원환체

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이 항목으로는, 도형에 대해 설명하고 있습니다.그 외의 용법에 대해서는 「원환체(애매함 회피)」를 봐 주세요.

원환체

아뉴라스

원환체(torus, 복수형:tori), 다중 연결 공간, 원환면이란, 종수(genus)가 1의 폐곡면.

혹은, 그 면에 내부를 더한 것.정확하게는, 이쪽은 원환체체(solid torus)라고 부른다.보기 드물게, 면 쪽을 원환체면(torus surface)이라고 부르기도 한다.

륜환(면/체), 원환(면/체) 등이라고도 한다.다만 원환라는 말은 아뉴라스(annulus, 환대)라고 하는 다른 도형에 이용하기도 한다.

목차

원환체의 예

 

도너츠

토폴러지적인 의미로의 원환체는, Euclid 기하학적으로 입어 원째라고 다양한 도형이지만, 그 중에서도 잘 알려진 것이 몇개인가 있다.

도너츠형

 

R =대부분지름, r =소반경

 

적색의 선이 메리디안, 복숭아색의 선이 론지츄드

가장 흔히 있던 원환체는, 엔(주)의 외측에 회전축을 두어 얻을 수 있는 회전체, 이른바 「도너츠형」이다.

원환체의 형태와 크기를 나타내려면 대원의 반경인 대부분지름 R와 작은 원의 반경인 소반경 r (R > r)의 2개의 값이 필요하다(그림).작은 원과는 회전체의 단면의 엔, 대원은 작은 원의 중심이 이루는 엔이다.대원은 원환체의 중심 곡선(충천하지 않는 곡선, core curve)이라고도 한다.이 원환체는, xz평면상의 엔C

${\displaystyle C\colon (x-R)^{2}+z^{2}=r^{2}\quad (R>r>0)}$ 

(을)를 z축의 주위에서 회전하는 것에 의해서 얻을 수 있어 그 쪽정도식은

${\displaystyle T\colon ({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R)^{2}+z^{2}=r^{2}}$ 

된다.

또, 우도와 같이, 매개 변수 t , p (0≤t≤2π, 0≤p≤2π)를 사용하면

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\cos {t}+r\cos {p}\cos {t}\\y&=R\sin {t}+r\cos {p}\sin {t}\\z&=r\sin {p}\end{aligned}}}$ 

(이)라고 표시할 수도 있다(t , p를 소거하면 전술의 방정식이 된다).

여기서 매개 변수 t를 일정으로 했을 때의 원환체상의 폐곡선을 메리디안(meridian) 또는 경선(괘선) 이라고 하여, p를 일정하게 했을 때의 원환체상의 폐곡선을 론지츄드(longitude) 또는 위선(줄여가며 꿰매지 않아)이라고 한다.토폴러지적으로는, 원환체상에서 t (또는 p)를 고정한 곡선과 동위인 폐곡선은 모두 메리디안(또는 론지츄드)이라고 생각한다.

이 원환체의 표면적 S와 체적 V는,

${\displaystyle S=4\pi ^{2}rR=(2\pi r)(2\pi R)}$ 

${\displaystyle V=2\pi ^{2}r^{2}R=(\pi r^{2})(2\pi R)}$ 

이다.각각, 작은 원의 원주와 면적에 대원의 원주를 건 값이 되어 있다.

평탄 원환체

평탄 원환체(flat torus)는, 원주면을 평탄한 그대로 굽히고, 양측의 구석을 맞추어 붙이는 것으로 얻을 수 있다.「평탄」이란 「곡율 0」(이)라고 하는 것으로, 원주면과 같이 1 방향 밖에 돌지 않은 면은 곡율 0이므로 평탄하다.평탄한 면은 가전, 즉, 신축 없이 평면(나 다른 평탄한 면)에 변형 가능하다.3 차원 공간내에서 원주면을 굽히려면 어떻게도 신축이 필요하고, 곡율이 있는 도너츠형 밖에 만들 수 없다.평탄 원환체를 만들려면 , 4 차원 공간이 필요하다.

평탄 원환체는 장방형으로부터 만들 수도 있다.말아 좌우의 옆을 접착시킬 수 있어 원주면으로 해, 나머지는 똑같이 하면 된다.원주면의 구석과는 원래의 장방형의 상하의 옆이므로, 위와 아래, 오른쪽과 왼쪽을 붙인 것이 된다.여기서 순서를 바꾸고, 우선 오른쪽과 왼쪽, 다음에 위와 아래를 붙여도 평탄 원환체가 생겨 이 원환체는 원래의 원환체와 합동이다.3 차원 공간내에서 생각하면, 순서를 바꾸면 종횡이 바뀌어 되돌릴 수 없다고 생각될지도 모르지만, 4 차원 공간내에서는 회전에 의해 거듭해 맞출 수 있다.즉, 상하・좌우 어느 쪽을 먼저 붙여도 결과는 같다.

