쿠레브슈□골단 계수

양자 역학에 대해 쿠레브슈□골단 계수(CG계수, 영: Clebsch□Gordan coefficients) 또는 위그나 계수는, 각운동량의 합성으로 생기는 계수의 조이다.2개의 각운동량의 화에 의해서 할 수 있던 각운동량의 고유 상태를 얻기 위해서 필요하다.

보다 수학적으로는 CG계수는 표현론, 특히 콤팩트 리군에 대하고, 기약표현의 수와 타입을 추상적으로 알고 있어 기약표현의 텐솔적을 기약표현에 곧 화분해하는 경우에 사용된다. 불변 이론으로 같은 문제에 대해 연구한 독일의 물리학자 알프레드・쿠레브슈(1833□1872)와 폴・골단(1837□1912)을 기념하여 명명되었다.

고전역학으로는, CG계수나 SO(3) 군에게 관련하는 것은 구면 조화 함수의 곱셈에 의해서 더 직접적으로 정의된다.양자 역학적인 스핀의 도입은 이 어프로치로부터 실시할 수 있다.

쿠레브슈□골단 계수는 전각 운동량 고유 상태를 결합하고 있지 않는 텐솔적기저로 전개했을 때의 전개 계수이다.이 정의의 의미는 각운동량 연산자, 각운동량 고유 상태, 각운동량 고유 상태의 텐솔적을 정의하는 것으로 분명해진다.

각운동량의 형식적인 정의로부터, 쿠레브슈□골단 계수에 있어서의 점화식을 알 수 있다.계수의 구체적인 수치를 정하기 위해서는, 위상칙을 선택이다 없으면 안 된다.

이하의 정식화로는 디 락의 브랙킷 기법을 사용한다.또 위상칙으로서 콘돈□쇼트레이의 위상칙을 이용한다.

목차

정의

전각 운동량의 고유 상태는, 커플링 하지 않는 기저의 완전성 관계를 사용해 전개할 수 있다.

${\displaystyle |(j_{1}j_{2}) JM\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}Ysum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}Yrangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle }$ 

이 전개 계수${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle }$ (을)를 쿠레브슈□골단 계수라고 부른다.

연산자

${\displaystyle {\hat {\textrm {J}}}_{z}={\textrm {j}}_{z}\otimes 1+1\otimes {\textrm {j}}_{z}}$ 

(을)를 정의식의 양변에 작용시키면, 쿠레브슈□골단 계수는

${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}.\,}$ 

의 때만 0이 되지 않는다.

특별한 경우

${\displaystyle J=0}$ 에 있어서의 쿠레브슈□골단 계수는 이하로 주어진다.

${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|00\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},-m_{2}}{\frac {(-1)^{j_{1}-m_{1}}}{\sqrt {2j_{2}+1}}}}$ 

${\displaystyle J=j_{1}+j_{2}}$ (와)과${\displaystyle M=J}$ 에 있어서의 쿠레브슈□골단 계수는 이하로 주어진다.

${\displaystyle \langle j_{1}j_{1}j_{2}j_{2}|(j_{1}+j_{2})(j_{1}+j_{2})\rangle =1}$ 

${\displaystyle j_{1}=j_{2}=J/2}$ (와)과${\displaystyle m_{2}=-m_{1}}$ 에 있어서의 쿠레브슈□골단 계수는 이하로 주어진다.

${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{1}-m_{1}|2j_{1}0\rangle ={\frac {(2j_{1})!^{2}}{(j_{1}-m_{1})!(j_{1}+m_{1})!{\sqrt {(4j_{1})!}}}}}$ 

${\displaystyle j_{1}=j_{2}=m_{1}=-m_{2}}$ 에 있어서의 쿠레브슈□골단 계수는 이하로 주어진다.

${\displaystyle \langle j_{1}j_{1}j_{1}-j_{1}|J0\rangle =(2j_{1})!{\sqrt {\frac {2J+1}{(J+2j_{1}+1)!(2j_{1}-J)!}}}}$ 

구체적인 형태

쿠레브슈□골단 계수의 구체적인 형태와 수치는 쿠레브슈□골단 계수의 겉(표)를 참조.

