르는 순서가 바뀌는 계산기는 존재하지 않는다.

프로그램 언어는, 피승수와 승수의 순서에 조건은 없다. 변수 a를 6배가 된 값을 나타내는 식은, a * 6에서도 6 * a에서도 기술할 수 있다. 변수 a는 수치 뿐만이 아니라 문자열로 할 수 있는 언어(Python등)도 있어, 예를 들어"W"*3나3*"W"의 평가 결과는"WWW"가 된다. World Wide Web Consortium의 약칭인 W3C는 승수가 오른쪽에 있다. Ruby는3*"W"라고 쓸 수 없지만, 이것은 문자열의 클래스에*연산의 메소드가 있어, 수치의 클래스에 문자열의 인수를 가지는*연산의 메소드가 없기 때문이다. 클래스(오브젝트)를 피승수, 메소드를 승수라고 보았을 경우, 피승수→승수의 순서가 있다고 볼 수도 있다. 변수 a를 6배가 되는(그 결과를 또 변수 a에 되돌린다) 식은, a *= 6과 같이 승수를 오른쪽으로 기술하게 된다.

그 외의 추진・옹호 하는 주장

 
효고 교육대학 대학원 교수 카토 아키라 ： 아동에게 곱셈을 어떠한 장면에 사용하는지를 이해시키기 위해서는, 곱셈의 순서에 의미가 있으면 해야 할.
 
츠쿠바대학 부속 초등학교 산수 연구부・공애학원 다이가쿠마에다리 국제 대학 강사 타나카 히로시 ： 그림을 그리는 것에 질려 온 아이는, 어른에게 지시받지 않아도 간략화한 그림을 그리게 된다.이것은 좋지만, 곱셈의 순서를 지키지 않는 것은 인정받지 못한다.
 
「덧쓰고 그림을 그립시다」

또, 「곱셈의 순서가 거꾸로 되고 있는 것은, 곱셈의 의미를 이해하고 있지 않기 때문에여, 곱셈의 의미를 이해하고 있지 않으면 깨어 산을 이해할 수 없다.」등으로 해서, 「곱셈의 올바른 순서」의 올바름을 주장하거나 하는[요점 출전].이것은, 이하와 같은 논법이다.

  1. 단지 단지 「깨어 산은 곱셈의 역산이다」라고 지도하는 것 만으로는, 충분한 이해를 얻을 수 없다.
  2. 왜냐하면, 깨어 산에는, 「12개의 귤을 3명이서 나누면, 1명 몇개 받을 수 있을까」(등분제)이라고 하는 패턴과 「12개의 귤을 3 개씩 나누면, 귤을 받을 수 있는 것은 여러명」(포함제)이라고 하는 패턴이 있다.
  3. 같을 깨어 산이라고 불리고 있는 것인데 출제 패턴이 2개 있으므로, 단지 단지 「깨어 산은 곱셈의 역산이다」라고 지도하는 것 만으로는, 충분한 이해를 얻을 수 없다.
  4. 그러므로, 곱셈의 학습 때에, 몇개로 사람이나 모임이 되어 있을까・덩어리가 몇 개 있는지를 의식하고, 문제문의 독해를 시킬 필요가 있다.

이와 같이, 「곱셈의 순서에 의미를 갖게 하는 것에 의해서, 독해가 올바르게 되어 있을까 판단할 수 있다.」라고 하는 생각에 의거하고, 「문제문의 독해를 하고 나서 립식 하도록(듯이) 지도하지 않으면 단지 계산이 가능한 한으로 응용문제에 대응할 수 없게 된다.」 「깨어 산을 이해할 수 없게 된다.」 등이라고 하는 주장이 이루어져 곱셈의 순서를 고집한 지도가 전개되고 있는[요점 출전].

전 국학원대학 토치기 단기 대학의 마사키 타카시창은, 문제의 대답을 요구하려면 , 어느 쪽의 순서에서도 어디라도 좋음에도 불구하고, 「식에는, 그 정경을 표현한다고 하는 기능이 있다.그 기능을 소중히 하기 위해서는」특정의 순서로 쓰지 않으면 안 된다고 주장한[29].

