케이 리=딕슨의 구성법

수학에 있어서의 케이 리=딕슨의 구성법(케이 리・딕슨의 공정 편)은, 아서・케이리와 레오나드・E・딕슨을 기념하여 이름 붙여진, 실수 전체가 이루는 체 상의 다원환의 계열을 주는 방법으로, 각 단계의 다원환은 직전의 것의 2배의 차원을 가진다.이 방법으로 주어지는 각 단계의 다원환은 케이 리=딕슨 대수로서 알려진다.이것들은 복소수를 확장하기 때문에, 초복소수계가 되고 있다.

이러한 대수는 모두 대합(또는 공역[¹])을 가져, 어느 원과 그 공역원과의 적(경우에 따라서는 그 평방근)은 법칙으로 불린다.

최초의 수단 층에서는, 다음 대수에 진행될 때 마다, 특징적인 대수적 성질을 하나 하나 잃어 간다.

보다 일반적으로는, 케이 리=딕슨의 구성법이란, 임의의 대합 다해 대수계를 취해 배의 차원의 대합 다해 대수계로 하는 것이다.

목차

순서대로서의 복소수

복소수는, 실수 a, b의 순서대(a, b)로서 쓸 수 있고, 성분마다의 가법과

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)}$

그리고 정의되는 곱셈을 가진다.제2 성분이 영인 복소수는 실수에 대응하는(복소수(a, 0)는, 실수 a이다).

하나 더, 복소수상에 정의되는 중요한 연산에 공역이 있다.(a, b)의 공역(a, b)□은

${\displaystyle (a,b)^{*}=(a,-b)}$

그리고 주어진다.이 공역은

${\displaystyle (a,b)^{*}(a,b)=(aa+bb,ab-ba)=(a^{2}+b^{2},0)}$

하지만 비부의 실수이다고 하는 성질을 가지고 있다.이하의 방법으로, 공역은 법칙을 정의해, 복소수의 전체는 실수체상의 법칙선형공간이 된다.복소수 z의 법칙은,

${\displaystyle |z|=(z^{*}z)^{1/2}}$

그리고 주어진다.한층 더 영이 아닌 복소수 z에 대해서, 공역은 곱셈역원

${\displaystyle z^{-1}={z^{*} \over |z|^{2}}}$

(을)를 준다.

2개의 독립한 실수로부터 되니까, 복소수의 전체는 실수체상의 2 차원 벡터 공간을 이룬다.

차원이 비싸진 것의 대상으로서 자신이 자기 자신과 공역이 된다고 하는 실수가 가지고 있던 대수적 성질을, 복소수는 잃었다고도 말할 수 있다.

4원 몇

구성법의 다음 단계는, 곱셈과 공역의 일반화이다.

복소수 a와 b의 순서대(a, b)에 대해서, 곱셈을

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})}$

그리고 정의한다.적의 정의식에는 조금 다른 형태의 것을 이용하는 경우가 있는[²]가, 결과적으로 얻을 수 있는 구성법은, 기저의 부호의 차이를 제외하고 지금의 것과 일치하는 구조를 이끈다.

적의 인자의 차례가 여기에서는 조금 기묘하게 비칠지도 모르지만, 이것은 다음 단계에서 중요한 의미를 가진다.(a, b)의 공역(a, b)□을

${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b)}$

그리고 정의한다.

이러한 연산은 대응하는 복소수로의 연산의 직접적인 확장이 되어 있다.실제, a와 b를 복소수안의 실수의 부분 집합으로부터 취하면, 정의식에 있어서의 공역이 외관상은 아무것도 하지 않는 것과 같다(항등변환이 된다)로부터, 복소수로의 연산과 같은 의미가 된다.

각 원래는 그 공역원과의 적

${\displaystyle (a,b)^{*}(a,b)=(a^{*},-b)(a,b)=(a^{*}a+b^{*}b,ba^{*}-ba^{*})=(|a|^{2}+|b|^{2},0)}$

하지만 비부의 실수가 된다.전과 같이, 공역은 각 순서대에 대해 법칙과 역원을 내린다.위에서 말한 것 같은 의미에 대하고, 이러한 순서대의 전체는, 어딘지 모르게 실수와 같은 대수를 내린다.이것이, 1843년에 해밀턴이 찾아낸 4원수이다.

4원수는 2개의 독립한 복소수로부터 되므로, 실수체상의 4 차원 벡터 공간을 이룬다.

그러나, 4원수의 곱셈은 실수의 곱셈과 완전하게 같지 않고, 가환은 되지 않는다.즉, p, q가 4원수라면 pq = qp는 일반적으로는 진이 아니다.

8원 몇

이 이후, 모든 단계는 외관상 같은 것이 된다.

이번은, 4원수p 및 q의 순서대(p, q)를 만들고, 정확히 4원수로 한 것과 같게, 곱셈과 공역을

${\displaystyle (p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,sp+qr^{*})}$

그리고 정의한다.

그러나, 주의하지 않으면 안 되는 것은, 4원수의 전체로는 교환법칙은 성립되지 않기 때문에, 이 곱셈의 정의식에 대해 적의 인자의 차례가 중요한 의미를 갖는다고 하는 것이다.정의식의 마지막 인자가 qr□는 아니고 r□q였다면, 그러한 정의식의 아래에서, 각 원과 그 공역원과의 적이 실수가 되는 것이 이끌 수 없는[³].

전과 완전하게 같은 이유로, 공역연산은 법칙과 임의의 영이 아닌 바탕으로 붙어 곱셈역원을 내린다.

