위상 기하학

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하나의 면과 하나의 옆을 가지는 메비우스의 띠는 위상 기하학으로 연구되는 대상의 일종이다.

본항목으로는 위상 기하학(좋 총기나 금액, 영: topology, 토폴러지)에 대해 해설한다.

개요

굵게 한 세 잎 매듭(가장 단순한 비자명한 매듭)을 삼차원으로 그린 것

커피 컵으로부터 도너츠(원환체)에의 연속 변형( 동상사상의 일종)과 그 역

「topology(토폴러지)」라고 하는 명칭은, 「topos」와「-logy」를 조합한 조어이다.19 세기말에 독일어의 용어를 영어로 한 것으로, 희랍어의 희: τ□πο□트포스( 「위치」「장소」)와(희:λ□γο□로고스( 「학」)에 유래한다.일본어로는 영어를 소리 사본 「토폴러지」라고 하거나 또 한자로 「위상 기하학」이나 「위상수학」이라고도[¹].

토폴러지는, 수학의 한 분야이며, 어떠한 형태(모습.혹은 「공간」)을 연속 변형(늘리거나 굽히거나 하는 것은 하지만 자르거나 붙이거나는 하지 않는 것)해도 유지되는 성질에 초점을 맞힌 것인[²].위상 기하학적 성질에 대해 중요한 것에는, 연결성 및 콤팩트성등을 들 수 있는[³].다른 말투를 하면, 「주어진 집합을 위상 공간으로 할 것 같은 개집합에 관해서 연구한다」분야이다.

위상 기하학은, 공간, 차원, 변환이라고 하는 개념의 연구를 통해서, 기하학 및 집합론으로부터 생긴 만큼 들인[⁴].이러한 생각은, 17 세기에 「위치의 기하」(라: geometria situs) 및 「위치의 해석」(라: analysis situs)을 예측한 곳트후리트・라이프닛트에까지 거슬러 올라갈 수 있다.레온하르트・나-의 「케이니히스베르크의 일곱 개의 다리」의 문제 및 다면체 공식이 이 분야에 있어서의 최초의 정리이다는 것이 정설이 되고 있다.용어 topology는 19 세기에 요한・베네딕트・리스팅(영문판)에 의해서 도입되었지만, 위상 공간의 개념이 일어나는 것은 20 세기의 최초의 10년까지 기다리지 않으면 안 된다.20 세기 중순에는, 위상 기하학은 수학의 저명한 한 분야가 되고 있었다.

분과

위상 기하학에는 여러가지 분과가 존재한다.

위상 공간론(General topology)은 위상의 기초가 되는 측면을 확립해, 위상 공간의 성질을 연구해, 위상 공간 특유의 개념에 대해 연구한다.이것에는 다른 모든 분야에서 이용되는 기본적인 위상적 개념(콤팩트성이나 연결성등의 화제를 포함한다)을 취급하는 점집합 위상(point-set topology)도 포함된다.
대수적 위상 기하학은, 동성애 연구학군이나 호모 토픽-군등의 대수적 구성을 이용해 연결성의 정도를 측정하는 것을 시도한다.
미분 위상 기하학은 가능 미분 다양체상의 가능 미분 사상을 취급하는 분야이다.미분 기하학과도 친한 관계에 있어, 이것들을 맞추어 가능 미분 다양체의 기하학적 이론이 구축된다.
기하학적 위상 기하학은 주로 다양체 및 그러한 다른 다양체에의 매입에 대해 연구한다.특히 활발한 것이, 4차원(이하)의 다양체에 대해 조사하는 저차원 위상 기하학이며, 이것에는 매듭에 대해 연구하는 매듭 이론도 포함된다.

역사

나-에 의한 「케이니히스베르크의 7개의 다리」문제의 해결은 위상 기하학의 맹아(의 하나)이다고 보이고 있다.