츠쿠바대학 부속 초등학교 산수 연구부의 중심 멤버 타나카 히로시는, 의미를 부여해를 위해서 곱셈의 식의 수치에 순서성을 요구하는 것이 당연하다고 하는 생각을 나타낸[30]. 또, 나눗셈의 초기 지도까지 등분제, 포함제의 이해 시에 순서가 정해져 있는 편이 아동에게도 알기 쉽다고 주장한[30].

게다가 타나카 히로시는,

「배가 5 그렇게 있습니다. 1그렇게 4명씩 타기로 하겠습니다.」이러한 문제문이 되어 있으면 아이들은 반드시 식을 잘못하는군요.「5×4」(이)라고 씁니다.지금까지 문장안에 나온 차례로 수를 사용하고 식을 쓰는 것만으로, 쭉 환을 받을 수 있고 있던 아이들은, 반드시 이런 문제로 걸립니다.
그런데 , 일전에 2 학년의 아이에게 (듣)묻고 놀란 것입니다만, 「이제 식은 반대로 쓰지 않으면 안 되는 무렵이다」라고 합니다 (웃음).「무엇으로?」라고 (들)물으면, 「프린트는, 후(분)편에 되면 그러한 식으로 하지 않으면 바트가 되는 것이 많다」라고 합니다.그러고 보면 그렇네요.정리의 테스트의 문장제목의 마지막은, 반드시 식이 거꾸로 되는 경우의 문제가 많습니다.음, 통계적으로 보는 힘은 훌륭한 것이 있을지도 모릅니다만 (웃음), 그러면 역시 의미가 없습니다.
거기서, 이 문장의 뒤에 「몇 분 탈 수 있습니까」라고 (듣)묻는 것을 한 번 그만두고, 그림으로 해 보려고 지시를 합니다.그림으로 하는 것으로 이미지화 시킵니다.문장제목은 읽으면 그림에 시킵니다.그림으로 하는 곳(중)이 생각하는 곳(중)입니다.올바르게 그림을 그릴 수 있으면, 문장을 읽어내고 있게 됩니다.읽어낸 그림을 보고 식을 만드는 곳은, 가르쳐도 좋다고 생각합니다.「이 장면을, 이러한 식에 써.」라고 가르칩니다.산수의 식은 외국어와 함께로, 아이에게 있어서는 새로운 말이기 때문에, 가르치지 않으면 안됩니다.

— 타나카 히로시, 토오요관출판사 프리미엄 강좌 라이브 타나카 히로시의 산수 수업의 만드는 방법 p62

(이)라고 말해 문장제목의 내용을 올바르게 그림에 그릴 수 있으면 독해가 되어 있다고 판단할 수 있지만, 그것만으로는 불충분하고 「곱셈의 올바른 순서」를 지키지 않는 것은 실수이다고 했다.그 이유로서 「산수의 식은 외국어와 함께로, 아이에게 있어서는 새로운 말이기 때문에, 가르치지 않으면 안됩니다.」라고 말해 「문장제목의 내용을 식으로 번역한다」라고 하는 생각을 지지했다.

게다가, 「추상화」에 대해서는, 이하와 같은 견해를 나타냈다.

「아이가 대작의 그림을 그려, 아무리 시간이 흘러도 추상화 하지 않습니다」라고 하기 때문에, 「정말로 많이 그림을 그리게 하고 있습니까」라고 내가 되물었는데, 그만큼 많이는 그리게 하지 않습니다.문장제목을 읽고는 그림에 그린다.많이 그리게 한다.그 만큼으로 좋습니다.식이나, 대답을 요구하게 한 없고, 이야기를 읽으면 그림에 그리는 것을 가득 시키면, 아이는 그러던 중 질려 옵니다.

— 타나카 히로시, 토오요관출판사 프리미엄 강좌 라이브 타나카 히로시의 산수 수업의 만드는 방법 p62

그림을 그리는 것에 질려 온 아이는, 어른에게 지시받지 않아도, 문장제목의 내용을 나타내는 간략화한 그림을 그리게 되어, 추상화 하고 생각하게 된다고 한다.그러나,

이와 같이 그렸는데, 만약 식을 「5×4」(이)라고 썼다고 하면, 이 아이는 독해를 할 수 없는 것이 아니어서, 식의 의미를 잘못해 기억하고 있을 뿐됩니다.치료하는 곳(중)이 바뀌는군요.
식을 「5×4」(이)라고 쓴 아이에게 「제대로 문장을 읽어 봐」라고 아무리 지도해도 안됩니다.이 아이는 반대로 기억하고 있는 것이기 때문에.그림이 그림으로 할 수 있으면, 그 나중에 산수의 말에 다시 나타내「4×5」(이)라고 써와 여기는 확인해도 좋은 곳입니다.「이런 그림을 4×5라고 말해」라고 가르칩니다.

