대수 평균 온도차

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대수 평균 온도차(싶은 수무기응온도, 영: logarithmic mean temperature difference, LMTD)란, 열교환기 등 전열의 분야에서 이용되는 온도차이다.열교환기의 양단에 있어서의 고온 유체와 저온 유체의 온도차를 이용해 정의되어 통상의 온도차와 같이, 대수 평균 온도차가 큰 만큼 전열량도 커진다.

목차

정의

열교환기에 대해 2개의 유체의 온도차는, 유체가 열교환하는데 응하고 장소에 의해 다르다. 전체의 전열량이 동일해지는 등가인 온도차(특히 보통류형 및 향류형 열교환기의 값)를, 대수 평균 온도차라고 한다.

이중관열교환기등과 같이 양유체가 한방향에 흐르는 열교환기에 대하고, 좌단 및 우단을 각각 A, B와 나타낸다. 이 때 대수 평균 온도차는 차식에서 정의된다：

${\displaystyle \Delta T_{\mathrm {LMTD} }={\frac {\Delta T_{\mathrm {A} }-\Delta T_{\mathrm {B} }}{\ln(\Delta T_{\mathrm {A} }/\Delta T_{\mathrm {B} })}}}$ 

여기서ΔT_A는 A측에서의 고온 유체와 저온 유체의 온도차,ΔT_B는 B측에서의 온도차인[^{주석 1}].

대수 평균 온도차를 이용하면, 열교환기 전체의 전열량 Q는 차식에서 주어진다：

${\displaystyle Q=KA_{\mathrm {r} }\Delta T_{\mathrm {LMTD} }}$ 

여기서 K는 열통과율(열관류율, 총괄전열계수), A_r는 전열면적이다.

이 식은 양유체가 한방향에 흐르는 열교환기이면, 보통류형이나 향류형인가에 관계없이 사용할 수 있다. 일반의 열교환기에 대해서는, 향류형으로서 계산한 대수 평균 온도차를 보정해 이용하는 방법등이 있는[¹] [²].

도출

 

그림 1수준류형・향류형 열교환기의 온도 분포

이중관열교환기등과 같이, 한방향에 유체가 흐르는 열교환기를 생각한다. 양유체가 흐르는 방향으로 따라 보통류형 및 향류형이 있어, 각각의 스타일체의 온도는 그림 1에 같게 변화한다.

위치를 나타내는 좌표로서 열교환기의 좌단 A로부터 그 위치까지의 전열면적 a를 선택한다. 좌단으로는 a = 0, 우단에서는 a = A_r이다.

고온 유체, 저온 유체의 물리량을 h, c의 첨자로 구별해, 각각의 유체의 온도를 T_h(a), T_c(a)로 한다.

위치 a에 있어서의 미소 구간 da의 국소전열량 dq는, 차식에서 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {d} q=K(T_{h}-T_{c})\mathrm {d} a=K\Delta T\mathrm {d} a\qquad (1)}$ 

각각의 스타일체의 열수지보다, 이 전열량은 이 구간에서의 온도 변화와 열용량과의 적에 동일하다.

${\displaystyle \mathrm {d} q=-(c{\dot {m}})_{h}\mathrm {d} T_{h}=-C_{h}\mathrm {d} T_{h}\qquad (2)}$ 

${\displaystyle \mathrm {d} q=\pm (c{\dot {m}})_{c}\mathrm {d} T_{c}=\pm C_{c}\mathrm {d} T_{c}\qquad (3)}$ 

C는 비열 c와 질량 유량 ${\displaystyle {\dot {m}}}$ 의 적으로, 단위시간에 통과하는 열용량을 나타낸다. 제2식의 복호는 위가 보통류형, 아래가 향류형에 대응한다(이하도 마찬가지).

식(2), (3)보다

${\displaystyle \mathrm {d} (\Delta T)=\mathrm {d} T_{h}-\mathrm {d} T_{c}=-\left({\frac {1}{C_{h}}}\pm {\frac {1}{C_{c}}}\right)\mathrm {d} q}$ 

이것에 식(1)의 dq를 이용하고,ΔT(a)에 관한 다음 미분 방정식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (\Delta T)}{\Delta T}}=-\left({\frac {1}{C_{h}}}\pm {\frac {1}{C_{c}}}\right)K\mathrm {d} a\qquad (4)}$ 

이것을 적분 하고, a = 0으로ΔT =ΔT_A인 것을 이용하면,

${\displaystyle \Delta T(a)=\Delta T_{\mathrm {A} }e^{-\left({\frac {1}{C_{h}}}\pm {\frac {1}{C_{c}}}\right)Ka}}$ 

우단 a = A_r로ΔT =ΔT_B인 것을 이용하면,

${\displaystyle \Delta T_{\mathrm {B} }=\Delta T_{\mathrm {A} }e^{-\left({\frac {1}{C_{h}}}\pm {\frac {1}{C_{c}}}\right)KA_{\mathrm {r} }}\qquad (5)}$ 

전전열량은 식(1)을 적분 하면 좋기 때문에, 이것에 식(4)을 이용하고 차식과 같이 구해진다.

${\displaystyle Q=\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }\mathrm {d} q=\int _{0}^{A_{\mathrm {r} }}K\Delta T\mathrm {d} a=\int _{\Delta T_{\mathrm {A} }}^{\Delta T_{\mathrm {B} }}{\frac {\mathrm {d} (\Delta T)}{-\left({\frac {1}{C_{h}}}\pm {\frac {1}{C_{c}}}\right)}}={\frac {\Delta T_{\mathrm {A} }-\Delta T_{\mathrm {B} }}{{\frac {1}{C_{h}}}\pm {\frac {1}{C_{c}}}}}}$ 

이것에 식(5)의 관계식 ${\displaystyle \left[(1/C_{h})\pm (1/C_{c})\right]KA_{\mathrm {r} }=\ln(\Delta T_{\mathrm {A} }/\Delta T_{\mathrm {B} })}$  (을)를 이용하면, 보통류・향류를 불문하고 차식이 된다.

${\displaystyle Q=KA_{\mathrm {r} }{\frac {\Delta T_{\mathrm {A} }-\Delta T_{\mathrm {B} }}{\ln(\Delta T_{\mathrm {A} }/\Delta T_{\mathrm {B} })}}=KA_{\mathrm {r} }\Delta T_{\mathrm {LMTD} }}$ 

주의점

상술의 도출에는 이하의 가정이 포함되어 있기 때문에, 그 가정이 성립되지 않는 경우는 이용하지 못하는 것에 주의.

• 유체의 비열은 온도 변화에 대해 일정으로 하고 있다.이 가정은 통상의 유체의 사용 범위로는 좋은 정도로 성립되지만, 응축, 비등 등, 상변화에 수반하는 잠열이 관계하는 경우에는 적용할 수 없다.
• 열통과율 K는 일정으로 하고 있다.
• 전열현상은 정상이다고 하고 있다.

주석

1. ^ a와 b를 정이 수라고 할 때, ${\displaystyle {\frac {a-b}{\ln(a/b)}}}$  (을)를 대수 평균치라고 한다.

참고 문헌

1. ^ W. H. 기트(요코보리, 쿠가(뜻)이유), 「기초전열공학」, 마루젠(1960)
2. ^일본 기계 학회, 「전열공학 자료」, 마루젠 출판(2009), ISBN 978-4-88898-184-2 C3053.

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• 열교환기

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