와일 계량

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일반 상대성 이론에 대하고, 와일 계량(와일 경량영: Weyl metrics, 독일계 미국인 수학자 헬만・와일에 유래)과는, 아인슈타인 방정식의 「정적」으로 「축대칭」인 해의 총칭이다.커・뉴먼 계량으로 분류되는 셋의 유명한 해, 즉 슈와르트시르트 계량, 비극한적 라이스나・노르드슈트롬 계량, 극한적 라이스나・노르드슈트롬 계량이 와일형 계량이라고 말할 수 있다.

목차

표준적 와일 계량

와일 계량으로 분류되는 해는 다음 일반식을 가지는[¹][²].

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-e^{2\psi (\rho ,z)}\mathrm {d} t^{2}+e^{2\gamma (\rho ,z)-2\psi (\rho ,z)}(\mathrm {d} \rho ^{2}+\mathrm {d} z^{2})+e^{-2\psi (\rho ,z)}\rho ^{2}\mathrm {d} \phi ^{2}}$ 

(1)

여기서ψ(ρ, z) 및γ(ρ, z)은 「와일의 정 준좌표」{ρ, z}에 의존하는 계량 포텐셜이다. 좌표계{t,ρ, z,φ}는 와일 시공의 대칭성에 가장 적합하고 있어(두 개의 키링베크톨장은ξ^t =∂_t 및ξφ=∂φ된다) 자주 원통 극좌표계와 같이 행동하는[¹]이,{ρ, z}가 사상의 지평면의 외측만을 피복 하고 있다고 하는 의미로 블랙 홀의 기술에는 「불완전」이다.

따라서, 어느 특정의 에너지・운동량 텐솔 T^ab에 대응하는 정적축대칭해를 결정하려면 , 식(1)에 표현되는 와일 계량을 아인슈타인 방정식에 대입할 필요가 있다(여기서 c=G=1으로 한다).

${\displaystyle R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}=8\pi T_{ab}}$ 

(2)

그리고, 두 개의 함수ψ(ρ, z) 및γ(ρ, z)의 함수형을 밝혀 내지 않으면 안 된다.

전자 진공 와일해용의 간략화 방정식

가장 자주(잘) 조사되고 있어 가장 유용한 와일해의 하나가 T_ab이 전자장에만 기인한다, 즉 물질도 전류도 존재하지 않는 상황에 대응하는(와일형) 전자 진공해이다.안 대로, 전자4원 포텐셜 A_a가 주어지면 반대칭전자장 텐솔 F_ab 및 트레이스 프리인 에너지・운동량 텐솔 T_ab (T = g^abT_ab = 0)을 각각 계산할 수 있다.

${\displaystyle F_{ab}=A_{b\,;\,a}-A_{a\,;\,b}=A_{b\,,\,a}-A_{a\,,\,b}}$ 

(3)

${\displaystyle T_{ab}={\frac {1}{4\pi }}\,{\Big (}\,F_{ac}F_{b}^{\;c}-{\frac {1}{4}}g_{ab}F_{cd}F^{cd}{\Big )}}$ 

(4)

이것은, 근원 없음모두변맥스웰 방정식을 채운다.

${\displaystyle {\big (}F^{ab}{\big )}_{;\,b}=0\,,\quad F_{[ab\,;\,c]}=0}$ 

(5.a)

식(5. a)는 다음 같게 간략화할 수 있다.

${\displaystyle {\big (}{\sqrt {-g}}\,F^{ab}{\big )}_{,\,b}=0\,,\quad F_{[ab\,,\,c]}=0}$ 

(5.b)

여기서Γa
bc
=Γa
cb
를 이용했다.또, 전자 진공에 대하고는 R =－8πT = 0이기 때문에, 식(2)을 다음 같게 간략화할 수 있다.

${\displaystyle R_{ab}=8\pi T_{ab}}$ 

(6)

여기서, 와일형축대칭 정전 포텐셜을 A_a =Φ(ρ, z)[dt]_a (성분Φ은 실제로 전자 스칼라 포텐셜)와 식(1)의 형태의 와일 계량을 가정하면, 식(3)(4)(5)(6)로부터 다음을 이끌 수 있다.

