항진식

항진식(이렇게 하지 않아 깔아, 동의어 반복, 영: tautology, 희랍어의ταυτο「같다」에 유래)과는 논리학의 용어로, 「a라면 a이다(a→a)」 「a이다, 또는, a가 아니다(a∨￢a)」와 같이, 거기에 포함되는 명제 변수의 진리치, 혹은 해석에 관련되지 않고 항상 진이 되는 논리식이다.

정의와 예

여기에서는 고전 명제 논리에 있어서의 항진식의 정의를 말한다.${\displaystyle \mathrm {Val} }$  (을)를 명제 변수의 전체로 한다.${\displaystyle f:\mathrm {Val} \to \{\top ,\bot \}}$  되는 사상, 즉 명제 변수에의 진리치 할당을 생각한다.${\displaystyle \top }$ (은)는 항진,${\displaystyle \bot }$ (은)는 모순.다음 같게 해 ${\displaystyle f}$  의 시역을 논리식의 전체 ${\displaystyle \mathrm {Fml} }$  에 확장한다(우변의 ${\displaystyle \wedge \vee \neg \to }$  (은)는 논리 기호는 아니고 ${\displaystyle \{\top ,\bot \}}$  위의 연산이다)：

• ${\displaystyle f(\alpha \wedge \beta ):=f(\alpha )\wedge f(\beta )}$ 
• ${\displaystyle f(\alpha \vee \beta ):=f(\alpha )\vee f(\beta )}$ 
• ${\displaystyle f(\neg \alpha ):=\neg f(\alpha )}$ 
• ${\displaystyle f(\alpha \to \beta ):=f(\alpha )\to f(\beta )}$ 

이와 같이 해 얻을 수 있는 사상 ${\displaystyle f:\mathrm {Fml} \to \{\top ,\bot \}}$  (을)를 부르는 값이라고 한다.임의의 부르는 값 ${\displaystyle f}$  에 대해서 ${\displaystyle f(\alpha )=\top }$  될 때,${\displaystyle \alpha }$  (을)를 항진식이라고 한다.

고전 논리 위에서, 다음 논리식은 항진식이다.

• ${\displaystyle \neg (\alpha \wedge \neg \alpha )}$ 
• ${\displaystyle \alpha \vee \neg \alpha }$ 
• ${\displaystyle (\alpha \to \beta )\Leftrightarrow (\neg \beta \to \neg \alpha )}$ 
• ${\displaystyle \neg \neg \alpha \Leftrightarrow \alpha }$ 
• ${\displaystyle \neg (\alpha \wedge \beta )\Leftrightarrow (\neg \alpha \vee \neg \beta )}$ 
• ${\displaystyle ((\alpha \to \beta )\wedge (\beta \to \gamma ))\to (\alpha \to \gamma )}$ 

항진식인 확인

어느 식이 항진식일지를 확인하는 것은 명제 논리의 기본이다.명제 변수가 n개존재하는 경우 2 ⁿ그대로의 케이스를 조사하면 좋다. 예를 들면 ${\displaystyle \alpha \to (\beta \to \alpha )}$  이면 4방법의 케이스를 조사하면 좋다.

${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \beta \to \alpha }$	${\displaystyle \alpha \to (\beta \to \alpha )}$
T	T	T	T
T	F	T	T
F	T	F	T
F	F	T	T

다음 같게 하고, 대수적인 식 변형에 의해도 확인할 수 있다.

${\displaystyle \alpha \to (\beta \to \alpha )=\neg \alpha \vee (\neg \beta \vee \alpha )=(\alpha \vee \neg \alpha )\vee \neg \beta =\top \vee \neg \beta =\top }$ 

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