Euclid 기하학이 기원 전에는 되어 있던 것과 비교하면, 나-나 Gauss에 시작하는 위상 기하학은 고들 250년의 역사이며, 큰 차이가 있다.나-는, 이른바 나-의 다면체 정리에 대해 구면에 연속적으로 변형할 수 있는 다면체의 옆・정점・면의 수의 사이에 있는 관계가 성립되는 것을 찾아냈지만, 이것을 가지고 위상 기하학의 시작으로 하는 것이 일반적이다.

「케이니히스베르크의 다리」 및 「모구의 정리」도 참조

다면체의 정점, 옆, 면의 수를 각각 $n 0, n 1, n 2$ 와 두면, 이것들이 $n 0 － n 1 + n 2 = 2$ 의 관계에 있다고 하는 나-의 정리는, 18 세기 당시의 해석학, 대수학을 중심으로 하는 수학의 흐름에 대해 고립한 결과였다.19 세기에 Gauss는 관련되어 목수를 선적분에 의해 표시하는 공식을 주어 또 후반기에 리만이 현재 리만면으로 불리는 개념을 제출해, 롯호는 곡면 위의 2개의 편미분 방정식의 해의 자유도의 차이를 곡면의 종수를 포함한 수로 분류하는 리만・롯호의 정리를 정리했다.이것들 선구적 연구에 대해서, 토폴러지가 하나의 분야로서 확립하는 계기가 된 것은 1900 년 전후의 포원카레의 일련의 연구에 의한[⁵].

포원카레는 1895년의 논문 「Analysis Situs(영문판)」 중(안)에서, 호모 토픽- 및 동성애 연구학의 개념을 도입했다.이것들은 지금 대수적 위상 기하학의 큰 기둥이다고 생각되고 있다.

현대적인 위상 기하학은 19 세기에 후반에 확립된 집합론을 큰 기반으로서 성립되고 있다.집합론의 선조의 혼자인 게오르크・칸토르는 푸리에 급수의 연구에 임하여 Euclid 공간내의 점집합에 대해 고찰하고 있다.

칸토르, 보르테라, 아르트라, 아다마르, 아스코리등의 연구를 정리하는 형태로(오늘로는 일반적인 위상 공간의 특별한 경우이다고 생각되고 있다) 거리 공간의 개념을 확립한 것은 후레시로, 1906년의 일로이다.「위상 공간」이라고 하는 용어를 도입한 것은 하우스드르후로, 1914년에 오늘로는 하우스드르후 공간으로 불리는 개념을 정의하기 위해서 이용된 것이지만, 그 일반화로서 현대적인 의미로의 위상 공간이라고 하는 개념이 확립되는 것은 1922년, 쿠라트후스키의 손에 의한다.

주요한 개념

집합상의 위상

자세한 것은 「위상 공간」을 참조

「토폴러지」라고 하는 용어는 이 분야의 중심적인 특정의 수학적 개념인 위상을 가리키는데도 이용된다.대략적으로 말하면, 위상은 집합의 원이 서로 어느 정도 공간적으로 관련이 있는지를 나타내는 것이다.하나의 집합에는 복수가 다른 위상이 들어갈 수 있다.예를 들면, 실수 직선, 복소수 평면, 및 칸토르 집합은 다른 위상을 가지는 동일한 집합이라고 볼 수 있다.

엄밀하게 말하면, 집합 $X$ 에 대해, $X$ 의 부분 집합족τ이 $X$ 의 위상이다는 것은,

하늘 집합□및 전체 집합 $X$ 는τ의 원
τ의 원래의 임의의 합병은τ의 원
τ의 원래의 임의의 유한 교차는τ의 원

의 3죠건을 모두 채울 때 말한다.τ하지만 $X$ 상의 위상일 때, 대 $(X,τ)는$ 위상 공간으로 불린다.집합 $X$ 에 특정의 위상τ이 갖춰지고 있는 것을 $X$ τ라고 써 나타내기도 한다.

τ의 원래는 $X$ 의 개집합으로 불린다. $X$ 의 부분 집합이 폐이다는 것은, 그 여집합이τ의 원이 되는(즉 여집합이 개집합이 된다) 것이다. $X$ 의 부분 집합은, 개에서도 폐이기도 한(개 한편 폐집합) 일도 있으면, 그 어느 쪽도 아닌 것도 있다.하늘 집합과 $X$ 자신은 항상 개 한편 폐이다.점 $x$ 를 포함한 개집합은 $x$ 의(개) 근방으로 불린다.

