마육각진
마육각진(마로나 복권응)은, 매직 스퀘어의 육각형판으로, 좌사째・우로 비스듬히・옆의 어느 방향의 화도 동일해지도록(듯이) 1으로부터 시작되는 연속한 숫자를 적용시킨 것이다.
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크기 1 화= 1 | 크기 3 화= 38 |
마육각진은, 크기 1의 것과 크기 3의 것의 두 개 밖에 존재하지 않는다.또, 경상・대칭인 물건을 제외함과 동시에 1 종류 밖에 숫자의 적용시키는 방법이 존재하지 않는 것이 알려져 있다.
마육각진은 많은 사람에 의해서 재발견되고 있다.현재 판명되어 있는 가장 낡은 발견자는 에른스트・폰・핫세르베르그로, 1887년에 발표하고 있다.
증명
마육각진의 크기가 1으로 3뿐이다고 하는 증명을 이하에 나타낸다.
우선, 각 렬의 화를 M로 한다.1변이 n인 육각형에 들어가는 숫자는 1~3 n(n-1)+1이므로, 들어가는 숫자의 합계 s는
된다.열의 수는 2 n-1이므로 M는
그리고 나타내진다.이 식을 변형하면
이 식의 양변은 정수이기 위해,5/(2 n-1)는 정수가 아니면 안된다.이것이 정수가 되는 것은 2 n-1이 5의 약수일 때이다.따라서 n=1, 3이다.
큰 육각진
마육각진은 크기 1으로 3의 것 밖에 만들 수 없지만, 넣는 숫자의 조건을 완화하고, 반드시 1으로부터 시작되는 것은 아닌 연속하는 정수를 적용시키기로 하면, 게다가 큰 것을 만들 수 있다.
Zahray Arsen는, 이 조건의 변경에 의해 크기 4이상의 육각진을 작성하다.이하에 크기 4,5의 예를 든다.
크기 4의 것은 3에서 39까지의 수를 이용해 화를 111으로 하고 있다.크기 5의 것은 6에서 66까지의 수를 이용해 화를 244로 하고 있다.
2006년 3월에 Arsen는 그림과 같은 크기 7의 것을 발표하고 있다.이 그림은 2에서 128까지의 수를 이용해 각 렬의 화를 635로 하고 있다.
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