자연 변환

수학의 한 분야인 권론에 있고, 자연 변환(해 상에 나 , 영: natural transformation)은, 어느 함수를 그 권에 관한 내부 구조(즉 쏘아 맞혀의 합성)를 유지하면서 다른 함수에 변형하는 방법을 주는 것이다.따라서 직관적으로는, 자연 변환이라고 하는 것은 「함수고가 쏘아 맞혀」이면 생각할 수 있다.이것은 실제로, 함수권으로 불리는 것을 정의하는 것으로써 엄밀하게 정식화할 수 있다.권론에 있어 자연 변환의 개념은, 권과 함수에 이어 가장 기본적인 개념이며, 그러므로에 권론을 이용하는 논의의 대부분에 나타난다.

목차

정의

F 및 G를 권C로부터 D에의 함수로 할 때, F로부터 G에의 자연 변환η은 C에 속하는 각 대상 X에η의 X에 있어서의 성분(component)으로 불리는 D가 쏘아 맞혀η_X: F(X)→G(X)를 할당하는 것이다.다만η_X는, C의 임의가 쏘아 맞혀 f: X→Y에 대해서

${\displaystyle \eta _{Y}\circ F(f)=G(f)\circ \eta _{X}}$ 

(을)를 채우는 것으로 하는[¹].이 등식은 가환도식으로서

 

(이)라고 쓰면 보기 쉽다.F와 G가 모두 반변 때는, 도식내의 수평 방향의 화살표를 반대로 하면 좋다.η하지만 F로부터 G에의 자연 변환인 것을,η: F→G나η: F⇒G등에서 나타낸다.또, 「쏘아 맞혀의 족η_X: F(X)→G(X)는 X로 자연스럽다」 등 고도 말해 나타낸다.

C의 각 대상 X에 대해 쏘아 맞혀η_X가 D의 동형 쏘아 맞혀될 때,η는 자연 동형(혹은 자연 동치 혹은 함수의 동형)이다고 한다.또, 두 개의 함수F, G에 대해, F로부터 G에의 자연 동형이 존재할 때, F와 G와는 자연 동형(naturally isomorphic) 혹은 단지 동형이다고 한다.

도식의 가환성을 떨어뜨리고, 단지 쏘아 맞혀η_X: F(X)→G(X)의 족을 생각하면, F로부터 G에의 렬자연 변환(infranatural transformation)η의 개념이 정해진다.이것을 이용하면, 자연 변환과는 임의가 쏘아 맞혀 f: X→Y에 대해서η_Y□F(f) = G(f)□η_X를 채우는 렬자연 변환이라는 것이 된다.렬자연 변환η의 자연화권(naturalizer) nat(η)란, C의 대상을 모두 포함해, 그 위에η를 제한한 것이 자연 변환이 되는 C의 최대의 부분권을 말한다.

예

역전군

자세한 것은 「역전군」을 참조

현대 수학에 있어

「임의의 군은 그 역전군에게 자연 동형이다」

그렇다고 한 것 같은 언급을 잘 볼 수 있다.지금, 이 언급의 제대로 한 의미를, 증명과 함께 주자.

우선, 모든 군이 군 준동형을 쏘아 맞혀로서 이루는 권Grp를 생각한다.또, (G, *)가 군일 때, 그 역전군(반군) (G^op, *^op)는 다음 같게 해 정해진다.받침대 집합으로서의 G^op은 G와 같은 것으로 해, 연산*^op는 a *^op b = b * a를 채우는 것으로서 정한다.즉, G^op에 있어서의 곱셈은 G의 곱셈을 「역상」으로 한 것이다.군으로부터 역전군을 만드는 조작"^op"는, 각 군 준동형 f: G→H에 대해서 f^op = f라고 정하면, Grp로부터 Grp에의(공변) 함수가 된다(역전함수).여기서, f^op이 실제로 G^op으로부터 H^op의 군 준동형인 것, 즉

f^op(a *^op b) = f(b * a) = f(b) * f(a) = f^op(a) *^op f^op(b)

(을)를 채우는 것에 주의해서.