이 대수는 그레브스에 의해서 1843년에는 발견되고 있던 것이지만, 8원 수많은 있어는 「케이 리수」라고 불리고 있다.

8원수는 2개의 독립한 4원수로부터 되므로, 실수체상의 8 차원 벡터 공간을 이룬다.

8원수의 곱셈은, 4원수의 그것보다 한층 더 기묘한 것이 되어 있다.비가환일 뿐만 아니라, 결합적이지도 않다.즉, p, q, r가 8원수라면,

${\displaystyle (pq)r=p(qr)}$

(은)는 일반적으로는 진이 아니다.

이후의 대수계에 대해

8원수의 직후의 대수는 16원수로 불린다.이것은 멱결합성으로 불리는 대수적 성질은 남기고 있는(즉 s가 16원수라면 sⁿ s^m = s^n+m가 성립된다)이, 교대 대수이기 위한 성질에는 만타두, 그러므로 합성 대수가 되는 것은 할 수 없다.

케이 리=딕슨의 구성법은 한없이 실행할 수 있어 각 단계에서는 직전의 단계의 대수의 배의 차원을 가지는 멱결합 대수를 준다.

일반 케이 리=딕슨 구성

Albert (1942, p. 171)은 조금 일반화하고, 대합환A(즉(xy)* = y^*x^*를 채우는 연산□을 가지는 다원환)에 대한(벡터 공간으로서의 곧 화) B = A□A 위에 적과 대합을

${\displaystyle (p,q)(r,s)=(pr-\gamma s^{*}q,sp+qr^{*})\,}$

${\displaystyle (p,q)^{*}=(p^{*},-q)\ }$

그리고 정의하는 구성법을 주고 있다.여기서γ는, 곱셈□및, 임의의 바탕으로 밤 왼쪽 또는 오른쪽에서의 적과 가환인 가법적 사상이다(γ는 임의의 실수로부터 선택해도 좋지만, 얻을 수 있는 대수는-1, 0, 1의 어느쪽이든을 선택해 얻을 수 있는 것이라고 동치가 된다).이 구성에 대하고, A가 대합환이라고 하는 것은,

• A는+에 관해서 아벨군이며,
• A는+위에 왼쪽 및 오른쪽 분배적인 적을 갖고,
• A는 x□□= x, (x + y)□= x□+y□, (x y)□=y□x□를 채우는 대합을 가진다

그렇다고 하는 의미이다.이 일반화된 의미로의 케이 리=딕슨 구성에 의해서 주어지는 대수 B = A□A도, 역시 대합환이 된다.

B에 A로부터 그대로 유전하는 성질로서는,

• A가 단위원 1 _A를 가진다면 B는 단위원(1 _A, 0)을 가진다.
• A가 「x + x□및 x x□는 임의의 원으로 결합적이고 가환이다」라고 하는 성질을 가진다면, B도 같은 성질을 만족한다.이 성질은 「임의의 원이 가환결합적□-대수를 생성한다」일을 어떤 말에 특별한 뜻을 가지게 하기 때문에, 특히 이러한 대수는 멱결합적이다.

등이 있다.그 밖에도 A의 성질로부터 B에 의해 약한 성질이 유도되는 것으로서

• A가 가환으로 자명한 대합을 가진다면 B는 가환이다.
• A가 가환 한편 결합적인 라바B는 결합적이다.
• A가 결합적이고 x + x□, x x□가 모든 원으로 결합적이고 가환이다면, B는 교대적이다.

등을 들 수 있다.

각주

1. ^본기사에서는, 상용한자에 없는 「액」자를 피하고, 고쳐 쓰고 있다.
2. ^본기사로의 정의는 허수 단위(예를 들어${\displaystyle j}$)(을)를 오른쪽때문인지 자리수 경우이지만, 왼쪽에서 허수 단위(예를 들어${\displaystyle k}$)(을)를 걸치는 정의도 있다.
3. ^ ${\displaystyle (p,q)}$(와)과${\displaystyle (p^{*},-q)}$의 적의 제2 요소가${\displaystyle qp^{*}-p^{*}q}$(이)가 되지만, 비가환이기 때문에 일반적으로 여기가 영이 되지 않는다.

참고 문헌

• Albert, A. A. (1942), "Quadratic forms permitting composition", Annals of Mathematics 43 (1): 161–177, doi:10.2307/1968887, ISSN 0003-486 X, MR:0006140, http://www.jstor.org/stable/1968887  (see p. 171)
• Baez, John (2002), "The Octonions", Bulletin of the American Mathematical Society 39: 145□205, doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X, ISSN 0002-9904, http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/octonions.html . (See "Section 2.2, The Cayley-Dickson Construction")
• Dickson, L. E. (1919), "On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem", Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) 20 (3): 155–171, doi:10.2307/1967865, ISSN 0003-486 X, http://www.jstor.org/stable/1967865 
• Kantor, I. L.; Solodownikow, A. S. (1978), Hyperkomplexe Zahlen, Leipzig: B.G. Teubner 
• Hamilton, William Rowan (1847), "On Quaternions", Proceedings of the Royal Irish Academy 3: 1□16, ISSN 1393-7197, http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/Quatern2/Quatern2.html 

외부 링크

• Hyperjeff, Sketching the History of Hypercomplex Numbers (1996-2006).

「https://ja.wikipedia.org/w/index.php? title=케이 리=딕슨의 구성법&oldid=57467652」로부터 취득

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