laplace 원리

laplace 원리(laplace 원리, 영: Laplace principle, Laplace's principle)는 대편차 원리(영문판)에 관한 이론의 기본적인 정리이다.laplace 원리를 일반화한 것으로서 바라단의 보제(영문판)가 있다.laplace 원리는, 고정된 집합 A상의 exp(－θφ(x)) 의 르베이그 적분이,θ를 크게 하고 갔을 때에 어떠한 점근적인 행동을 보일까에 임해서 말한다.실제의 예로서는, 통계역학에 대해 역온도를 무한대 하는 극한, 즉 온도가 절대 영도에 가까워질 때, 그 계가 어떻게 행동하는지를 논의할 때에, laplace 원리가 이용되고 있다.

목차

스테이트먼트

A를 르베이그가측인 d차원의 Euclid 공간 R^d의 부분 집합으로 해, 가측함수φ: R^d→R에 대해

${\displaystyle \int _{A}e^{-\varphi (x)}\,\mathrm {d} x<+\infty }$ 

이다고 한다.이 때, 이하의 관계가 성립된다.

${\displaystyle \lim _{\theta \to +\infty }{\frac {1}{\theta }}\log \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,\mathrm {d} x=-{\mathop {\mathrm {ess\,inf} }}_{x\in A}\varphi (x).}$ 

여기서 ess inf는 본질적 하한(essential infimum)을 나타낸다.충분히 큰θ에 대해서, 위의 관계로부터 다음과 같은 점근표현을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,\mathrm {d} x\approx \exp \left(-\theta {\mathop {\mathrm {ess\,inf} }}_{x\in A}\varphi (x)\right).}$ 

응용

laplace 원리는 이하에게 주는 확률측도 Pθ의 족

${\displaystyle \mathbf {P} _{\theta }(A)=\left(\int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,\mathrm {d} x\right){\Big /}\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}e^{-\theta \varphi (y)}\,\mathrm {d} y\right).}$ 

에 대해서 적용하면,θ을 크게 했을 경우의, 어느 사상(집합) A에 대한 확률의 점근표현을 줄 수 있다. 예를 들어 X를 R상에서 정규 분포 하는 확률 변수로 하면, 모든 가측집합 A에 대해

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {P} {\big [}{\sqrt {\varepsilon }}X\in A{\big ]}=-{\mathop {\mathrm {ess\,inf} }}_{x\in A}{\frac {x^{2}}{2}}}$ 

그렇다고 하는 관계가 성립된다.

참고 문헌

• Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Large deviations techniques and applications. Applications of Mathematics (New York) 38 (Second edition ed.). New York: Springer-Verlag. pp. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2.  MR 1619036

관련 항목

• 대편차 이론(영문판)
• 대편차 원리(영문판)
• 바라단의 보제(영문판)
• 측도론
• 확률론
• 르베이그 적분

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