평탄 원환체를 만드는 작업은 4 차원 공간내이기 위해 도시도 상상도 어렵지만, 실제로 굽히지 않고 , 단지 위와 아래, 오른쪽과 왼쪽이 연결되고 있다고 생각하면, 평면 기하에 관한한 같은 것이다.혹은, 같은 장방형이 상하 좌우에 무한하게 반복하고 있으면 생각해도 좋다.가정용 게임・드래곤 퀘스트 시리즈등의 컴퓨터 RPG에 등장하는, 세계 지도의 우단과 좌단 뿐만이 아니라 상단과 하단이 같을 향해 청구서로 연결되고 있는 세계는, 지구와 같은 구면은 아니고 평탄 원환체이다.

여기까지 장방형을 예로 들었지만, 실은 평행 사변형이라면 평탄 원환체를 만드는데 필요 충분하다.예를 들어, 이중 주기를 가지는 타원 계수는, 두 개의 기본 주기가 그리는 평행 사변형으로부터 구성되는 평탄 원환체 위에서, 자연스럽게 정의되는 함수이다고 해석된다.

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  정방형으로부터 원통을, 원통으로부터 원환체를 만든다.

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  A와 A, B와 B(혹은 B와 B, A와 A)를 연결한다.

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  연결하는 순서가 다른 원환체간의 변형(애니메이션 GIF).4 차원 공간에서는 구멍내기・신축 없이 이 변형이 가능하다.

토폴러지적인 원환체

토폴러지적으로는, 원환체는 얼마나 신축해도 괜찮다.유명한 예는, 도너츠와 커피 컵은 동상이다, 라는 것이다.즉, 커피 컵(의 표면)도 원환체이다.

또, 밑그림과 같이, 매듭상태가 되어 있는 원환체를 생각할 수도 있다.모든 매듭이 원주에 동상인 같게, 매듭상태가 되어 있는 원환체도 표준적인 원환체와 동상이 된다.다만 중심 곡선의 매듭이 다르면 3 차원 공간상에서는 그것들은 동위가 되지 않는다.

원환체는, 2 차원 구면으로부터 2개의 원판을 제거해, 그 경계에 실린더 S¹×I의 양단을 붙이는 것에 의해서 만들 수도 있다.원환체에 대해서 한층 더 이제 1개 실린더를 붙인 곡면은 두 개구멍 원환체(double torus)라고 부르는 일이 있다.이것을 반복해 한층 더 많은 구멍을 가진 원환체를 생각할 수 있어 구멍의 개수를 종수라고 한다.또, 실린더를 붙이는 조작은, 새로운 원환체를 연결화에 의해서 더하고 있는 것에 상당한다.

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  커피 컵과 도너츠는 동상이다

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  세 잎 매듭장의 원환체

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  3구멍 원환체

성질

• 원환체의 기본군은<x, y | xyx^-1 y^-1> 이다.

n차원 원환체

원주 혹은 단순 폐곡선 S¹를 1 차원 원환체라고 한다.첫머리에서 말한 의미로의 원환체는 S¹×S¹라고 나타낼 수 있다(한쪽의 S¹를 메리디안, 이제 한쪽의 S¹를 론지츄드라고 생각하면 좋다).일반적으로, n차원 원환체 혹은 간단하게 n-원환체 Tⁿ와는 S¹의 n개의 곧 적

${\displaystyle T^{n}=S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S^{1}}$ 

이다.이 어법에 따르면, 첫머리에서 말한 의미로의 원환체는2-원환체라는 것이 된다.

대수학에 있어서는, 절대치가 1에 동일한 복소수가 복소수 평면상으로 그리는 궤적은 자주 S¹ = T¹로 간주해진다.또, T¹는 선분[0, 1]의 양단을 동일시 한 것, 혹은 같은 것이지만 실수체 R를 유리 정수환 Z로 나눈 잉여환R / Z와도 동일시 된다.이 때,1-원환체 T¹는 적에 관해서 컴팩트한 위상군이 된다.

이것을 한층 더 일반화하고, 위상체의 컴팩트한 곱셈군의 곧 적에 동형이 되는 콤팩트군을 원환체라고 부르는 일이 있다.예를 들어, 위상체상의 n다음 일반선형군GL_n에 속하는 대일본 장기 말열전체가 만드는 군은 n차원 원환체(분열 원환체)이다.

푸리에 급수란, 콤팩트군으로서의1-원환체 T¹상에서 정의되는, 하르 측도에 관해서 자승가능 적분인 함수의, T¹의 지표(1 차원 표현)에 의한 전개이다고 해석할 수 있다.

관련 항목

위키메디아・코몬즈에는, 원환체에 관련하는 미디어가 있습니다.

• 위상 기하학
• 다양체
• 푸리에 해석
• 원환체 매듭
• 원환체 분해
• 우주

외부 링크

• Torus -- From MathWorld(원환체)(영어)
• 원환체・게임즈토라스 공간상의 게임에서 놀 수 있는 게임・소프트(일본어)

「https://ja.wikipedia.org/w/index.php? title=원환체&oldid=62712881」으로부터 취득

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