중간치의 정리
중간치의 정리(치우감지의 것이라고 필요해, 영: intermediate value theorem)란, 실수의 구간의 연결성에 관한 이하와 같은 존재형의 정리이다：
중간치의 정리-실수 직선 R의 폐구간 I =［a, b］상에서 정의되는 연속인 실수치 함수 f가 f(a) < f(b)를 채울 때, 폐구간［f(a), f(b)］내의 임의의 점γ에 대해서,γ= f(c)가 되는 I내의 점c가 존재한다.
목차
개요
직감적으로는, 평면상에 다른 2점을 얻어, 적당하게 이 2점을 묶는 연속인 곡선을 그린다.그리고 이 2점의 위치 관계가 서로 반대 측에 되도록(듯이) 직선을 그었을 때, 그 곡선과 직선이 어디선가 반드시 교점을 가진다, 라고 하는 것에 상당히 하고 있다.
어느 종류 자명과 같이 생각되지만, 이것은 실수의 폐구간이 연결이며, 그 연속상이 다시 폐구간 따라서 연결이 되는 것(일반적으로 연결인 위상 공간의 연속 사상에 의한 상은 역시 연결이다)로부터 성립되는 정리이다.
덧붙여 「임의의 폐구간이 연결이다」일과 「실수의 연속성이 성립한다」일은 동치이며(예를 들면, 유리수체상에서는［a, b］는 연결이 아니다), 중간치의 정리 자체도 결국은 실수의 연속성과 동치인[1].
증명
개략만 말한다.필요한 사실은
- 통상의 위상에 관해서 실수의 폐구간은 연결인 위상 공간이다.
- 연결 공간의 연속상은 연결이다.
의 두 개 뿐이다(이 사실은 여기에서는 인정하고 이야기를 진행시키기로 한다).
지금, 정리의 가정을 채우는 함수 f에 대해 Im(f) = {f(x) ｜ x∈I}멀고.또, f(a) <γ< f(b)로 한다(어느 쪽인가의점에 일치할 때는 정리는 자명하다).이 때 U = {α∈Im(f) ｜α<γ}와 V = {β∈Im(f) ｜γ<β}멀고와 f(a)∈U, f(b)∈V이니까, U, V는 어느 쪽도 하늘 집합이 아니고, 게다가 서로 공통 부분을 갖지 않는 Im(f) 내의 개집합이다.
여기에서도 해γ가 Im(f)에 속하지 않는다면, U와 V는 Im(f)를 피복 한다.그러나 이것은 위에서 말한 두 개의 사실로부터 Im(f)가 연결인 것에 모순된다.그러므로γ∈Im(f) 즉 적당한 c∈I가 존재해γ= f(c)가 된다.［증명종］
존재형의 정리
이런 종류의 정리는 「존재」에 관해서는 보증해 주지만, 「구체적으로 어디에 있을까」에 대해서는 모른다.구체적으로 어디에 있는지 알고 싶은 경우에는 다른 고찰이 필요하지만, 「존재」만 확인되면, 그것으로 좋은 경우도 많은[2].
각주
- ^따라서, 중간치의 정리를 가정해 데데 킨트 절단을 정의하면, 실수의 연속성을 증명할 수 있다.
- ^ c는, 실제로는 f(x)가γ이하가 되는 I에 속하는 x전체로부터 되는 집합의 상한으로서 주어진다.f(c)가γ로 없으면 가정하면, 즉시 모순이 생긴다.
관련 항목
관련 문헌
- 스기우라 미츠오 「해석 입문 1」도쿄대학 출판회, 1980년 4월.ISBN 978-4-13-062005-5。
- 다카기 데이지, 쿠로다 성준 보유 「정본 해석 개론」이와나미 서점, 2010년 9월 15일.ISBN 978-4-00-005209-2。
외부 링크
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