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =\,(\nabla \psi )^{2}+\gamma _{,\,\rho \rho }+\gamma _{,\,zz}}$ 

(7.a)

${\displaystyle (7.b)\quad \nabla ^{2}\psi =\,e^{-2\psi }(\nabla \Phi )^{2}}$ 

(7.b)

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\,\gamma _{,\,\rho }=\,\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}-e^{-2\psi }{\big (}\Phi _{,\,\rho }^{2}-\Phi _{,\,z}^{2}{\big )}}$ 

(7.c)

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\,\gamma _{,\,z}=\,2\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}-2e^{-2\psi }\Phi _{,\,\rho }\Phi _{,\,z}}$ 

(7.d)

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =\,2\nabla \psi \nabla \Phi }$ 

(7.e)

여기서, R = 0으로부터 식(7. a)가 얻을 수 있어 R_tt = 8πT_tt 혹은 Rφφ= 8πTφφ로부터 식(7. b)가 얻을 수 있어 Rρρ= 8πTρρ혹은 R_zz = 8πT_zz로부터 식(7. c)가 얻을 수 있어 Rρ_z = 8πTρ_z로부터 식(7. d)가 얻을 수 있어 식(5. b)로부터 식(7. e)가 얻을 수 있다.또,${\displaystyle \nabla ^{2}=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\,\partial _{\rho }+\partial _{zz}}$  및  ${\displaystyle \nabla =\partial _{\rho }\,{\hat {e}}_{\rho }+\partial _{z}\,{\hat {e}}_{z}}$  (은)는 각각 laplace 연산자와 구배 연산자이다. 게다가 물질・기하 상호작용의 의미로ψ=ψ(Φ)로 해, 점근적 평탄성을 가정하면 식(7. a-e)로부터 다음 상태방정식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle e^{\psi }=\,\Phi ^{2}-2C\Phi +1}$ 

(7.f)

특히, 가장 단순한 진공의 경우는Φ= 0한편 T_ab = 0이며, 식(7. a-7. e)는 다음 같게 간략화 되는[³].

${\displaystyle \gamma _{,\,\rho \rho }+\gamma _{,\,zz}=-(\nabla \psi )^{2}}$ 

(8.a)

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0}$ 

(8.b)

${\displaystyle \gamma _{,\,\rho }=\rho \,{\Big (}\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}{\Big )}}$ 

(8.c)

${\displaystyle \gamma _{,\,z}=2\,\rho \,\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}}$ 

(8.d)

우선 식(8. b)를 푸는 것으로ψ(ρ, z)가 얻을 수 있어 게다가로 식(8. c) 및 식(8. d)를 푸는 것으로γ(ρ, z)가 얻을 수 있다.실용상, R = 0으로부터 귀결하는 식(8. a)는 무모순성 관계식 혹은 가능 적분 조건식으로서 밖에 일하지 않는다.

비선형 어류 요리 방정식(7. b)와는 달라, 식(8. b)는 선형 laplace 방정식이다.이것은 즉, 식(8. b)를 채우는 진공사토루를 겹쳐 맞추어도 역시 식(8. b)의 해인 것을 의미한다.이 사실은 넓은 응용을 가지고 있어 예를 들어 해석적으로 슈와르트시르트브락크호르를 비뚤어지게 하는(영문판) 것에 응용할 수 있다.

Box A: 전자 진공 방정식에 대한 주의

축대칭인 laplace 연산자 및 구배 연산자를 이용해 식(7. a-7. e) 및 식(8. a-8. d)를 컴팩트하게 내리 썼다.이것은 상태방정식(7. f)의 도출에 매우 유용하다.논문에서는, 식(7. a-7. e) 및 식(8. a-8. d)는 다음 형식에서 내리 써지는 것도 자주 있다.

${\displaystyle \psi _{,\,\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\psi _{,\,\rho }+\psi _{,\,zz}=\,(\psi _{,\,\rho })^{2}+(\psi _{,\,z})^{2}+\gamma _{,\,\rho \rho }+\gamma _{,\,zz}}$ 

(A.1.a)

${\displaystyle \psi _{,\,\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\psi _{,\,\rho }+\psi _{,\,zz}=e^{-2\psi }{\big (}\Phi _{,\,\rho }^{2}+\Phi _{,\,z}^{2}{\big )}}$ 

(A.1.b)

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\,\gamma _{,\,\rho }=\,\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}-e^{-2\psi }{\big (}\Phi _{,\,\rho }^{2}-\Phi _{,\,z}^{2}{\big )}}$ 

(A.1.c)

${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}\,\gamma _{,\,z}=\,2\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}-2e^{-2\psi }\Phi _{,\,\rho }\Phi _{,\,z}}$ 

(A.1.d)