— 타나카 히로시, 토오요관출판사 프리미엄 강좌 라이브 타나카 히로시의 산수 수업의 만드는 방법 p62

(으)로서 곱셈의 식에는 구체적인 상황을 나타내는 의미가 있으므로 올바른 순서가 있다고 하는 생각을 나타내, 올바른 순서에 따르지 않는 아이는 치료해야 한다고 주장했다.

디 폴 대학교육학부 타카하시 아키히코는, 곱셈의 식에 대해 특정의 순서만이 올바르다고 하는 생각을 전제로, 어디라도 좋다고 생각하는 선생님・학생이 많은 미국의 교육 레벨을 낮게 평가할 생각을 나타낸[28].

등분제와 포함제

곱셈의 순서 문제와 관련해, 제법에 대해 초등적인 교육 수법으로서(정수의) 제법의 「의미」로서 등분제와 포함제의 2 종류로 분류해 도입을 도모한다, 라는 것이 있다.어느 양이 「기준이 되는 양」의 「몇분 」에 제 될까를 생각할 때, 「기준이 되는 양」을 요구하는 것이 등분제, 「몇분 」이 될까를 요구하는 것이 포함제이다.

등분제와 포함제에 대해 도쿄 서적 산수 교과서의 저자의 1명, 카토 아키라(효고 교육대학 대학원 교수)는,

「 2년 들여 산」으로 말한 것처럼, 「3×4」의 식의 의미는, 그림과 같이 「3개의 모임」이 「4분 」있는 것, 즉 「같은 수씩의 모임」이 「몇분 」인가 있을 때, 전체의 개수를 요구하는 계산이 곱셈이었습니다.수학적으로는 가산의 역산이 끌어 산이며, 곱셈의 역산이 깨어 산입니다.따라서, , 깨어 산이란, 곱셈의 식의 의미의 「같은 수씩」이라고, 「몇분 」을 요구할 때 사용하는 연산입니다.

— 카토 아키라, 문계당엄마의 산수 노트 p78

(으)로서

(아) 12이 구슬치기를, 같은 수씩 4개로 나누는 경우( 「등분제(묻는 만큼 서문)」라고 합니다)

— 카토 아키라, 문계당엄마의 산수 노트 p78

(이) 12이 구슬치기를, 3오지 않고 개 나누는 경우( 「포함제(편암서문)」라고 합니다)

— 카토 아키라, 문계당엄마의 산수 노트 p79

(이)라고 말하고 있는[31].덧붙여 여기서 「식의 의미」되는 말이 나오지만, 「 「3×4」의 의미는 「3개의 모임」이 「4분 」있는 것」이라고 한 것 같은 「식의 의미」의 정의( 「립식」이라고 한, 역시 그 세계만의 용어가 사용된다)는, 일본의 일부의 초등교육의 세계에만 존재하는 「정의」이다(곱셈의 순서 문제).[요점 출전]

해외에서의 곱셈의 도입

중국에서는, 곱셈의 도입시부터, 인자×인자=적과 좌우가 대등한 형태로 가르쳐 양쪽 모두의 순서를 나타내고 있는[11].

미국에서는, 「일반적으로 지도 떠날 수 있고 있을까 케산의 의미는, (몇분 )×(하나분 ) = (전부의 수)여, 일본의 그것과는 순서가 역이다」라고 되는[28].그러나, 수학 교육에 대하고, 식의 순서는 중시되어 있지 않은 것 같다.

예를 들면, 내가 흑판에 자전거가 3대 줄지어 있는 그림을 그리고, 타이어의 수를 요구하는 식은, 2×3인가, 그렇지 않으면 3×2인가, 라고 물으면, 교원 양성 과정의 학생 뿐만이 아니라, 현장에서 산수를 가르치고 있는 선생님도, 대부분이, 어디라도 상관없다고 한다.그 이유는, 「어느 쪽으로도 대답은 6이니까」라고 하는 것이다.경구 울어져 대학에서 수학 교육을 가르치고 있는 사람중 에도 이와 같은 사람은 적지 않은 것이다.

