양설정 문제

양설정 문제(well-posed problem)와는 수학의 용어이며, 잭・아다마르에 의해서 정의되었다.그는, 물리 현상의 수학적 모델은, 이하의 성질을 가져야 하는 것이다고 생각했다.

1. 해가 존재한다
2. 해가 일의이다
3. 파라미터를 연속적으로 변화했을 때, 해도 연속적으로 변화한다

개요

어느 초기조건을 주었을 때의, laplace 방정식에 있어서의 디리크레 문제나, 열방정식을 올릴 수 있다.이러한 문제는, 문제를 푸는 물리적인 과정이 존재한다고 하는 의미로, '자연스러운'문제로 간주할 수 있다.그 한편, 열방정식의 역문제란, 최종적인 데이터로부터 과거의 열분포를 추정하는 문제이지만, 이러한 문제는 해가 데이터의 작은 변화에 민감하게 의존한다고 하는 의미로, 양설정은 아니다.이와 같이 양설정이 아닌 문제는, 불량 설정(ill-posed) 문제로 불린다.역문제는 불량 설정인 것이 많다.

해법

이러한 문제로는, 수치해를 얻기 위해서 연속적 변수를 discrete 하는 것이 많다.함수 해석의 용어로는 이러한 문제도 연속적으로 간주할 수 있지만, 데이터의 정도가 유한하고 오차가 포함되는 것부터, 수치해의 안정성이 문제가 되는 경우도 있다.문제가 양설정이었다고 해도, 초기 데이터로의 작은 오차가 해의 큰 오차가 되는, 불량 조건(ill-conditioned) 문제인 경우도 있다.불량 조건 문제란, 조건수가 큰 일로 특징지워진다.

문제가 양설정이면, 수치 안정적인 알고리즘을 이용해 계산해를 얻을 수 있을 가능성이 있다.양설정이 아닌 경우에는, 수치의 취급을 궁리할 필요가 있다.전형적으로는, 해의 연속성과 같은 부가적인 가정을 설정한다.이러한 과정은 마사노리화(regularization)로 불려 티호노후의 마사노리화법은 선형 불량 설정 문제에 대해서 이용되는 가장 일반적인 방법이다.

참고 문헌

• Jacques Hadamard (1902): Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique. Princeton University Bulletin, 49--52.
• McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms, 4th edition 1974, 1989. Sybil B. Parker, editor in chief. McGraw-Hill book company, New York. ISBN 0-07-045270-9
• A.N. Tikhonov, V.Y. Arsenin, Solutions of Ill-Posed Problems, Winston, New York, 1977. ISBN 0470991240.

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