그런데 상기의 언급의 내용은, 즉

「항등 함수Id_Grp: Grp→Grp는 역전함수^op: Grp→Grp에 자연 동형이다」

그렇다고 하는 것이다.이것을 나타내는데는, 각 군G에 전제의 가환도식을 채우는 동형η_G: G→G^op을 주지 않으면 안 된다.η_G(a) := a－¹으로 두면, 공식(ab)－¹ = b－¹ a－¹ 및(a－¹)－¹ = a로부터η_G는 군G로부터 그 역전군에의 군 준동형이다.자연성의 증명은, 군 준동형 f: G→H에 대해서η_H□f = f^op□η_G가 되는 것을 말할 수 있으면 좋다.이것은 즉 G의 각 원a에 대해(f(a))－¹ = f^op(a－¹)이 성립되는 것이어, 이것은 f^op = f인 것과 임의의 군 준동형이(f(a))－¹ = f(a－¹) 되는 성질을 가지는 것부터 올바르다.

유한 차원 벡터 공간의 이중쌍 대

K를 몸으로 할 때, K상의 임의의 벡터 공간 V에 대해서, 벡터 공간으로부터 그 이중쌍대공간에의 「자연」인 단 쏘아 맞혀 선형사상 V→V^**가 잡힌다.여기서, 이러한 사상이 「자연」이다고 하는 의미는, 이중쌍대를 취하는 조작이 함수를 정해(이중쌍 대 함수), 한편 이러한 사상이 항등 함수로부터 이중쌍 대 함수에의 자연 변환의 성분이 되는 것이다.

반례：유한 차원 벡터 공간의 쌍 대

유한 차원 벡터 공간은 반드시 그 쌍대공간으로 동형이 되지만, 이 때의 동형을 주는 동형 쏘아 맞혀의 선택 방법에는 임의성이 있다(예를 들면, 기저를 하나 선택해 그 기저를 대응하는 쌍 대 기저에 찍는 조작은 동형이 된다).일반적으로는, 유한 차원 벡터 공간과 그 쌍대공간의 사이에 자연스러운 동형은 존재하지 않는[²][^{요점 페이지 번호}].그러나, 이하에 말하도록(듯이)(부가 구조를 가져, 쏘아 맞혀로서 생각하는 사상을 제한한) 유사한 권으로는 자연 동형을 가질 수 있다.

차원이라고 하는 것이 주어진 체 상의 유한 차원 벡터 공간의 유일한 불변량인 것부터, 유한 차원 벡터 공간의 쌍대공간은, 역시 원래의 공간과 같은 차원의 유한 차원 벡터 공간이며, 이것들 두 개의 공간은 동형이다.그렇지만, (기저등의) 추가의 정보가 없으면 주어진 공간으로부터 그 쌍대공간에의 동형을 주지 못하고, 따라서 그러한 동형을 골라내는 것이 필요하고, 이것은 「자연스럽지 않다」.모든 유한 차원 벡터 공간과 모든 선형사상이 이루는 권에 대하고, 각 공간에 대해서 동형을 선택하는(라고 하는지, 기저를 결정해 대응하는 동형을 만든다) 것에 따라, 벡터 공간의 모임으로부터 그러한 쌍대공간의 모임에의 렬자연 동형을 정할 수 있다.그러나 이것은 자연 동형을 정하는 것은 되지 않는다.그것은 직관적으로는 선택한다고 하는 조작이 필요하기 때문에여, 엄밀하게는 그러한 동형을 「어떻게」선택해도 「모든」선형사상과 가환이 되는 것을 기대할 수 없기 때문에이다.상세한 논의는(Mac Lane & Birkhoff 1999,§VI. 4)를 봐서.