연속 사상과 동상사상

자세한 것은 「연속 사상」 및 「 동상」을 참조

위상 공간으로부터 다른 위상 공간에의 사상이 연속이다는 것은, 임의의 개집합의 역상이 개일 때 말한다.이것은, 실수를 실수에 찍는 사상(다만 실수 직선의 위상은 통상의 위상을 넣는다)의 경우에는, 초등 해석학에 있어서의 연속 함수의 정의와 동치이다.연속 사상이 단 쏘아 맞혀 한편 전 쏘아 맞혀에서 만나며, 그 역사상도 또 연속이 된다면, 그 사상은 동상사상(혹은 단지 동상)으로 불려 또 사상의 정의역은 그 상과 동상이다고 한다.이것은 이 사상이 위상의 사이의 사상을 자연스럽게 일으키는 것도 할 수 있다.서로 동상인 두 개의 공간은, 동일한 위상적 성질을 가져, 따라서 위상적으로는 같은 공간이라고 생각할 수 있다.예를 들면 입방체와 구면은 동상이며, 똑같이 커피 컵과 도너츠는 동상이지만, 한편 엔과 도너츠는 동상이 아니다.

다양체

자세한 것은 「위상 다양체」를 참조

위상 공간은 지극히 다양하고 이색적인 것도 많이 존재하는 뒤에서, 위상 기하학이 많은 분야에서는 다양체로 불리는 것보다 친숙해 지기 쉬운 위상 공간의 클래스가 주목받는다.다양체는 각 점의 근처로는 Euclid 공간과 같이 보이는 위상 공간을 총칭하며 말한다.보다 명확하게 말하면, $n$ -차원 다양체의 각 점은 $n$ -차원 Euclid 공간에 동상인 근방을 가진다.직선이나 원주는 일차원 다양체이지만 렘니스케이트는 그렇지 않다.이차원 다양체는 곡면으로 불려 예를 들면 평면이나 구면이나 원환체는 삼차원 공간내에 실현될 수 있지만, 클라인의 항아리나 실사그림자 평면(영문판)은 그렇지 않다.

주요한 화제

일반 위상

자세한 것은 「위상 공간론」을 참조

위상 공간론(General topology)은 위상에 관한 집합론적 정의와 구성을 취급하는 위상 기하학의 분야인[⁶][⁷].위상 공간론은 미분 위상 기하학, 기하학적 위상 기하학 및 대수적 위상 기하학을 포함한 위상 기하학의 다른 분야의 대부분의 기초가 된다.점집합 위상이라고도 불린다.

점집합 위상에 있어서의 기본 개념은 연속성, 콤팩트성, 연결성이다.직관적으로 말하면, 연속 사상은 가까이의 점을 근처에 찍는, 콤팩트 집합은 임의에 작은 유한개의 집합으로 피복 할 수 있는, 연결 집합은 분리된 두 개의 부분에 분할되지 않는다고, 하는 것이다.여기서 이용한 「근처」「임의에 작다」「분리했다」라고 한 표현은 어느 쪽도 개집합을 이용해 명확한 말에 나타내진다.「개집합」의 선택 방법을 변경하면, 거기에 동반해 연속 사상이나 콤팩트 집합이나 연결 집합의 의미하는 것도 변경된다.그러한 「개집합」의 결정 방법의 각각을 위상이라고 부른다.위상을 갖춘 집합은 위상 공간으로 불린다.

거리 공간은 위상 공간의 중요한 클래스이며, 그곳에서는 거리 함수가 임의의 2점간에 거리로 불리는 수를 할당할 수 있다.거리를 가지는 것으로 많은 증명이 간명이 되어, 또 잘 알려진 위상 공간의 대부분이 거리 공간이 된다.

