재료-의 부등식

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수학으로는, 막스・재료-(영문판)(Max Noether)의 이름에 연관된 재료-의 부등식(Noether inequality)은, 기초가 되는 트포로지칼인 4 차원 다양체의 위상형을 한정하는 컴팩트한 투영적인 극소복소곡면의 성질이다.보다 일반적으로, 이 성질의 것은, 대수적폐체상의 일반형의 극소 투영 곡면에 붙어 성립된다.

부등식의 정식화

X를 매끄러운 대수적폐체상에서 정의된 극소인 투영적인 일반형 곡면(혹은, 매끄러운 극소인 컴팩트한 일반복소곡면)으로 해, 표준 인자 K =－c₁(X)로 해, p_g = h⁰(K)를 마사노리2-형식의 공간의 차원으로 하면,

${\displaystyle p_{g}\leq {\frac {1}{2}}c_{1}(X)^{2}+2}$ 

하지만 성립된다.

복소곡면에 대해서, 다른 공식화는 기초가 되고 있는 방향 붙여 된 실4 차원 다양체의 위상 불변량의 항으로 이 부등식을 나타내고 있다.일반형 곡면은 케이라 곡면이므로, 제2 코호모로지의 교차 형식의 가장 큰 정의 부분 공간의 차원은 b₊ = 1 + 2 p_g로 주어진다.더하고, 히르트브르후의 부호 정리에 의해, c₁² (X) = 2 e + 3σ이며, 여기에 e = c₂(X)는 트포로지칼인 나-표수이며,σ= b₊－b－는 교차 형식의 부호이다.따라서, 재료-의 부등식은

${\displaystyle b_{+}\leq 2e+3\sigma +5}$ 

(이)라고 해도 나타낼 수 있다.혹은, 같은 것이지만, e = 2 – 2 b₁ + b₊ + b_-를 사용해,

${\displaystyle b_{-}+4b_{1}\leq 4b_{+}+9}$ 

(와)과 나타낼 수도 있다.

재료-공식 12χ=c₁²+c₂와 재료-의 부등식을 조합하면,

${\displaystyle 5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+36\geq 12q}$ 

(을)를 얻는다.여기에 q는 곡면의 부정칙수이며, 곡면의 부정칙수는 다음 조금 약한 형태의 부등식을 이끌어, 이 부등식도 때로는 재료-의 부등식으로 불리기도 한다.

${\displaystyle 5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+36\geq 0\quad (c_{1}^{2}(X){\text{ even}})}$ 

${\displaystyle 5c_{1}(X)^{2}-c_{2}(X)+30\geq 0\quad (c_{1}^{2}(X){\text{ odd}}).}$ 

등호가 유지되는 곡면(즉, 재료-직선상은)은 호리카와 곡면으로 불린다.

증명의 스케치

극소인 일반형이라고 하는 조건에서는, K² > 0이 따른다.이것으로부터, 부등식은 그렇지 않은 경우는 자동적으로 성립하는 것부터, p_g > 1을 전제로 한다.특히, 여기에서는 유효 인자(effective divisor) D가 K를 나타내고 있는 것을 전제로 한다.그러자(면), 완전 계열

${\displaystyle 0\to H^{0}({\mathcal {O}}_{X})\to H^{0}(K)\to H^{0}(K|_{D})\to H^{1}({\mathcal {O}}_{X})\to }$ 

하지만 성립되므로,${\displaystyle p_{g}-1\leq h^{0}(K|_{D})}$  (을)를 얻는다.

D가 매끄러운 것을 전제로 한다.수반 공식으로보다 , D는 표준 라인 번들 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}(2K)}$  (을)를 가지므로,${\displaystyle K|_{D}}$  (은)는 특별 인자(영문판)(special divisor)여, 크리포드의 부등식(영문판)(Clifford inequality)가 적용되어

${\displaystyle h^{0}(K|_{D})-1\leq {\frac {1}{2}}\mathrm {deg} _{D}(K)={\frac {1}{2}}K^{2}}$ 

(을)를 얻는다.

일반적으로, 본질적으로 같은 논의가, 자명 라인 번들의1-차원 절단이나 쌍 대 화 된 라인 번들과의 국소 완전 교차에, 보다 일반화된 크리포드의 부등식을 사용해서 적용된다.곡선 D는, 부가 공식과 D는 수치적으로 연결이다고 하는 사실에 의해, 이러한 조건을 채운다.

참고 문헌

• Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 4, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225 
• Liedtke, Christian (2008), "Algebraic Surfaces of general type with small c₁² in positive characteristic", Nagoya Math. J. 191: 111–134, http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1. 0/Disseminate? view=body&id=pdf_1&handle=euclid.nmj/1221656783 
• Noether, Max (1875), "Zur Theorie der eindeutigen Entsprechungen algebraischer Gebilde", Math. Ann. 8 (4): 495–533, doi:10.1007/BF02106598 

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