— 타카하시 아키히코, 토오요관출판 츠쿠바대학 부속 초등학교 산수 연구부 기획・편집 산수 수업 논구 2012(헤세이 24년) 년 논구 II곱셈을 연구하는 p54 「초등학교 나가 산을 가르치는 것은 무슨 유익인가」

곱셈의 순서 문제의 경위

문부성은 1951년, 초등학교 학습 지도 요령 산수과편(시안) 쇼와 26년(1951) 개정판[25]에 대해

「1권 5엔의 노트를, 6권 사면, 아무리 지불하면 좋을 것입니다.」라고 하는 문제를 풀 때는, 「5엔×6」(으)로서, 그 결과를 요구하는 것이 보통이다.그런데 , 이 문제를, 「노트를 6권 샀습니다.모두 1권 5엔이었습니다.전부 아무리 지불하면 좋을 것입니다.」라고 하면, 「6×5=30(엔)」(으)로서 결과를 요구하는 어린이가 나올 것이다.

어린이가, 이러한 잘못된 해결을 하는 것은, 곱셈의 의미를 대충 이해하고 있다고 해도, 그 이해가 형식적으로 되어 있는 것을 나타내고 있다고 말할 수 있다.

문제가, 어떤 형식에서 나올려고도 또, 몇개의 조건이 어떤 순서로 써 있어도, 곱셈을 식에서 나타내 보인다고 하면, (그룹의 크기)×(그룹의 개수)=(양전체의 크기)인 것이, 어린이에게 충분 이해되고 있지 않으면 안 된다.이 일반화가후 충분한 위해(때문에), 6×5=30(엔)이라고 하는 식을 쓰는 것이다.

(와)과 기술했지만, 정식적이다 학습 지도 요령 및 학습 지도 요령 해설에는 이러한 기술이 이루어질 것은 없었다.

1951년 4월 16일에 수학자의 토오야마히라쿠등을 중심으로 수학 교육 협의회가 결성되었다.수학 교육 협의회는, 곱셈을 4×6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4와 같이 누가로 해서 도입하는 것은 좋지 않다고 주장했다.누가로는 4×1/3과 같은 분수의 곱셈이 나왔을 때에 곤란한, 곱셈은

1당량×몇분

(이)라고 생각해야 하는 것이다고 주장한[요점 출전].

1972년 1월 26일의 아사히 신문[6]에 의하면, 오사카부의 초등학교에서 「6명에게 4 개씩 귤을 나눠준다」라고 하는 문제가 출제되었지만, 「6×4 = 24 대답 24개」라고 하는 답안의 답에 말이 붙여져 식에 바트가 붙여져 「4×6」이 올바르면 지도되었다고 한다.이것에 이의를 주창해 문부성에 질문장을 보내는 부모도 나타나 곱셈의 순서의 「정답」을 둘러싸고 논쟁이 일어났다.

1972년, 토오야마히라쿠는, 「과학 아침해」1972년 5월호로, 4×6만을 정답으로 하는 것에 대하여는 부정적인 견해를 나타냈다.그 이유는 「6명에게 1 개씩 귤을 나눠주는 것을 4회 반복하면, 6 개씩의 정리가 4개 있다고 생각할 수 있기 때문」이라고 하는 것인[9].

1977년, 수학자 모리 타케시는, 「과학 아침해」에 「수의 현상학」을 연재해, 5월호에 「차원을 달리하는 3종의 곱셈」으로서 출판한 가운데, 「대학 입시등에서는, 「1명에게 1 개씩 나눠주면 6명에 대해서는 6개 필요하게 된다. 1 인당 4개로 하기 위해서는, 그것을 4회 반복하지 않으면 안 된다」와 같이 쓰지 않으면 대감점된다. 6명을 6개/회에, 4개/인을 4회로 전환하는 곳(중)을 쓰지 않으면 각각 1할 정도 감점, 일부러 간접적으로 마와리미치 한 것으로 1할 정도 감점.」 「일본은 「4의 6배」식에 4×6으로 쓰지만, 유럽으로는 「6배의 4」식에 6×4로 쓰는, 일본 쪽이 합리적」이라고 주장한[32].