각운동량 연산자

각운동량 연산자는, 이하의 교환 관계를 채우는 엘 미트 연산자${\displaystyle {\hat {j}}_{x}}$ ,${\displaystyle {\hat {j}}_{y}}$ ,${\displaystyle {\hat {j}}_{z}}$ 그리고 정의된다.

${\displaystyle [{\hat {j}}_{k},{\hat {j}}_{l}]={\hat {j}}_{k}{\hat {j}}_{l}-{\hat {j}}_{l}{\hat {j}}_{k}=i\hbar \sum _{m}\varepsilon _{klm}{\hat {j}}_{m}\quad \quad (k,l,m\in (x,y,z))}$ 

여기서${\displaystyle \varepsilon _{klm}}$ (은)는 에딘 톤의 이푸시롱이다. 3개의 연산자를 맞춘 것을 「벡터 연산자」라고 부른다.

${\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}=[{\hat {j}}_{x},{\hat {j}}_{y},{\hat {j}}_{z}]}$ 

이 생각을 발전시키면,${\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}}$ 의 자기 자신의 내적의 연산자를 정의할 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {\hat {j}} ^{2}={\hat {j}}_{x}^{2}+{\hat {j}}_{y}^{2}+{\hat {j}}_{z}^{2}\ }$ 

이것은 카슈미르 연산자이다.

또 「상승 연산자」(${\displaystyle {\hat {j}}_{+}}$ )(와)과 「하강 연산자」(${\displaystyle {\hat {j}}_{-}}$ )(을)를 이하와 같이 정의한다.

${\displaystyle {\hat {j_{\pm }}}={\hat {j_{x}}}\pm i{\hat {j_{y}}}\ }$ 

각운동량 연산자의 동시 고유 벡터

상기의 정의로부터 알 수 있듯이,${\displaystyle \mathbf {\hat {j}} ^{2}}$ 하${\displaystyle {\hat {j}}_{x}}$ ,${\displaystyle {\hat {j}}_{y}}$ ,${\displaystyle {\hat {j}}_{z}}$ (와)과 교환한다.

${\displaystyle [\mathbf {\hat {j}} ^{2},{\hat {j}}_{k}]=0\quad \quad (k=x,y,z)}$ 

2살의 엘 미트 연산자가 교환하는 경우, 동시 고유 벡터가 존재한다. ${\displaystyle \mathbf {\hat {j}} ^{2}}$ (와)과${\displaystyle {\hat {j}}_{z}}$ (은)는 교환하므로, 그러한 동시 고유 벡터를${\displaystyle |j\, m\rangle }$ (으)로 하면 이하를 채운다.

${\displaystyle \mathbf {\hat {j}} ^{2}|j\,m\rangle =\hbar ^{2}j(j+1)|j\,m\rangle \quad \quad (j=0,{\frac {1}{2}},1,{\frac {3}{2}},2,\ldots )}$ 

${\displaystyle {\hat {j}}_{z}|j\,m\rangle =\hbar m|j\,m\rangle \quad \quad \quad \quad \quad (m=-j,-j+1,\ldots ,j.)}$ 

${\displaystyle m\ }$ 의 값은 승강 연산자로 변화한다.

${\displaystyle {\hat {j}}_{\pm }|j\,m\rangle =C_{\pm }(j,m)|j\,m\pm 1\rangle }$ 

여기서

${\displaystyle C_{\pm }(j,m)={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}={\sqrt {(j\mp m)(j\pm m+1)}}}$ 

위상 인자는${\displaystyle C_{\pm }(j,m)}$ 의 정의에 포함되어 있다.위상칙은 콘돈쇼트레이의 위상칙에 따라서 있다.

각운동량 연산자는 엘 미트 연산자이므로 고유 상태(고유 벡터)는 완전계를 이룬다.고유 상태는 이하와 같이 규격 직행화 되고 있다고 한다.

${\displaystyle \langle j_{1}\,m_{1}|j_{2}\,m_{2}\rangle =\delta _{j_{1},j_{2}}\delta _{m_{1},m_{2}}}$ 

텐솔적공간

${\displaystyle V_{1}}$ (을)를 이하 상태로 쳐진다${\displaystyle 2j_{1}+1}$ 차원 벡터 공간으로 한다.

