정의 두 개의 함수의 조f , g 에 대해서,
D x f ⋅ g = ( ∂ ∂ x − ∂ ∂ x ′ ) f ( x ) g ( x ′ ) | x ′ = x = f x g − f g x {\displaystyle D_{x}f\cdot g=\left.{\biggl (}{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {\partial }{\partial x'}}{\biggr )}f(x)g(x')\right|_{x'=x}=f_{x}g-fg_{x}} 그리고 정의되는 2항연산 을 히로타 미분 이라고 부른다.또 연산자 D x 를 히로타의 D-연산자 라고 부른다.
보다 일반적으로는, 다변수함수의 두 개의 조f (x , y , z , … ), g (x , y , z ,… )에 대해서, 타카시나의 히로타 미분이
D x l D y m D z n ⋯ f ⋅ g = ( ∂ ∂ x − ∂ ∂ x ′ ) l ( ∂ ∂ y − ∂ ∂ y ′ ) m ( ∂ ∂ z − ∂ ∂ z ′ ) n ⋯ f ( x , y , z , ⋯ ) g ( x ′ , y ′ , z ′ , ⋯ ) | x ′ = x , y ′ = y , z ′ = z , ⋯ {\displaystyle D_{x}{}^{l}D_{y}{}^{m}D_{z}{}^{n}\cdots f\cdot g=\left.{\biggl (}{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {\partial }{\partial x'}}{\biggr )}^{l}{\biggl (}{\frac {\partial }{\partial y}}-{\frac {\partial }{\partial y'}}{\biggr )}^{m}{\biggl (}{\frac {\partial }{\partial z}}-{\frac {\partial }{\partial z'}}{\biggr )}^{n}\cdots f(x,y,z,\cdots )g(x',y',z',\cdots )\right|_{x'=x,y'=y,z'=z,\cdots }} = ∂ l ∂ r l ∂ m ∂ s m ∂ n ∂ t n ⋯ f ( x + r , y + s , z + t , ⋯ ) g ( x − r , y − s , z − t , ⋯ ) | r , s , t , ⋯ = 0 {\displaystyle =\left.{\frac {\partial ^{l}}{\partial r^{l}}}{\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}{\frac {\partial ^{n}}{\partial t^{n}}}\cdots f(x+r,y+s,z+t,\cdots )g(x-r,y-s,z-t,\cdots )\right|_{r,s,t,\cdots =0}} 그리고 정의된다.
실제의 계산예는 다음 같게 된다.
D x f ⋅ g = f x g − f g x {\displaystyle D_{x}f\cdot g=f_{x}g-fg_{x}} D x 2 f ⋅ g = f x x g − 2 f x g x + f g x x {\displaystyle D_{x}^{\,2}f\cdot g=f_{xx}g-2f_{x}g_{x}+fg_{xx}} D x 3 f ⋅ g = f x x x g − 3 f x x g x + 3 f x g x x − f g x x x {\displaystyle D_{x}^{\,3}f\cdot g=f_{xxx}g-3f_{xx}g_{x}+3f_{x}g_{xx}-fg_{xxx}} D x 4 f ⋅ g = f x x x x g − 4 f x x x g x + 6 f x x g x x − 4 f x g x x x + f g x x x x {\displaystyle D_{x}^{\,4}f\cdot g=f_{xxxx}g-4f_{xxx}g_{x}+6f_{xx}g_{xx}-4f_{x}g_{xxx}+fg_{xxxx}} D x D y f ⋅ g = f y x g − f y g x − f x g y + f g y x {\displaystyle D_{x}D_{y}f\cdot g=f_{yx}g-f_{y}g_{x}-f_{x}g_{y}+fg_{yx}} 히로타 미분을 작용시킨 결과에 대하고, 각 항은 두 개의 함수의 도함수에 대해서, 어느쪽이나 일차식의 형태가 되어 있어, 이것을 쌍선형 형식 (bilinear form)이라고 부른다.또, 히로타 미분을 이용하고, 쌍선형 형식에 귀착시키는 것을 쌍선형화 라고 부른다.
성질 기본적 성질 히로타 미분은 다음 성질을 채운다. D x m f ⋅ 1 = ∂ x m f {\displaystyle D_{x}^{\,m}f\cdot 1=\partial _{x}^{\,m}f} D x m f ⋅ g = ( − 1 ) m D x m g ⋅ f {\displaystyle D_{x}^{\,m}f\cdot g=(-1)^{m}D_{x}^{\,m}g\cdot f} D x 2 m + 1 f ⋅ f = 0 {\displaystyle D_{x}^{\,2m+1}f\cdot f=0} D x m D t n e k 1 x − ω 1 t ⋅ e k 2 x − ω 2 t = ( k 1 − k 2 ) m ( − ω 1 + ω 2 ) n e ( k 1 x − ω 1 t ) + ( k 2 x − ω 2 t ) {\displaystyle D_{x}^{\,m}D_{t}^{\,n}e^{k_{1}x-\omega _{1}t}\cdot e^{k_{2}x-\omega _{2}t}=(k_{1}-k_{2})^{m}(-\omega _{1}+\omega _{2})^{n}e^{(k_{1}x-\omega _{1}t)+(k_{2}x-\omega _{2}t)}} F (D t , D x )를 D t , D x 의 다항식으로 하면 F ( D t , D x ) e k 1 x − ω 1 t ⋅ e k 2 x − ω 2 t = F ( − ω 1 + ω 2 , k 1 − k 2 ) F ( − ω 1 − ω 2 , k 1 + k 2 ) F ( ∂ ∂ t , ∂ ∂ x ) e ( k 1 + k 2 ) x − ( ω 1 + ω 2 ) t {\displaystyle F(D_{t},D_{x})e^{k_{1}x-\omega _{1}t}\cdot e^{k_{2}x-\omega _{2}t}={\frac {F(-\omega _{1}+\omega _{2},k1-k_{2})}{F(-\omega _{1}-\omega _{2},k1+k_{2})}}F{\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}},\,{\frac {\partial }{\partial x}}{\biggr )}e^{(k1+k_{2})x-(\omega _{1}+\omega _{2})t}} 히로타 미분은 야코비의 항등식 을 채운다. D x ( D x f ⋅ g ) ⋅ h + D x ( D x g ⋅ h ) ⋅ f + D x ( D x h ⋅ f ) ⋅ g = 0 {\displaystyle D_{x}(D_{x}f\cdot g)\cdot h+D_{x}(D_{x}g\cdot h)\cdot f+D_{x}(D_{x}h\cdot f)\cdot g=0}
변수 변환과 히로타 미분
참고 문헌 히로타 아키라오 「직접법에 따르는 소리톤의 수리」이와나미 서점, 1992년
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