1984년, 수학자 야노 켄타로는, 「이상한 이상한 수학자들」[33]을 출판했다.이 책으로 토오야마히라쿠에 대한 항[34]로, 나고야의 라디오국으로부터, 나고야의 초등학교에서 「귤을 4개씩 6명의 사람에게 나눠주고 싶다.귤은 전부 몇 있으면 좋은가」라고 하는 문제에 6×4 = 24로 대답한 아이가 있고, 교사는 이것을 0점으로 했다고 하는 것을 듣고 의견이 구할 수 있던 것에 대해 어디라도 좋다고 대답한 것을 적고 있다.야노는 이유 부여를 1시간 정도 들이고 생각했지만, 일주일간 후에 토오야마히라쿠에게 이야기했는데, 토오야마히라쿠는 그렇게 말하도록(듯이) 생각하는 아이가 가끔 있는 것 및, 카드식 배부라고 읽고 있어야 본전 알고 있었다고 하는 에피소드를 말하고 있다.

1993년, 수학자 이토 타케히로, 하기상 코우이치, 하라다 실은, 초등 학생에게 산수를 가르치는 교사에 정수환 Z의 대수적 구조등의 수학적 소양이 필요하다라고 하는 논문[35]를 출판했다.그 계기는, 필자등 중 한 명의 장남이 2 학년때, 「3장의 접시에 사과가 2 개씩의 것은 있을 때 전부 사과가 몇개 있을까」라고 하는 문제에 대해서 「3×2 = 6」(이)라고 해답했는데 담임 교사가 「대답의 6은 올바르지만, 식은 3×2는 아니고 2×3이 아니면 안된다」라고 지도한 것인[35].그 후의 문답으로, 교사는 「사과가 2 개씩의 것은 있는 접시가 3장 있으니까 2개+2개+2개 즉 2개×3 = 6개이다. 2+2+2(은)는 2의 3배 즉 2×3이며 3의 2배 즉 3×2가 아닌 이것을 동수 누가라고 한다.」 「2(사과의 수)가 피승수, 3(접시의 매수)이 승수로 각각 다른 의미를 가지고 있는(입장이 다르다)으로부터 2×3으로 3×2는 같지 않다」등의 주장을 했던 것이 보고되고 있는[35].

1994년, 심리학자 수카즈오는 이토 타케히로등(1993)의 논문[35]에 대해서, 왜 환과 가군의 지식이 필요한 소양인가 나타나지 않다고 비판하는 논문[36]을 출판했다.이 (안)중으로, 수카즈오는 교사의 대응은 충분했다고 평가하고 있는[36].

2001년 7월 24일 교육과정 부회( 제2회)에서 우에노 켄이(교토 대학 이학 연구과 교수)는

특히 지금의 교원 면허장을 취득하는 과정에 대하고, 특히 초등학교, 중학교에 대하고, 전문의 과정의 공부가 너무 적다고 생각합니다.

어제도, 나의 친구가 히로시마 지방의 신문의 투서란을 배웅하고 왔습니다만, 초등학교에서, 장방형의 면적의 계산을 해 주세요라고 하는 테스트가 나와 있고, 식이△가 되고, 대답이○이 되어 있었다.왜 식이△가 되었는가 하면, 학교에서는, 장방형의 면적은 세로×옆이라고 가르쳤는데, 그 아이는 옆×세로에 쓰고 있었기 때문이라고 합니다.하지만, 장방형, 옆, 세로라고 하는 것은, 뒤집으면 꼭 되는 것이기 때문에, 그런 일 아무래도 좋은 일이고, 곱셈은 차례를 바꾸어도 변명이니까요.

여러분, 웃으시지만, 현실에 일어나고 있는 것입니다.나의 아들의 경우도, 중학교의 기하의 문제로, 모르기 때문에 (들)물었던 적이 있어서, 아들의 노트를 보면, 내가 말한 것과 다른 쓰는 법이 되어 있습니다.어째서, 조금 전 말한 것과 다른 것이라고 (들)물으면, 교과서에서는 이렇게 써 있다.그것은, 「이기 때문에」인가, 「따라」인가, 「따라서」인가의 틀린 말입니다.그러니까, 어떻게 써도 올바른데 그 교과서대로 써 두지 않으면 5점 끌린다고 합니다.

바보스럽습니다 그러나, 이것은 선생님이 정말로는 알고 있지 않기 때문에, 자신이 없어서, 무심코 교과서에 써 있는 것 밖에○을 줄 수 없게 되어 버리고 있는 것이라고 생각합니다.그런 것을 개선하기 위해서 꼭, 어떠한 대책을 강구하면 좋겠다고 생각합니다.