${\displaystyle |j_{1}m_{1}Yrangle \quad (m_{1}=-j_{1}, -j_{1}+1, \ldots j_{1})}$ 

${\displaystyle V_{2}}$ (을)를 이하 상태로 쳐진다${\displaystyle 2j_{2}+1}$ 차원 벡터 공간으로 한다.

${\displaystyle |j_{2}m_{2}Yrangle \quad (m_{2}=-j_{2}, -j_{2}+1, \ldots j_{2})}$ 

이러한 공간의 텐솔적${\displaystyle V_{12}\equiv V_{1}\otimes V_{2}}$ 하${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$ 차원의 커플링 하고 있지 않는 기저를 가진다.

${\displaystyle |j_{1}m_{1}Yrangle |j_{2}m_{2}Yrangle \equiv |j_{1}m_{1}Yrangle \otimes |j_{2}m_{2}Yrangle \quad (m_{1}=-j_{1}, \ldots j_{1}, \quad m_{2}=-j_{2}, \ldots j_{2})}$ 

${\displaystyle V_{12}}$ 그리고 작용하는 각운동량 연산자는 이하로 정의된다.

${\displaystyle ({\textrm {j}}_{i}\otimes 1)|j_{1}m_{1}Yrangle |j_{2}m_{2}Yrangle \equiv (j_{i}|j_{1}m_{1}Yrangle )\otimes |j_{2}m_{2}Yrangle }$ 

${\displaystyle (1Yotimes {\textrm {j}}_{i})|j_{1}m_{1}Yrangle |j_{2}m_{2}Yrangle \equiv |j_{1}m_{1}Yrangle \otimes j_{i}|j_{2}m_{2}Yrangle \quad \quad (i=x, y, z)}$ 

전각 운동량 연산자는 이하로 정의된다.

${\displaystyle {\hat {\textrm {J}}}_{i}\equiv {\textrm {j}}_{i}\otimes 1+1\otimes {\textrm {j}}_{i}\quad \quad (i=x,y,z.)}$ 

전각 운동량 연산자는 이하의 교환 관계를 채운다.

${\displaystyle [{\hat {\textrm {J}}}_{k},{\hat {\textrm {J}}}_{l}]=i\hbar \epsilon _{klm}{\hat {\textrm {J}}}_{m}\quad \quad (k,l,m\in (x,y,z))}$ 

따라서 전각 운동량의 동시 고유 상태가 존재한다.

${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}^{2}|(j_{1}j_{2})JM\rangle =\hbar ^{2}J(J+1)|(j_{1}j_{2})JM\rangle }$ 

${\displaystyle {\hat {\textrm {J}}}_{z}|(j_{1}j_{2})JM\rangle =\hbar M|(j_{1}j_{2})JM\rangle \quad \quad \quad (M=-J,\ldots ,J)}$ 

이것은${\displaystyle J}$ 하지만 이하를 채우지 않으면 안 되는 것에 유래한다.

${\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2}}$ 

전각 운동량의 동시 고유 상태의 총수는${\displaystyle V_{12}}$ 의 차원과 동일하다.

${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}(2J+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$ 

전각 운동량의 동시 고유 상태는${\displaystyle V_{12}}$ 의 정규 직교 기저를 만든다.

${\displaystyle \langle J_{1}M_{1}|J_{2}M_{2}\rangle =\delta _{J_{1}J_{2}}\delta _{M_{1}M_{2}}}$ 

점화식

점화식은 쥬리어・라카에 의해서 발견되었다. 이하로 정의되는 전각 운동량 승강 연산자를 쿠레브슈□골단 계수의 정의식의 양변에 작용시킨다.