${\displaystyle \Phi _{,\,\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\Phi _{,\,\rho }+\Phi _{,\,zz}=\,2\psi _{,\,\rho }\Phi _{,\,\rho }+2\psi _{,\,z}\Phi _{,\,z}}$ 

(A.1.e)

및

${\displaystyle (\psi _{,\,\rho })^{2}+(\psi _{,\,z})^{2}=-\gamma _{,\,\rho \rho }-\gamma _{,\,zz}}$ 

(A.2.a)

${\displaystyle \psi _{,\,\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\psi _{,\,\rho }+\psi _{,\,zz}=0}$ 

(A.2.b)

${\displaystyle \gamma _{,\,\rho }=\rho \,{\Big (}\psi _{,\,\rho }^{2}-\psi _{,\,z}^{2}{\Big )}}$ 

(A.2.c)

${\displaystyle \gamma _{,\,z}=2\,\rho \,\psi _{,\,\rho }\psi _{,\,z}}$ 

(A.2.d)

Box B: 와일 전자 진공 ${\displaystyle \psi \sim \Phi }$  상태방정식의 도출

시공의 기하와 에너지・물질 분포와의 상호작용을 고려하면, 식(7. a-7. e)에 두어 계량 함수ψ(ρ, z)는 정전 포텐셜Φ(ρ, z)과 함수 관계ψ=ψ(Φ) (즉 기하가 에너지에 의존한다)를 가정하는 것이 자연스럽고, 여기로부터 다음이 귀결한다.

${\displaystyle \psi _{,\,i}=\psi _{,\,\Phi }\cdot \Phi _{,\,i}\quad ,\quad \nabla \psi =\psi _{,\,\Phi }\cdot \nabla \Phi \quad ,\quad \nabla ^{2}\psi =\psi _{,\,\Phi }\cdot \nabla ^{2}\Phi +\psi _{,\,\Phi \Phi }\cdot (\nabla \Phi )^{2}}$ 

(B.1)

식(B. 1)에 의해 식(7. b) 및 식(7. e)는 즉시 각각 다음 같게 변환된다.

${\displaystyle \Psi _{,\,\Phi }\cdot \nabla ^{2}\Phi \,=\,{\big (}e^{-2\psi }-\psi _{,\,\Phi \Phi }{\big )}\cdot (\nabla \Phi )^{2},}$ 

(B.2)

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi \,=\,2\psi _{,\,\Phi }\cdot (\nabla \Phi )^{2}}$ 

(B.3)

따라서, 다음을 얻는다.

${\displaystyle \psi _{,\,\Phi \Phi }+2\,{\big (}\psi _{,\,\Phi }{\big )}^{2}-e^{-2\psi }=0}$ 

(B.4)

여기서, 변수ψ를ζ:= e²ψ로 옮겨놓으면, 식(B. 4)는 다음 같게 간략화 된다.

${\displaystyle \zeta _{,\,\Phi \Phi }-2=0}$ 

(B.5)

식(B. 5)를 직접 적분 하면ζ= e²ψ=Φ² + ~CΦ+ B를 얻을 수 있다.여기서{B, ~C}는 적분 정수이다.무한원점에 있어서의 점근적 평탄성을 채우기 위해서는, ${\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }\Phi =0}$  및 ${\displaystyle \lim _{\rho ,z\to \infty }e^{2\psi }=1}$  하지만 요청되어 따라서 B = 1이 아니면 안된다.또, 수학적 간편화를 위해서 이하~C를-2 C와 같이 고쳐 쓰는 것으로 하면, 식(7. a-7. e)로부터 최종적으로 다음 상태방정식이 이끌린다.

${\displaystyle e^{2\psi }=\Phi ^{2}-2C\Phi +1}$ 

(7.f)

이 관계식은 식(7. a-7. f)를 선형화 해, 전자 진공 와일사토루의 겹쳐 맞추는데 있어서 중요하다.

계량 포텐셜Ψ(ρ, z)의 뉴턴 역학에 있어서의 상당물 편

식(1)에 나타나는 와일 계량에 대해서, ${\displaystyle e^{\pm 2\psi }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\pm 2\psi )^{n}}{n!}}}$  이기 때문에, 약장 극한ψ→0에 대해 다음 근사가 성립된다.