(이)라고 말했다.

2007년, 수학자 이와나가 야스시 수컷은 이토 타케히로등(1993)[35]로 수카즈오(1994)[36]의 논문을 재검토하는 논문을 발표한[37].이와나가는 교사의 잘못과 판단하는 것과 동시에, 그 원인을 고찰해, 교과서 및 지도서의 기술이 부적절한 것을 지적한[37].

2008년의 초등학교 학습 지도 요령 해설 산수편p147[38]으로는

(장방형의 면적)=(세로)×(옆)(혹은(옆)×(세로))

(와)과 단서가 쓰여져 있다.

 
3×2는 3개귀의 토끼가 2마리,
2×8은 2개 다리의 낙지가 8마리 있다고 하는 의미가 됩니다.[21]

2008년, 교토 대학의 타나카 코우지는, 작 문법에 따르는 퍼포먼스 평가의 출제예로서 「4×8=32가 되는 이야기를 만들어 주세요」를 들어 채점 기준의 하나에, 「승수와 피승수의 의미가 구별되고 있을까(특히 정비례형으로는 「4」는 「1당량」, 「8」은 「몇분」이라고 구별되고 있을까)」를 나타낸[39].여기서 정비례형은 「1당량×몇분 =전체량」으로 나타내지는[40].

2011년 1월 15 일 아사히신문 석간 「꽃만선생님 공개 수업」[21]으로는, 「3×2라면 3개귀의 토끼가 2마리 있게 된다.」 「2×8이라면 2개 다리의 낙지가 8끌어 있게 된다.」라고 하는 수업을 긍정적으로 취했다.

2011년 5월 26일, 산수 교육 역사가 타카하시 마코토는 「곱셈에는 순서가 있는 것인가」[8]을 저술해, 「지도서[17]은 「식」과「계산」을 구별해 취급하고 있어 「계산」으로는 교환법칙이 성립되지만 「식」에는 순서에 의미가 있으므로 마음대로 순서를 바꿀 수 없다고 하고 있다」라고 지적한[41].또, 이러한 지도에 대해서는 이하와 같은 비판이 이루어지고 있다고 지적한[42].

  1. 곱셈에는 교환법칙이 성립되기 때문에, 「아무리 분×1당량」이라고 하는 순서로 써도 괜찮다.
  2. 만일 「1당량×아무리 분 」의 순서로 쓴다고 해도, 어느 쪽의 수를 「1당량」으로서도 좋다.
  3. 원래, 곱셈은 「1당량」과「아무리 분 」의 적 만이 아니다.
— 타카하시 마코토, 「곱셈에는 순서가 있는 것인가」[42]

타카하시는, 초등학교의 산수 교육에 침투하고 있는, 곱셈의 식에는 순서가 존재한다고 하는 지도법으로 경종을 울리고 있다.본래 「올바르다」식의 순서와는 곱셈을 가르치는데 있어서의 단순한 도구였다는 두인데, 교사들은 「수학적으로도 산수적으로도」근거가 있다고 믿기 시작하고 있는 것처럼 보이기 때문인[43].

2012년 12월 25일 코바야시 도우쇼 「수란 무엇인가」[44]가 발행되었다.코바야시 도우쇼는 본서로(1당량)×(몇분 )=(전체량), (몇분 )×(1당량)=(전체량) 머지않아에서도 좋은 것을 명시적으로 말한다(p. 44)와 함께, 특정의 순서로 쓰지 않으면 안 된다고 생각하는 사람이 많은 것에 붙어 곤란한 일이다고 평가했다(p. 46).

2014년, 아오야마 학원대학 교수 츠보타 코우조우는, 99의 3의 단의 학습에 대하고, 「(하나분 )×(몇분 )=(전체)의 식의 의미를 확인해 나가고 싶다.」라고 한 후, 「튤립이 많이 있었습니다.아이가 7명 있습니다.거기서, 이 튤립을 3개씩쿠바도 참, 막 없어졌습니다.튤립은 몇개 있었겠지요.」라고 하는 문장제목으로는, 식의 약속에 따라 「3×7」(이)라고 쓰는 것을 확인하도록(듯이) 주장한[45].