(대상으로 한) 유한 차원 벡터 공간과 쌍대를 취하는 함수로부터 자연 동형을 정하는 것은 가능하다.그러나 거기에는, 우선 부가 구조를 넣고, 그리고 생각하는 사상을 「선형사상 모든 것」으로부터 「부가 구조까지 고려한 선형사상 모든 것」에 제한하는 것이 구할 수 있다.햇빛에 말하면, 각 벡터 공간 V에 그 쌍대공간에의 동형 사상η_V: V→V^*의 정보가 주어지고 있을 필요가 있다.바꾸어 말하면, 벡터 공간 V와 비퇴화2차 형식 b_V: V×V→K의 조를 대상으로 하고 생각하는 것이다.이것에 의해 렬자연 동형η이 정해진다.그리고 생각하는 사상을, 부가 구조로서 주어진 동형과 가환인 선형사상에 제한한다(쏘아 맞혀를η의 자연화에 제한한다).비퇴화2차 형식으로 말하면, 2차 형식을 불변으로 하는(b_V(T(v), T(w)) = b(v, w)) 것에 한정한다.이렇게 해 얻을 수 있던 권(비퇴화2차 형식을 갖춘 유한 차원 벡터 공간 모든 것을 대상으로 해, 주어진 비퇴화2차 형식을 불변으로 하는 선형사상 모든 것을 쏘아 맞혀로 하는 권)은, 만드는 방법으로부터, 항등 함수로부터 쌍 대 함수에의 자연 동형을 가진다( 각 공간은 그 쌍대에의 동형 사상을 갖고, 이 권이 쏘아 맞혀가 그것들과 가환이 되는 것은 가정 그 자체이다).그 의미로는 이 구성( 각 대상으로 변환을 덧붙이고, 그것들과 가환인 물건에 쏘아 맞혀를 제한한다)은 완전하게 일반으로, 게다가 벡터 공간의 어떠한 특정의 성질에 의존하는 것이 아니다.

이 권(비퇴화2차 형식을 갖춘 유한 차원 벡터 공간과 2차 형식까지 담아 선형인 변환의 권)에 대하고, 벡터 공간의 사이가 쏘아 맞혀의 쌍대는 전치사상과 동일시 할 수 있다.자주 기하학적 흥미를 이유로, 비퇴화2차 형식이 한층 더 추가의 성질을 가지는 것을 가정하고, 이 권을 부분권에 특수화 하는 것도 많다.추가의 성질로서는, 대칭성(직교 행렬도 참조), 대칭 한편 정정치(내적 공간 참조), 대칭 한편 반선형(엘 미트 공간), 왜대칭 한편 완전 등방적(신프레크틱 공간)등이 있다.이것들 모든 권에 대하고, 비퇴화2차 형식을 통해서 벡터 공간과 그 쌍대가 자연스럽게 동일시 된다.

텐솔・홈수반

「수반함수」를 참조

아벨군과 군 준동형의 권Ab를 생각한다.임의의 아벨군X, Y, Z에 대해서, 군의 동형

Hom(X□Y, Z)→Hom(X, Hom(Y, Z))

하지만 얻을 수 있다.이러한 동형은, 그것이 각변의 정하는 Ab×Ab^op×Ab^op→Ab 되는 두 개의 함수의 사이의 자연 변환을 정한다고 하는 의미로 「자연」이다.

이 자연성은 정식으로는 텐솔・홈수반으로 불려 수반함수대의 원형적인 예가 되어 있다.자연 변환이 수반함수와 동시에 생기는 것은 자주 있어, 실제로 수반함수는 어떤 종류의 자연 동형을 정한다.더하고, 임의의 수반함수대에서는 단위 및 여단위로 불리는 두 개의 자연 변환(일반적으로는 동형이 아니다)이 생긴다.