${\displaystyle {\hat {\textrm {J}}}_{\pm }={\textrm {j}}_{\pm }\otimes 1+1\otimes {\textrm {j}}_{\pm }}$ 

좌변은,

${\displaystyle {\hat {\textrm {J}}}_{\pm }|(j_{1}j_{2}) JM\rangle =C_{\pm }(J, M)|(j_{1}j_{2}) JM\pm 1Yrangle =C_{\pm }(J, M)\sum _{m_{1}m_{2}}|j_{1}m_{1}Yrangle |j_{2}m_{2}Yrangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\pm 1Yrangle }$ 

우변은,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\textrm {J}}}_{\pm }&\sum _{m_{1}m_{2}}|j_{1}m_{1}Yrangle |j_{2}m_{2}Yrangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \\&=\sum _{m_{1}m_{2}}Yleft[C_{\pm }(j_{1}, m_{1})|j_{1}m_{1}Ypm 1Yrangle |j_{2}m_{2}Yrangle +C_{\pm }(j_{2}, m_{2})|j_{1}m_{1}Yrangle |j_{2}m_{2}Ypm 1Yrangle \right]\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \\&=\sum _{m_{1}m_{2}}|j_{1}m_{1}Yrangle |j_{2}m_{2}Yrangle \left[C_{\pm }(j_{1}, m_{1}Ymp 1)\langle j_{1}{m_{1}Ymp 1}j_{2}m_{2}|JM\rangle +C_{\pm }(j_{2}, m_{2}Ymp 1)\langle j_{1}m_{1}j_{2}{m_{2}Ymp 1}|JM\rangle \right]\end{aligned}}}$ 

여기서

${\displaystyle C_{\pm }(j,m)={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}}$ 

따라서 쿠레브슈□골단 계수에 대한 점화식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle C_{\pm }(J,M)\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\pm 1\rangle =C_{\pm }(j_{1},m_{1}\mp 1)\langle j_{1}{m_{1}\mp 1}j_{2}m_{2}|JM\rangle +C_{\pm }(j_{2},m_{2}\mp 1)\langle j_{1}m_{1}j_{2}{m_{2}\mp 1}|JM\rangle }$ 

점화식의${\displaystyle C_{+}}$ 에 붙어${\displaystyle M=J}$ 그럼,

${\displaystyle 0=C_{+}(j_{1},m_{1}-1)\langle j_{1}{m_{1}-1}j_{2}m_{2}|JJ\rangle +C_{+}(j_{2},m_{2}-1)\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}-1|JJ\rangle }$ 

콘돈쇼트레이의 위상칙에 있어서의 계수${\displaystyle \langle j_{1}j_{1}j_{2}J-j_{1}|JJ\rangle }$ (은)는 정의 실수이다. 마지막 방정식으로는, 다른 모든 쿠레브슈□골단 계수${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JJ\rangle }$ 하지만 있다. 규격화는 상태${\displaystyle |(j_{1}j_{2}) JJ\rangle }$ 의 법칙에 상당하는, 제곱의 합계가 1이 아니면 안된다고 하는 조건으로부터 행해진다.

점화식의${\displaystyle C_{-}}$ 하${\displaystyle M=J-1}$ 의 모든 쿠레브슈□골단 계수를 찾아내기 위해서 사용된다. 이 식을 반복해 사용하면 모든 계수를 얻을 수 있다. CG계수를 얻는 수속에 의해서(콘돈□쇼트레이의 위상칙에 대해) CG계수가 모두 실수인 것을 알 수 있다.

직교 관계

이러한 일은, 대신의 표현을 도입하는 것으로 간결하게 쓸 수 있다.

${\displaystyle \langle JM|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle }$ 

제일의 직교 관계는

${\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \langle JM|j_{1}m_{1}'j_{2}m_{2}'\rangle =\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{1}m_{1}'j_{2}m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}}$ 

(완전성 관계${\displaystyle 1\equiv \sum _{x}|x\rangle \langle x|}$ (을)를 이용했다)

제2의 직교 관계는

${\displaystyle \sum _{m_{1}m_{2}}\langle JM|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|J'M'\rangle =\langle JM|J'M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}}$ 

대칭성

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,{-m_{1}}j_{2}\,{-m_{2}}|J\,{-M}\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}m_{2}j_{1}m_{1}|JM\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}m_{1}J\,{-M}|j_{2}\,{-m_{2}}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,{-M}j_{2}m_{2}|j_{1}\,{-m_{1}}\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle JMj_{1}\,{-m_{1}}|j_{2}m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,{-m_{2}}JM|j_{1}m_{1}\rangle \end{aligned}}}$ 

이러한 관계를 얻는 편리한 방법은, 쿠레브슈□골단 계수를 이하의 식에서 3 j기호로 변환하는 것이다. 3 j기호의 대칭성은 보다 간결하다.