2014년, 시무라 고로는, 「수학을 얼마나 가르칠까」 속에서 곱셈의 순서의 장에 4 페이지를 찢어, 「결국 어디라도 좋은데 어느 쪽이 올바른가를 생각하게 하는 것은 불필요한 혹은 쓸데 없는 일을 생각하게 하고 있는 것으로 있다」라고 지적해, 그런 일은 그만두어야 하다라고 논한[46].

각주

출전

  1. ^타카하시 마코토 2011, p. 117,118.
  2. ^곱셈의 순서 문제의 경위절을 참조
  3. ^쿠로키현 2014.
  4. ^타카하시 마코토 2011, p. 2.
  5. ^카타오카 아사미 2013.
  6. ^ a b 아사히 신문사 1972.
  7. ^ NEWS 포스트세븐 2012.
  8. ^ a b 타카하시 마코토 2011.
  9. ^ a b 토오야마히라쿠 1972.
  10. ^우에하라 요시히사 2013.
  11. ^ a b 국립 교육 정책 연구소 2009, p. 181.
  12. ^모리 타케시 1989, p. 56.
  13. ^문부 과학성 2008 a.
  14. ^문부 과학성 2008 b.
  15. ^모리야 세이지 2011.
  16. ^ a b c 쿠리야마 신관 2012.
  17. ^ a b지도서란, 교과서 출판사가 현장 교원 전용으로 작성하는 메뉴얼로, 문부 과학성이 작성하는 학습 지도 요령과는 관계없다.학교 관계자 이외의 사람이 지도서를 열람하거나 구입하거나 하는 것은 매우 곤란하다.국립국회도서관 및 공익 재단법인 교과서 연구 센터 부속 교과서 도서관에서는 열람할 수 있지만, 현행의 판은 학교 교육 관계자 이외는 복사를 인정받지 않았다.
  18. ^ a b 이토 히로시 2001.
  19. ^ 미야타가서리, 에비나 쇼오지&쿠도여시부미 2011.
  20. ^타나카 히로시 2009, p. 62.
  21. ^ a b c "2×8이라면 낙지 2개 다리(꽃만선생님 공개 수업)". asahi.com (2011년 1월 17일). 2012년 10월 25일 열람.
  22. ^모리 타케시 1989, p. 72, 다만, 대등성의 생각인 채 발전시키면 복비례라고 하면들 네 어려운 값 된다고 지적하고 있다
  23. ^수학적으로는, 교환법칙을 채우는 대수계로는 왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 구별이 없어지는 것이 보장되고 있다.즉, 교환법칙을 채우는 자연수와 자연수의 곱셈을 1개분×몇분의나름에 좌우를 구별하는 필요성은 수학적으로는 없다. 다만, 컴퓨터・시뮬레이션등에서 자주(잘) 사용되는 행렬의 곱셈은, 교환법칙을 채우지 않기 때문에, 작용(피작용)이라고 하는 관점에서 다루어져야 하는 것이다.이와나가 야스시 수컷 2007, p. 4
  24. ^ Benesse 초등 학생의 학습 Q＆A 2007년 11월 20일.
  25. ^ a b 문부성 1951.
  26. ^타나카 히로시 2011.
  27. ^ COMMON CORE STATE STANDARDS INITIATIVE 2013, p. 89.
  28. ^ a b c 타카하시 아키히코 2012.
  29. ^마사키 타카시창 2012.
  30. ^ a b 타나카 히로시 2012 a.
  31. ^카토 아키라 2010.
  32. ^모리 타케시 1977.
  33. ^야노 켄타로 1984.
  34. ^야노 켄타로 1984, p. 119-124.
  35. ^ a b c d e 이토 타케히로 1993.
  36. ^ a b c 수카즈오 1994.
  37. ^ a b 이와나가 야스시 수컷 2007.
  38. ^문부 과학성 2008.
  39. ^타나카 코우지 2008, p. 158.
  40. ^타나카 코우지 2008, p. 155.
  41. ^타카하시 마코토 2011, pp. 24□28.
  42. ^ a b 타카하시 마코토 2011, p. 33.
  43. ^타카하시 마코토 2011, p. 47.
  44. ^코바야시 도우쇼 2013.
  45. ^츠보타 코우조우 2014, pp. 59-60.
  46. ^시무라 고로 2014, pp. 45-48.

참고 문헌

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외부 링크

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