${\displaystyle g_{tt}=-(1+2\psi )-{\mathcal {O}}(\psi ^{2})\,,\quad g_{\phi \phi }=1-2\psi +{\mathcal {O}}(\psi ^{2})}$ 

(9)

따라서, 다음 근사식이 귀결한다.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}\approx -{\Big (}1+2\psi (\rho ,z){\Big )}\,\mathrm {d} t^{2}+{\Big (}1-2\psi (\rho ,z){\Big )}{\Big [}e^{2\gamma }(\mathrm {d} \rho ^{2}+\mathrm {d} z^{2})+\rho ^{2}\mathrm {d} \phi ^{2}{\Big ]}}$ 

(10)

이것은, 다음에 나타내는 태양이나 지구와 같은 저질량 천체가 만드는 잘 알려진 정적약중력장에 매우 잘 비슷한[⁴].

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-{\Big (}1+2\Phi _{N}(\rho ,z){\Big )}\,\mathrm {d} t^{2}+{\Big (}1-2\Phi _{N}(\rho ,z){\Big )}\,{\Big [}\mathrm {d} \rho ^{2}+\mathrm {d} z^{2}+\rho ^{2}\mathrm {d} \phi ^{2}{\Big ]}}$ 

(11)

여기서,Φ_N(ρ, z)는 통상 「뉴턴 포텐셜」이라고 불려 어류 요리 방정식 ${\displaystyle \nabla _{L}^{2}\Phi _{N}=4\pi \varrho _{N}}$  (을)를 채운다.이것은 와일 계량 포텐셜ψ(ρ, z)이 식(3. a) 또는 식(4. a)를 만스의 것과 같은 의미를 가진다.ψ(ρ, z)(와)과Φ_N(ρ, z)의 유사성으로부터, 와일해의 연구 시에는ψ(ρ, z)의 뉴턴 역학에 있어서의 상당물을 상정하고 싶어진다.즉,ψ(ρ, z)를 비상대론적으로 뉴턴 중력원으로부터 이끌고 싶어진다.ψ(ρ, z)의 뉴턴 역학에 있어서의 상당물은 와일형의 해를 지정해, 또 확장할 때에 매우 도움이 되는 것이 실증되고 있는[¹].

슈와르트시르트해

와이르포텐샤르는, 식(8)을 다음 같게 주면 슈와르트시르트 계량을 생성하는[¹][²][³].

${\displaystyle \psi _{SS}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L-M}{L+M}}\,,\quad \gamma _{SS}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L^{2}-M^{2}}{l_{+}l_{-}}}}$ 

(12)

여기서, 다음 같게 둔다.

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}{\big (}l_{+}+l_{-}{\big )}\,,\quad l_{+}={\sqrt {\rho ^{2}+(z+M)^{2}}}\,,\quad l_{-}={\sqrt {\rho ^{2}+(z-M)^{2}}}}$ 

(13)

뉴턴 역학에 있어서의 상당물의 관점으로부터,ψ_SS는 질량 M 및 길이 2 M의 봉을 z-축상에 대칭에 두었을 때에 생성되는 중력 포텐셜에 동일하다.즉, 일 모양 질량선밀도σ= 1/2를 구간 ${\displaystyle z\in [-M,M]}$  에 두었을 경우에 동일하다(이 유추에 따르고, 출전[¹]으로 논의되도록(듯이) 슈와르트시르트해의 중요한 확장이 개발되고 있다).

ψ_SS와γ_SS가 주어지면, 와일 계량의 형식(1)은 다음 같게 된다.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-{\frac {L-M}{L+M}}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {(L+M)^{2}}{l_{+}l_{-}}}(\mathrm {d} \rho ^{2}+\mathrm {d} z^{2})+{\frac {L+M}{L-M}}\,\rho ^{2}\mathrm {d} \phi ^{2}}$ 

(14)

그리고, 다음 서로 모순되지 않은 관계식을 대입하면,

${\displaystyle L+M=r\,,\quad l_{+}-l_{-}=2M\cos \theta \,,\quad z=(r-M)\cos \theta \,,}$ 
${\displaystyle \;\;\quad \rho ={\sqrt {r^{2}-2Mr}}\,\sin \theta \,,\quad l_{+}l_{-}=(r-M)^{2}-M^{2}\cos ^{2}\theta }$ 

(15)

다음, 통상의 구면 좌표계{t, r,θ,φ}를 이용한 일반적인 형식의 슈와르트시르트 계량을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}\,\mathrm {d} t^{2}+{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}{\Big )}^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}}$ 

(16)