양자수가 정수 또는 반정수가 될 수 있으므로, 위상 인자를 간단하게 하는 경우는 주의가 필요하다. 예를 들면${\displaystyle (-1)^{2j}}$ (은)는 정수${\displaystyle j}$ 그리고 1에 동일하고, 반정수${\displaystyle j}$ 그리고-1에 동일하다. 그러나 이하의 관계는, 어느 쪽의 경우에서도 유효하다.

${\displaystyle (-1)^{4j}=(-1)^{2(j-m)}=1\ }$ 

같은 쿠레브슈□골단 계수에 나타난다${\displaystyle j_{1}}$ ,${\displaystyle j_{2},}$ ,${\displaystyle J}$ 그럼

${\displaystyle (-1)^{2(j_{1}+j_{2}+J)}=(-1)^{2(m_{1}+m_{2}+M)}=1}$ 

3-jm기호와의 관계

쿠레브슈□골단 계수는, 보다 편리한 대칭 관계를 가지는 3-jm기호와 이하와 같은 관계가 있다.

${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle =(-1)^{j_{1}-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}}$ 

위그나의 D행렬과의 관계

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \beta d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma D_{MK}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{\ast }D_{m_{1}k_{1}}^{j_{1}}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m_{2}k_{2}}^{j_{2}}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {8\pi ^{2}}{2J+1}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \langle j_{1}k_{1}j_{2}k_{2}|JK\rangle }$ 

그 외의 성질

${\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j-m}\langle jmj{-m}|J0\rangle ={\sqrt {2j+1}}~\delta _{J0}}$ 

SU(N) 쿠레브슈□골단 계수

임의의 군과 표현으로의 쿠레브슈□골단 계수는 알려지지 않았다. 그러나 특수 유니타리군으로의 쿠레브슈□골단 계수를 얻는 알고리즘이 만들어져 있다. ^[1] [1]을 참조.

관련 항목

• 3 j기호
• 라카의 W계수
• 6 j기호
• 9-j기호
• 구면 조화 함수
• 르잘돌의 배다항식
• 각운동량
• 각운동량의 합성
• 전각 운동량 양자수
• 방위 양자수
• 쿠레브슈□골단 계수의 겉(표)
• 위그나의 D행렬

참고서

• Biedenharn, L. C.; Louck, J. D. (1981). Angular Momentum in Quantum Physics. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0201135078. 
• Brink, D. M.; Satchler, G. R. (1993). "Ch. 2". Angular Momentum (3rd ed.). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-851759-9. 
• Condon, Edward U.; Shortley, G. H. (1970). "Ch. 3". The Theory of Atomic Spectra. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09209-4. 
• Edmonds, A. R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-07912-9. 
• Messiah, Albert (1981). "Ch. XIII". Quantum Mechanics (Volume II). New York: North Holland Publishing. ISBN 0-7204-0045-7. 
• Zare, Richard N. (1988). "Ch. 2". Angular Momentum. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-85892-7. 

참고 문헌

1. ^ Alex, A.; M. Kalus, A. Huckleberry, and J. von Delft (February 2011). "A numerical algorithm for the explicit calculation of SU(N) and SL(N, C) Clebsch□Gordan coefficients". J. Math. Phys. 82: 023507. Bibcode 2011 JMP....52 b3507A. doi:10.1063/1. 3521562. http://link.aip.org/link/doi/10. 1063/1. 3521562 2011년 4월 13일 열람.. 

외부 링크

• PDF Table of Clebsch□Gordan Coefficients, Spherical Harmonics, and d-Functions
• Clebsch□Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator
• Downloadable Clebsch□Gordan Coefficient Calculator for Mac and Windows
• Web interface for tabulating SU(N) Clebsch□Gordan coefficients

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