대수적 위상 기하학

자세한 것은 「대수적 위상 기하학」을 참조

대수적 위상 기하학은 위상 공간을 조사하는데 추상대수학 유래의 도구를 이용하는 수학의 한 분야인[⁸].그 기본적인 최종 목적은 동상 을 제외하고 위상 공간을 분류하는 대수적 불변량을 요구하는 것이다가, 보통은 호모 토픽-동치를 제외하고 대략의 분류를 얻는 것이 목적이 된다.

그러한 불변량으로서 가장 중요한 것이 호모 토픽-군, 동성애 연구학군 및 코호모로지군이다.

대수적 위상 기하학으로는 위상적 문제를 조사하는데 대수학을 이용하는 것이 주요하다 그러나, 위상을 이용해 대수적 문제를 푸는 것도 때에는 가능하다.예를 들면 대수적 위상 기하학으로 「자유군의 임의의 부분군이 또 자유가 되는 것」을 간편하게 나타내 보일 수 있다.

미분 위상 기하학

자세한 것은 「미분 위상 기하학」을 참조

미분 위상 기하학은 가능 미분 다양체상의 가능 미분 사상을 취급하는 분야인[⁹].미분 기하학과도 친한 관계에 있어, 이것들을 맞추어 가능 미분 다양체의 기하학적 이론이 구축된다.

보다 정확하게 말하면, 미분 위상 기하학은 다양체상에 가능 미분 구조(영문판)가 정의되는 것만을 필요로 하는 성질이나 구조를 고찰한다.매끄러운 다양체는 그 밖에 불필요한 기하학적 구조(이것들은 미분 위상 기하학에 대해 존재하는 어떤 종류의 동치성이나 변형(영문판)의 방해가 된다)을 가지는 다양체보다는 「부드럽다」.예를 들면, 체적이나 리만곡율은 동일한 매끄러운 다양체상에서 상이 되는 기하학적 구조를 구별할 수 있는 불변량이다.즉, 어떤 종류의 다양체를 매끄럽게 「평탄하게 한다」("flatten out") 일이 생겼다고 해도, 거기에는 공간을 비뚤어지게 할 필요가 있을 지도 모르고, 그 결과적으로 곡율이나 체적이 바뀌어 버릴지도 모른다.

기하학적 위상 기하학

자세한 것은 「기하학적 위상 기하학」을 참조

기하학적 위상 기하학은 주로 저차원(2, 3, 4차원)의 다양체에 초점을 맞혀 그 형상을 조사하는 위상 기하학의 분야이지만, 보다 고차원의 위상 기하학도 일부에는 포함한[¹⁰][¹¹].기하학적 위상 기하학의 주제에는 예를 들면 향해 청구서 가능성, 핸들 분해(영문판), 국소 평탄성(영문판) 및(평면 및 고차원의) 시후리스의 정리(영문판)등이 있다.

고차원의 위상 기하학에 대하고, 특성류는 기본적인 불변량이며, 수술 이론(영문판)은 열쇠가 되는 이론이다.

저차원 위상 기하학은, 이차원에 있어서의 일의화 정리(임의의 곡면이 일정곡율 계량을 가지는, 기하학적으로 말하면 정곡율(구면적), 령곡율(평탄), 부곡율(쌍곡적)의 3종류의 어느 쪽인가가 된다)이나 삼차원에 있어서의 기하화 예상(임의의 삼차원 다양체는, 각각은 가능한 8 종류의 기하의 어느 쪽인가인 소편에 분리할 수 있다)에 나타나고 있도록(듯이), 지극히 기하학적이다.

이차원의 위상 기하학은 일변수의 복소기하로서 조사할 수 있다(리만면은 복소곡선이다).일의화 정리에 의해, 계량의 임의의 공형류는 일의인 복소계량에 동치이다.또 4차원 위상 기하학은 2 변수의 복소기하(복소곡면)의 관점으로부터 조사할 수 있지만, 임의의 여차원 다양체가 복소구조를 가지는 것은 아니다.