자연스럽지 않은 동형

자연 변환이라고 하는 개념은 권론적인 것으로, (감각적이게는) 권의 전체에 걸쳐서 일관한 대응을 주는 함수고의 특정의 사상이라고 한 것을 나타내고 있다.(권전체가 아니고) 개개의 대상간의 특정이 쏘아 맞혀(특히 동형)가, 약식적으로 「자연 동형」이라고 불리기도 한다.이것은 은근히 그것이 사실상권전체로 정의되어 함수고의 자연 변환을 정하는 것이 되어 있는 것을 의미하는 말투이다.이러한 직관을 정식화하는 것은, 권론의 발흥에 대하고 동기를 주는 요인이었다.대하고, 권전체로 정해지는 자연 변환에 확장할 수 없는 듯한, 특정의 대상간의 특정의 사상는 「자연스럽지 않은 동형」(unnatural isomorphism)이라고 부를 수 있다.대상 X와 함수G (간단이기 때문에 항등 함수로 한다) 및 동형 쏘아 맞혀η: X→G(X)가 주어졌을 때, 자연스럽지 않은 것의 증명은, 자기 동형 쏘아 맞혀 A: X→X로 동형η과 가환이 아닌(즉η□A≠A□η가 된다) 물건을 주는 고화 할 수 있으면 가장 용이하게 나타내 보일 수 있다.보다 강하고, X와 G(X)가 자연 동형이 아닌 것을(특정의 동형에 언급하는 일 없이) 나타내 보이려고 생각한다면, 「임의의」동형η에 대해서, 그것과 가환이 아닌 A가 존재하는 것을 나타낼 필요가 있다.경우에 따라서는 단일의 자기 동형 A가 후보가 되는 모든 동형η에 대해서 기대한 것이 되어 있기도 하지만, 그렇지 않은 경우에는 각 동형η마다 다른 자기 동형 Aη를 어떻게 구성하는지를 나타내지 않으면 안 된다.권의 이러한 쏘아 맞혀는 중요하고, 예를 들면 이러한 쏘아 맞혀가 항등 사 밖에 없으면, 임의의 렬자연 변환이 자연 변환이 된다.

이것은, 군론이나 가군의 이론에 있어 「있는 대상이 주어진 곧 화분해가 「자연스럽지 않다」혹은 「일의가 아니다」경우에, 곧 화분해를 보존하지 않는 자기 동형이 존재한다」라고 했던 적이 있는 것과 닮아 있다(보다 권론적이기는 하지만).

문헌에 따라서는,"="을(보통은 사상이) 정말로 동일한 것을 나타내기 위해서 취해 두고, 자연 동형에"□"를, 자연스럽지 않은 동형에"□"를 이용하는 일이 있다.

자연 변환의 연산

η: F→G 및ε: G→H를 함수F, G, H: C→D의 사이의 자연 변환으로 하면, 이것들을 합성해 자연 변환εη: F→H를 얻을 수 있다.이것은 성분 마다 생각하면 좋은((εη) _X :=ε_Xη_X).이 자연 변환의 「수직 합성」은 결합적이고 단위원을 가진다.고로 C→D 되는 모든 함수의 모임을 그 자체권이라고 볼 수 있다(후술의 함수권절을 참조).

자연 변환에는 「수평 합성」도 생각할 수 있다.η: F→G를 함수F, G: C→D간의 자연 변환,ε: J→K를 함수J, K: D→E간의 자연 변환으로 할 때, 함수의 합성으로부터 자연 변환의 합성ηε: JF→KG를 만들 수 있다.이 연산도 역시 결합적이고 단위원을 가진다.또 이 단위원은 수직 합성에 있어서의 단위원과 일치한다.즉, 이 수직 합성과 수평 합성이라고 하는 두 개의 연산은 공통되는 단위원을 통해서 서로 관련을 가진다.

η: F→G를 함수F, G: C→D간의 자연 변환, H: D→E를 다른 함수로 하면, 자연 변환 Hη: HF→HG가

${\displaystyle (H\eta )_{X}=H\eta _{X}}$ 

(이)라고 정하는 것으로 얻을 수 있다.대칭적으로, K: B→C를 함수로서 자연 변환ηK: FK→GK가

${\displaystyle (\eta K)_{X}=\eta _{K(X)}}$ 

에 의해서 정해진다.

함수권

자세한 것은 「함수권」을 참조

C를 임의의 권, I를 작은 권으로 하면, I로부터 C에의 모든 함수를 대상으로 해, 그러한 함수고의 모든 자연 변환을 쏘아 맞혀라고 해도 개함수권C^I를 구성할 수 있다.이것이 권을 이루는 것은, 임의의 함수F에 대해서 항등 자연 변환 1 _F : F→F (이것은 각 대상 X에 F(X) 상의항등 쏘아 맞혀를 대응시킨다))가 존재하는 것으로, 두 개의 자연 변환의 합성(상술의 「수직 합성」)이 또 자연 변환이 되는 것에 의한다.

