δ집합환

수학에 있어서의δ-집합환(델타 집합이나 , 영:δ-ring [of sets])은σ-집합 대수(σ-가법족)의 정의를 조금 일반화하는 것으로,δ-집합환을 기초로 해서 측도론을 정식화할 수도 있다(σ-가법족을 이용해 정식화하는 것이 보통).δ-집합환으로 정식화하면, 측도 무한대의 부분 집합을 도입하는 것을 피할 수 있다고 하는 의미로 의미가 있다.

정의와 예

정의 

X상의δ-집합환이란, X상의 집합환으로 가산교차에 관해서 닫고 있는 것을 말하는[¹].

• 임의의σ-집합환은δ-집합환인[²].이것은, 관계식
  ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{+\infty }A_{i}=A_{1}\smallsetminus \bigcup _{i=2}^{+\infty }(A_{1}\smallsetminus A_{i})}$ 
  (으)로부터 안다.따라서,σ-집합환의 항으로 들 수 있던 모든 예( 및 보다 강하게 임의의σ-집합 대수)가, 그대로δ-집합환의 예가 된다.
• δ-집합환이지만σ-집합환이 되지 않는 것이 존재한다.그 단순한 예는, 무한 집합 X에 대해서, X의 유한 부분 집합 전체가 이루는 족에 의해서 주어진다.
• 이 예는 더 일반의 예의 모임안의 특별한 경우이지만, 임의의 측도 공간 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$  에 대해,σ-가법족 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  의 원으로 측도 유한한 것 전체가 이루는 족은δ-집합환이 된다.

측도론과의 관계

집합환 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$  위에서 정의된 측도를,${\displaystyle {\mathcal {R}}}$  하지만 생성하는σ-가법족에까지 연장하는 것을 말한 고전적인 카라테오드리의 확장 정리가 나타내 보이는데 따르면, 이 구성으로 얻을 수 있는 측도는 유한 측도가 아니고, 측도 무한대의 부분 집합을 고려키네바 안 된다고 하는 것이 된다.σ-유한한 측도로부터 구성을 시작한다면, 별도인 확장법도 있다.이것은 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  에 의해서 생성되는(σ-집합 대수는 아니고)δ-집합환을 주는 확장 정리로서 말할 수 있다.이 상황으로는 측도의 정의에 값으로 해서+∞를 도입하는 것이 허락되는[³].

집합 X상의δ-집합환 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$  하지만 주어졌을 때, X의 부분 집합 A가${\displaystyle {\mathcal {D}}}$  에 관해서 국소가측(locally measurable)이다는 것은,

${\displaystyle {\mathcal {D}}}$  의 임의의 원E에 대해 ${\displaystyle E\cap A\in {\mathcal {D}}}$ 

되는 것을 말한다.${\displaystyle {\mathcal {D}}}$  에 관한 국소가측부분 집합 전체가 이루는 족은σ-가법족이다.${\displaystyle {\mathcal {D}}}$  위의 유한 측도μ가 주어졌을 때,${\displaystyle {\mathcal {D}}}$  에 관한 국소가측집합 A에 대해서

${\displaystyle \mu (A)=\sup\{\mu (B)\mid B\in {\mathcal {D}}{\text{ and }}B\subset A\}}$ 

(이)라고 정하는 것으로,μ를 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$  에 관한 국소가측집합 전체가 이루는σ-가법족상의 측도로 연장할 수 있는[⁴].

참고 문헌

1. ^ Vladimir Bogachev, Measure Theory, Springer,□2007 (ISBN 978-3-540-34513-8), p. 8
2. ^ Karen Saxe, Beginning functional analysis, Springer,□2002 (ISBN 9780387952246), exercice 3.2. 1, p. 69
3. ^ Bogacev, op. cit., p. 24-25. 이 방법론에 근거하는 측도론의 해설은 John L. Kelley et T. P. Srinivasan, Measure And Integral, Springer,□1987 (ISBN 9780387966335).
4. ^ Kelley et Srinivasan, op. cit., p. 91-92

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