등위 집합

힘장의 등위면에 대해서는 「등 포텐셜면」을 봐 주세요.

수학에 있어서의 등치 집합 또는 등위 집합(묻는 있어 집합, 영: level set)은, 주어진 사상을 결정할 수 있던 값을 받는 정의역에 속하는 원전체가 이루는 집합을 말한다.예를 들면, n-변수의 실수치 함수 f에 대해, 실수치 c에 대한 등위 집합은

${\displaystyle L_{c}(f)=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c\}}$

그리고 주어지는[¹][²].

2 변수의 경우에는, 등위 집합은 곡선을 그려, 등위(곡) 선(level curve), 등고선(contour line), 등치선(isoline) 등으로 불린다.이와 같이 3 변수 때의 등위 집합은, 등위(곡) 면(level surface), 등치면(isosurface)이라고 말해, 또 한층 더 고차원의 경우를 등위초곡면(level hypersurface)이라고 부르는 일이 있다.

목차

구배와의 관계

 

함수 f의 그래프를 산에 진단하고 생각하면, 파랑의 곡선군은 등고선을 나타내고 있어 또 빨강의 곡선군은 구배 방향에 따라서 성장한다.

정리

각 점에 있어서의 f의 구배는, 그 점을 지나는 등위선과 직교 한다.

이 결과는 중요하다.이것을 이해하기 위해서, 산의 같은 위치에 있는 두 명의 등산자를 이하와 같이 상정하자.한편은 분별없는 성격으로, 구배의 가장 험난한 방향을 더듬고 산정을 목표로 하는 것으로 해, 한편은 주의 깊은 성격으로, 실족 하지 않고 경치를 바라기 위해서 고도를 유지해서 진행되는 길을 선택했다고 한다.그렇다면, 이 유화에 대해 상기의 정리는 「두 명의 등산자의 노정은, 초기 위치에 있어 직교 한다」것을 말하는 것이 된다.

증명은 그다지 어렵지 않다.일점 x₀를 고정하고, 이 점을 통과하는 등위선{x | f(x) = f(x₀)}를 생각한다.적당한 조변수 t를 도입하고, 이 등위선을 x(t) 한편 x(0) = x₀ 되도록 쓰면,

${\displaystyle f({\mathbf {x} }(t))=f({\mathbf {x} _{0}})=c}$ 

(을)를 채운다.t = 0 때, 이 양변을(합성 함수의 미분 공식으로 따라서) 미분 해

${\displaystyle J_{f}({\mathbf {x} _{0}}){\mathbf {x} }'(0)=0}$ 

하지만 얻을 수 있지만, 이 경우 x₀에 있어서의 야코비 행렬은 f의 x₀에 있어서의 구배로 주어지므로,

${\displaystyle \nabla f({\mathbf {x} }_{0})\cdot {\mathbf {x} }'(0)=0}$ 

(이)라고 써도 같은 것이다.따라서, f의 x₀에 있어서의 구배는, x´(0)에 대해 접선( 및 이 점을 통과하는 등위선)과 직교 한다.곡선 x(t)는 임의에 선택했던 것이다로부터, 구배는 등위선과 직교 한다.

이 정리로부터의 귀결로서 직선이(보다 정확하게는 다양체 혹은 가능 미분초곡면이 아니다) 등위선과 사귄다면, 그 구배는 각 교점에 있어 사라진다.따라서, 임의의 교점은 임계점이다.

관련 개념

등위 집합과 관련하고,

${\displaystyle L_{c}^{-}(f)=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid f(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq c\}}$ 

되는 형태의 집합을 f의 열위 집합 또는 하위 집합(sublevel set or lower level set) 혹은 도랑(trench)이라고 말해, 똑같이

${\displaystyle L_{c}^{+}(f)=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid f(x_{1},\ldots ,x_{n})\geq c\}}$ 

(은)는 f의 우위 집합 또는 상위 집합(superlevel set)이라고 말한다.

• 철함수의 열위 집합은 철집합이 된다(가, 역은 반드시 성립되지 않는다).

등위 집합은 f－¹(c)이라고도 쓸 수 있기 때문에, 섬유의 특별한 경우라고 생각할 수 있다.

참고 문헌

1. ^ Voitsekhovskii, M.I. (2001), "Level set", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/L/l058220.htm 
2. ^ Weisstein, Eric W. "Level Set". MathWorld(영어). 

관련 항목

• 음복곡면(프랑스어판)(그늘 함수 곡면)
• 등위면(영문판)
• 상 그래프(영문판)(epigraph)
• 등고면법（영문판) (LSM)
• Level set (data structures)

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