일반화

경우에 따라서는, 위상 기하학의 도구가 필요하지만 「점집합」은 사용할 수 없다고 하는 장면에 조우하기도 한다.점없음 위상(영문판)으로는 이론의 기본 개념으로서 개집합의 다발을 생각하는[¹²].한편, 그로탄디크 위상은 임의의 권상에 정의되는 구조로, 그것들권상에 층을 정의하는 것이 가능하게 되어, 일반 코호모로지론의 정의를 반입할 수 있는[¹³].

응용

이 마디의 가필이 바람직하고 있습니다.

위상 기하학의 수법을 이용하면, 추상적인 접속 관계에 관한 성질이나 미소 변형으로 불변인 포괄적인 성질을 취급할 수 있다.수학의 한 분야로서 정리되기 이전보다 , 위상 기하학적 수법이 단발적으로 사용되어 왔다(공간안의 두 개의 전류의 상호작용에 대한, Gauss의 선적분 표시등)가, 이십세기 후반에는 특히 타분야와의 관련이 깊어져, 현재에도 응용 영역은 퍼지고 있다.

응용 영역	내용
물리학	우주의 형상, 소립자의 기술 체계, 양자수의 기술, 초전도 절연체, 우리의 세계에 관한 성질(타임 머신은 존재할까?등).
물질 과학	풀러 렌 등 분자 구조.
생명과학	매듭을 이루는 분자의, 형상에 의한 기능이나 변형(DNA 트포이소메라제).
정보과학	논리 체계의 의미론을 전개하는 골조로서 층(수학)의 이용, 경로 공간의 동성애 연구학에 의한 기술.또 네트워크의 취급에 대하고는 그래프 이론을 수단으로서 연구되어 일반적으로는 네트워크・토폴러지로서 알려져 있다.
카타스트로피 이론	형태 형성, 경제 현상의 기술.
3 차원 컴퓨터 그래픽스	3 DCG에 있어서의 morphing은 호모 토픽-변형을 이용하고 있다.또 입체 계측이나 데지타르스카르프트로 생성된 복잡한 다각형 모델을 단순한 구조의 모델에 만들어 바꾸는 조작을 리트포로지(Retopology)라고 부른다.

주

^대말샘 「토폴러지」
^ Oxford Dictionaries
^ http://dictionary.reference.com/browse/topology
^ http://www.math.wayne.edu/~rrb/topology.html
^「토폴러지와 그 「응용」의 가능성」후루타 미키오(응용 수리 15(1) pp. 49-52 20050325)[1]
^ Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
^ Adams, Colin Conrad, and Robert David Franzosa. Introduction to topology: pure and applied. Pearson Prentice Hall, 2008.
^ Allen Hatcher, Algebraic topology. (2002) Cambridge University Press, xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0.
^ Lee, John M. (2006). Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
^ Budney, Ryan (2011년). "What is geometric topology?". 2013년 12월 29일 열람.
^ R.B. Sher and R.J. Daverman (2002), Handbook of Geometric Topology, North-Holland. ISBN 0-444-82432-4
^ Johnstone, Peter T., 1983, "The point of pointless topology," Bulletin of the American Mathematical Society 8(1): 41-53.
^ Artin, Michael (1962). Grothendieck topologies. Cambridge, MA: Harvard University, Dept. of Mathematics. Zbl 0208.48701.

참고 문헌

출전은 열거할 뿐만 아니라, 각주등을 이용해 어느 기술의 정보원인지를 명기해 주세요.기사의 신뢰성 향상에 협력을 부탁드리겠습니다.(2013년 4월)

시가 코지 「수학의 흐름 30강(하)—20 세기 수학의 확대-」( 제24강, 제25강), 아사쿠라 서점, 2009년

외부 링크

위키메디아・코몬즈에는, 위상 기하학에 관련하는 미디어가 있습니다.

위키북스에 위상 기하학 관련의 해설서・교과서가 있습니다.

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Topology, general", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/p/t093200.htm
Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
위상 기하학 - Open Directory Project
The Topological Zoo at The Geometry Center.
Topology Atlas
Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas.
Topology Glossary
Moscow 1935: Topology moving towards America, a historical essay by Hassler Whitney.

셀프피디아

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2016년 12월 19일 월요일