식(14)의 형식의 계량은, 표준적인 원통・구면 변환(t,ρ, z,φ) = (t, rsinθ, rcosθ,φ)에 의해 직접식(16)으로 변환하는 것은 할 수 없다.왜냐하면,{t, r,θ,φ}는 완전한 한편{t,ρ, z,φ}는 불완전하기 때문에이다.이것이, 식(1)에 대해{t,ρ, z,φ}를 원통 좌표계는 아니고 와일의 정 준좌표라고 부른 이유이다.그러나, 이것들 두 개의 좌표계의 사이에는 많은 공통점이 있다.예를 들어, 식(7)에 나타나는 라프라시안 ${\displaystyle \nabla ^{2}:=\partial _{\rho \rho }+{\frac {1}{\rho }}\partial _{\rho }+\partial _{zz}}$  (은)는 원통 좌표계에 있어서의 이차원 기하 라프라시안에 일치하고 있다.

비극한적 라이스나・노르드슈트롬해

다음과 같은 와이르포텐샤르를 대입하면, 비극한적 라이스나・노르드슈트롬해(M > |Q|) 하지만 식(7)의 해로서 얻을 수 있는[¹][²][³].

${\displaystyle \psi _{RN}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L^{2}-(M^{2}-Q^{2})}{(L+M)^{2}}}\,,\quad \gamma _{RN}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L^{2}-(M^{2}-Q^{2})}{l_{+}l_{-}}}}$ 

(17)

여기서, 다음 같게 둔다.

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}{\big (}l_{+}+l_{-}{\big )}\,,\quad l_{+}={\sqrt {\rho ^{2}+(z+{\sqrt {M^{2}-Q^{2}}})^{2}}}\,,\quad l_{-}={\sqrt {\rho ^{2}+(z-{\sqrt {M^{2}-Q^{2}}})^{2}}}}$ 

(18)

따라서, 위의ψ_RN 및γ_RN로부터, 와일 계량은 다음 같게 쓸 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-{\frac {L^{2}-(M^{2}-Q^{2})}{(L+M)^{2}}}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {(L+M)^{2}}{l_{+}l_{-}}}(\mathrm {d} \rho ^{2}+\mathrm {d} z^{2})+{\frac {(L+M)^{2}}{L^{2}-(M^{2}-Q^{2})}}\rho ^{2}\mathrm {d} \phi ^{2}}$ 

(19)

다음 변환을 베풀면,

${\displaystyle L+M=r\,,\quad l_{+}+l_{-}=2{\sqrt {M^{2}-Q^{2}}}\,\cos \theta \,,\quad z=(r-M)\cos \theta \,,}$ 
${\displaystyle \;\;\quad \rho ={\sqrt {r^{2}-2Mr+Q^{2}}}\,\sin \theta \,,\quad l_{+}l_{-}=(r-M)^{2}-(M^{2}-Q^{2})\cos ^{2}\theta }$ 

(20)

통상의{t, r,θ,φ}좌표에 의한 일반적인 비극한적 라이스나・노르드슈트롬 계량을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}{\Big )}\,\mathrm {d} t^{2}+{\Big (}1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}{r^{2}}}{\Big )}^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}}$ 

(21)

극한적 라이스나・노르드슈트롬해

다음과 같은 와이르포텐샤르에 의해, 극한적 라이스나・노르드슈트롬해(M = |Q|) 하지만 식(7)의 해로서 얻을 수 있는[³](극한적해를 별개로 취급하는 것은, 이것이 비극한적해의 축퇴 한 것 이상의 큰 의미를 가지기 때문이다).

${\displaystyle \psi _{ERN}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {L^{2}}{(L+M)^{2}}}\,,\quad \gamma _{ERN}=0\,,\quad {\text{with}}\quad L={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}$ 

(22)

따라서, 극한적 라이스나・노르드슈트롬해는 이하와 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-{\frac {L^{2}}{(L+M)^{2}}}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {(L+M)^{2}}{L^{2}}}(\mathrm {d} \rho ^{2}+\mathrm {d} z^{2}+\rho ^{2}\mathrm {d} \phi ^{2})}$ 

(23)

또, 다음을 대입하면,

${\displaystyle L+M=r\,,\quad z=L\cos \theta \,,\quad \rho =L\sin \theta }$ 

(24)

이하와 같이 통상의{t, r,θ,φ}좌표에 의한 극한적 라이스나・노르드슈트롬 계량을 얻는다.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{2}\mathrm {d} t^{2}+{\Big (}1-{\frac {M}{r}}{\Big )}^{-2}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \phi ^{2}}$ 

(25)

수학적으로는, 극한적 라이스나・노르드슈트롬 계량은 대응하는 비극한적 라이스나・노르드슈트롬 계량에 대해 Q→M의 극한을 취해, 로피탈의 정리를 이용하면 얻을 수 있다.

