프류파군

프류파2-군.〈g_n : g_n+1² = g_n, g₁² = e〉

수학, 특히 군론에 대하고, 소수 p에 대해서, 프류파 p군(Prufer p-group) 혹은 p 준순회군(p-quasicyclic group) 혹은 p∞군(p∞-group), Z(p∞)란, 모든 원이 p개의 상이 되는 p승근을 가지는 유일한 p-군이다.군의 이름은 하인츠・프류파(영문판) (Heinz Prufer)를 기념하여 있다.무한 아벨군을 분류하는 도움이 되는 가산아벨군이다.

목차

Z(p∞)의 구성 편

프류파 p군은 원주군U(1)의 부분군이며 n가 모든 비부의 정수 Z⁺를 달릴 때의 모든 1의 pⁿ승근으로부터 되는 것 과 동일시할 수 있다：

${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })=\{\exp(2\pi im/p^{n})\mid m\in \mathbf {Z} ^{+},\,n\in \mathbf {Z} ^{+}\}.\;}$ 

여기서 군의 연산은 복소수의 곱셈이다.

혹은, 프류파 p군은 상군Q/Z의, 위수가 p의 멱의 모든 원으로부터 되는 흰색-p부분군이라고 볼 수도 있는[¹]：

${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })=\mathbf {Z} [1/p]/\mathbf {Z} }$ 

(여기서 Z[1/p]는, 분모가 p의 멱인 모든 유리수로부터 되는 군, 군연산은 유리수의 가법, 을 나타낸다).

다음 같게 쓸 수도 있다：

${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })=\mathbf {Q} _{p}/\mathbf {Z} _{p}}$ 

여기서 Q_p는 p진수의 가법군을 나타내, Z_p는 그 p진정수로부터 되는 부분군이다.

다음과 같은 표시가 있다：

${\displaystyle \mathbf {Z} (p^{\infty })=\langle \,g_{1},g_{2},g_{3},\ldots \mid g_{1}^{p}=1,g_{2}^{p}=g_{1},g_{3}^{p}=g_{2},\dots \,\rangle .}$ 

여기서, Z(p∞)의 군연산은 곱셈적으로 쓰여져 있다.

성질

모든 소수 p에 대한 프류파 p군은 부분군이 포함에 의해서 전순서 붙일 수 있고 있는 유일한 무한군이다：

${\displaystyle 0\subset \left({1 \over p}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z} \subset \left({1 \over p^{2}}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z} \subset \left({1 \over p^{3}}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z} \subset \cdots \subset \mathbf {Z} (p^{\infty })}$ 

(여기서 ${\displaystyle \left({1 \over p^{n}}\mathbf {Z} \right)/\mathbf {Z} }$  (은)는 pⁿ개의 원을 가지는 Z(p∞)의 순회 부분군이다.위수가 pⁿ를 결론 짓는 Z(p∞)의 원전체로부터 되어, 1의 pⁿ승근의 집합에 대응한다.) 이 포함의 열은 프류파 p군을 유한 부분군의 곧 극한으로서 표현한다.프류파 p군은 극대 부분군(영문판)을 갖지 않기 때문에, 자기 자신이 후랏티니 부분군이다.

부분군의 이 리스트가 주어지면, 프류파 p군이 곧 기약인(진정한 부분군의 곧 화로서 쓸 수 없다) (일)것은 분명하다.한층 더 다음 일이 올바르다.프류파 p군은 subdirectly irreducible(영문판)이다.아벨군이 subdirectly irreducible인 것으로 유한 순회 p군 혹은 프류파군에게 동형인 것은 동치이다.

프류파 p군은 국소 순회인(영문판)(원의 임의의 유한 집합이 순회군을 생성한다) 유일한 무한 p군이다.위에서 본 것처럼, Z(p∞)의 모든 진정한 부분군은 유한하다.한편, 이 성질을 가진 무한 아벨군은 프류파 p군 뿐인[²].

프류파 p군은 가제이다.가제군의 분류로 중요한 역할을 완수한다.유리수와 프류파군은 모두 가장 단순한 가제군이다.정확하게는 아벨군이 가제인 것으로 Q의(무한개라도 좋다) 카피들과 각 소수 p에 대해서 Z(p∞)의(무한개라도 좋다) 카피들의 곧 화인 것은 동치이다.이 곧 화에 사용되는 Q와 Z(p∞)의 카피의 수는 동형을 제외하고 가제군을 결정하는[³][⁴].

아벨군으로서(즉 Z가군으로서), Z(p∞)는 아르틴가군이지만 네이타가군이 아닌[⁵].따라서 Z(p∞)는 모든 아르틴가군은 네이타가군이다고 하는 명제의 반례를 준다(한편 모든 아르틴환은 네이타환이다).

Z(p∞)의 자기 준동형환은 p진정수의 환Z_p에 동형인[²].

국소 콤팩트 위상군의 이론에 있고, 프류파 p군(에 이산 위상을 넣은 것)은 p진정수의 콤팩트군의 폰트랴긴쌍대이며, p진정수의 군은 프류파 p군의 폰트랴긴쌍대인[⁶].

각주

1. ^ Fuchs 1970, Example 2.
2. ^ ^{a b} Vil'yams (2001)
3. ^ Kaplansky 1965.
4. ^ Fuchs 1970, Theorem 23.1.
5. ^ Jacobson 2009, Example 2.
6. ^ D. L. Armacost and W. L. Armacost,"On p-thetic groups", Pacific J. Math., 41, no. 2 (1972), 295□301

참고 문헌

• Fuchs, Laszlo(1970). Infinite abelian groups. Vol. I. Pure and Applied Mathematics. 36. Academic Press. ISBN 9780122696015. MR 0255673. Zbl 0209.05503. //books.google.com/books?id=Vb38GspKia8C. 
• Jacobson, Nathan (2009) [1980]. Basic algebra. 2 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7. //books.google.com/books?id=4WU_AwAAQBAJ. 
• Pierre Antoine Grillet (2007). Abstract algebra. Springer. ISBN 978-0-387-71567-4. 
• Kaplansky, Irving (1965). Infinite Abelian Groups. University of Michigan Press. 
• N.N. Vil'yams (2001), "Quasi-cyclic group", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104, http://eom.springer.de/Q/q076440.htm 

관련 항목

• p진정수。프류파 p군의 유한 부분군의 역극한으로서 정의할 수 있다.
• 2진유리수(영문판).a/2 ^b의 형태의 유리수.프류파2-군은 1을 법으로 한 2진유리수로 볼 수 있다.

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