함수권C^I에 있어서의 동형이란, 자연 동형와 다름없다.즉, 자연 변환η: F→G가 자연 동형인 것으로,ηε= 1 _G 한편εη= 1 _F 되는 자연 변환ε: G→F가 존재하는 것으로는 동치이다.

I가 유향그래프로부터 생길 때의 함수권C^I는 특히 유용하다.예를 들면 I가 유향그래프 • → • (이)가 주는 권 때, C^I는 C의 모든 쏘아 맞혀를 대상으로 해, C^I에 있어서의 두 개의 대상φ: U→V와ψ: X→Y의 사이가 쏘아 맞혀는 C에 있어서의 쏘아 맞혀 f: U→X 및 g: V→Y의 대로 「구형가환」즉ψf = gφ를 채우는 것으로 주어진다.

보다 일반적으로2-권Cat가

• 0-포(대상): 작은 권,
• 1-포(쏘아 맞혀): 두 개의 대상 C, D에 대해서 C로부터 D에의 함수
• 2-포: 두 개의1-포(함수) F: C→D, G: C→D에 대해서 F로부터 G에의 자연 변환

되는 것으로서 구성할 수 있다.

수평 및 수직 합성은 먼저 말한 자연 변환동안의 합성이다.함수권C^I는, 따라서(작은 권인지 어떤지는 접어두면) 단지 이 권에 있어서의 홈권이다.

요네다의 보제

자세한 것은 「요네다의 보제」를 참조

X를 국소적으로 작은 권C의 대상으로 하면, 대응 Y□Hom_C(X, Y)로부터 공변함수F_X: C→Set가 정해진다.이 함수는 표현 가능함수로 불린다(보다 일반적으로, 적당하게 선택한 X에 대해서 이 함수와 자연 동형인 임의의 함수를 표현 가능함수라고 부른다).표현 가능함수로부터 임의의 함수F: C→Set에의 자연 변환은 완전하게 알고 있어 용이하게 기술할 수 있다(요네다의 보제).

역사에 관한 주의

이 마디는 검증 가능한 참고 문헌이나 출전이 전혀 나타나지 않은지, 불충분합니다.출전을 추가해 기사의 신뢰성 향상에 협력해 주십시오.(2008년 10월)

권론의 시조의 한 사람으로 있는 마크레인은 「권은 함수의 연구를 위해서 고안 된 것은 아닌, 그것은 자연 변환을 연구하기 위한의 것이다」("I didn't invent categories to study functors; I invented them to study natural transformations. ")(이)라고 하는 주의를 주고 있는[³][^{요점 페이지 번호}].확실히 군의 연구가 군 준동형을 조사하는 것을 빼서는 만전이 아닌 것과 같이, 권의 연구에 함수의 연구는 불가결하다가, 마크레인의 말은 함수의 연구 그 자체에 자연 변환의 연구가 없으면 안 되는 것인 것부터 나온 것 인 것인다.

마크레인의 주의는 동성애 연구학의 공리론의 문맥 (로) 이루어진 것이었다.몇개의 다른 방법으로 구성되는 동성애 연구학이 서로 일치하는 것을 나타내 보일 수 있는(예를 들면, 단체적복체의 경우에, 직접 정의되는 동성애 연구학군은, 특이 동성애 연구학군과 동형이 된다) 것이지만, 동성애 연구학군이 대상간이 쏘아 맞혀와 어떻게 양립하는지, 어떻게 해 두 개의 동치인 동성애 연구학론이 동일한 동성애 연구학군 뿐만 아니라 그러한 군의 사이에 동일한 쏘아 맞혀도 가지는가 한 것 같은 (일)것은, 자연 변환의 말을 이용하지 않고 나타내는 것은 용이한 일이 아니다.

각주

1. ^ Mac Lane 1998, p. 16.
2. ^ Mac Lane & Birkhoff 1999,§VI. 4.
3. ^ Mac Lane 1998,§I. 4.

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. MR 1712872. Zbl 0906.18001. //books.google.com/books?id=MXboNPdTv7QC. 
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3rd ed.), AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-1646-2, //books.google.com/books?id=L6FENd8GHIUC .

관련 항목

• 초자연 변환(Extranatural transformation)

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