비고: 식(1)의 와일 계량에 대해(극한적 라이스나・노르드슈트롬 계량과 같이)γ(ρ, z)를 영으로 하면ψ(ρ, z)라고 하는 하나의 계량 포텐셜에만 따라 결정되는 특별한 하위 분류를 얻을 수 있다.이 하위 분류를 축대칭이라고 하는 제한을 제외해 확장하는 것으로써(다만 여전히 와일 좌표가 이용된다), 다른 유용한 분류를 얻을 수 있다.이것을 「공형 정적(conformastatic)」계량이라고 부르는[⁵][⁶].

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}\,=-e^{2\lambda (\rho ,z,\phi )}\mathrm {d} t^{2}+e^{-2\lambda (\rho ,z,\phi )}{\Big (}\mathrm {d} \rho ^{2}+\mathrm {d} z^{2}+\rho ^{2}\mathrm {d} \phi ^{2}{\Big )}}$ 

(26)

여기서,λ를ψ의 것인지 비교적 이용했다. 이것은 대칭성이 다른(φ-의존성이 있다) 것을 강조하기 위해(때문에)이다.

구면 좌표계에 있어서의 와일 진공해

구면 좌표계를 이용해 와일 계량을 나타낼 수도 있다.

${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}\,=-e^{2\psi (r,\theta )}\mathrm {d} t^{2}+e^{2\gamma (r,\theta )-2\psi (r,\theta )}(\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2})+e^{-2\psi (r,\theta )}\rho ^{2}\mathrm {d} \phi ^{2}}$ 

(27)

이 식은 식(1)에 좌표변화(t,ρ, z,φ)□(t, rsinθ, rcosθ,φ)를 베푼 것인(주의:식(15)(21)(24)에 나타나도록(듯이), 이 좌표변화는 항상 적용 가능하다고는 할 수 없다).진공의 경우는, 식(8. b)를ψ(r,θ)로 쓰면 이하와 같이 된다.

${\displaystyle r^{2}\psi _{,\,rr}+2r\,\psi _{,\,r}+\psi _{,\,\theta \theta }+\cot \theta \cdot \psi _{,\,\theta }\,=\,0}$ 

(28)

점긴뻬이탄인 해의 경우, 식(28)은 이하와 같이 되는[¹].

${\displaystyle \psi (r,\theta )\,=-\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {P_{n}(\cos \theta )}{r^{n+1}}}}$ 

(29)

여기서 P_n(cosθ)는 르잘돌 다항식을 나타내, a_n는 다중 극자(영문판) 계수이다.또 하나의 계량 포텐셜γ(r,θ)은 다음 같게 쓸 수 있는[¹].

${\displaystyle \gamma (r,\theta )\,=-\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }a_{l}a_{m}}$  ${\displaystyle {\frac {(l+1)(m+1)}{l+m+2}}}$  ${\displaystyle {\frac {P_{l}P_{m}-P_{l+1}P_{m+1}}{r^{l+m+2}}}}$ 

(30)

관련 항목

• 슈와르트시르트 계량
• 라이스나・노르드슈트롬 계량
• 왜슈와르트시르트 계량(영문판)

출전

1. ^ ^{a b c d e f g h} Jeremy Bransom Griffiths, Jiri Podolsky. Exact Space-Times in Einstein's General Relativity. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Chapter 10.
2. ^ ^{a b c} Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, Eduard Herlt. Exact Solutions of Einstein's Field Equations. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. Chapter 20.
3. ^ ^{a b c d} R Gautreau, R B Hoffman, A Armenti. Static multiparticle systems in general relativity. IL NUOVO CIMENTO B, 1972, 7(1): 71-98.
4. ^ James B Hartle. Gravity: An Introduction To Einstein's General Relativity. San Francisco: Addison Wesley, 2003. Eq(6.20) transformed into Lorentzian cylindrical coordinates
5. ^ Guillermo A Gonzalez, Antonio C Gutierrez-Pineres, Paolo A Ospina. Finite axisymmetric charged dust disks in conformastatic spacetimes. Physical Review D, 2008, 78(6): 064058. arXiv:0806.4285v1
6. ^ Antonio C Gutierrez-Pineres, Guillermo A Gonzalez, Hernando Quevedo. Conformastatic disk-haloes in Einstein-Maxwell gravity. Physical Review D, 2013, 87(4): 044010. [1]

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