2017년 3월 10일 금요일

충해산

충해산

충해산(무 까는 막상응; cryptarithm 혹은 arithmetical restorations)은, 몇개의 숫자를 덮을 수 있었던 계산식이 주어져 밝혀지고 있는 부분으로부터 덮을 수 있었던 숫자가 무엇으로 있는지를 추리해, 완전한 계산식을 이끌어내는 퍼즐이다.

풀어 손의 힌트가 되도록(듯이), 계산식은 필산의 형태로 주어지는 것이 많다.

목차

명칭

「충해산」이라고 하는 명칭은, 계산식이 벌레에 먹어진 것처럼 구멍이 있는 것에 유래한다.그 밖에 「암호산」 「유령산」등의 명칭도 있지만, 1946년에 출판된 사노 쇼우이치의 저서 「충해산대회」에 사용된 「충해산」의 명칭이 가장 넓게 사용되고 있다.

「충해산」은 광의에는 복면산등을 포함한 계산식을 복원하는 문제 전반을 과연, 본고에서는 이치가 없는 한□에 숫자를 넣는 것만을 나타낸다.

충해산・복면산의 역사

충해산의 구체적인 기원은 뚜렷하지 않지만, 일본에서는, 에도시대의 일본 재래의 주산서나 시산금액 등에도 남아 있다.일본에서 기록에 남아 있는 낡은 문제로서는, 나카네언순의 「간두 산법」(1738년)에 게재되고 있는 문제를 들 수 있다.또, 구미에서도 옛부터 계산의 연습 문제로서 사용되고 있었다.

1906년에 영국의 수학자 바위크(en)는 「7개의 7」이라고 하는 작품을 발표했다.이것은, 힌트가 되는 숫자가 7개에 대해서 70개 이상의 것□이 있다고 하는 작품이며, 외형에 아름답게 지적인 충해산의 원조라고도 한다.

의미가 있는 단어를 사용한 복면산(워드 복면산)에 관해서는, 헨리-・아네스트・수수료 도니가 1924년에 발표한 SEND+MORE=MONEY라고 하는 작품이 최초라고 한다.

이러한 작품은 타이쇼 시대에는 일본에도 소개되고 있었다.

전후의 일본

  • 1946년 「충해산대회」가 출판된다.
  • 1964년 잡지 「수예퍼즐」창간.충해산을 포함한 여러가지 퍼즐의 발표의 장소가 주어졌다.
  • 1976년 잡지 「힐장기 파라다이스」에 「충식산연구실」의 코너가 생긴다.
    • 독자로부터 문제・해답을 모집하는 형식 때문에, 많은 작품이 전해졌다.
    • 마루오 마나부・야마모토 유키오・아사오 카즈요시가 담당을 근무해 22년 계속 되었다.
  • 1980년 잡지 「퍼즐 통신 니코리」창간.
    • 창간 당초부터 충해산・복면산에 수페이지를 할애하고 있어 17호에서는 「스지코나」라고 하는 독립한 코너가 되고 있다(71호까지).
    • 5호보다 매호 테마를 결정해 복면산을 모집하고 있었지만, 투고수저하를 위해 107호(04년 여름호)에서는 부정기 연재가 되었다.
    • 착순 발표로 불리는 복면산의 해답 경쟁도 행해지고 있었다(현재에도 동코너는 존재하지만, 퍼즐은 복면산에 한정되지 않게 되고 있다).

룰

  • □에는 하나의 숫자가 들어간다.
  • 최상위의 것□에는 0은 들어가지 않는다.다만, 소수점으로 시작되는 소수의 경우는 최상위에 0이 들어가는 일이 있다.
    • 1자리수의 것□이 있었을 경우, 최상위의 조건을 채우므로 0을 넣지 않는다고 하는 생각이 일반적이다.

협의의 충해산의 문제로는 1개의 것□에 들어가는 숫자는 1개이지만, 광의의 충해산에는 공난에 복수의 숫자가 들어가기도 한다.필산이 아닌 문제[1]이 많지만, 필산에서도 상위 또는 하위의 숫자를 정리해 숨기는 일이 있는[2].

예제

  • □7□6□×7＝3□29□6 [3]

필산으로의 출제의 예

　 　 □ □
　 × 2 □
　 　 □ □
   □ □   
□ □ 1 □

특별한 충해 산

충해산안에는, 힌트・형상・제약등으로부터 특별한 이름을 관 되는 것이 있다.

고독의 n
힌트로서 숫자가 1개만 제시되고 있는 것을 총칭해 고독의 n라고 부르는[4].
이 호칭은, E・F・오드링이 발표한 작품 「고독의 7」에 유래한다.

예제 「고독의 4」

　 　 　    □ □ □
□ □ / □ □ □ □
　 　 　 □ □   
　 　 　 □ □ □
　 　 　 　 □ 4   
　 　 　 　 　 □ □
　 　 　 　 　 □ □
　 　 　 　 　 　 0
완전 충해산
힌트로서 숫자가 전혀 제시되어 있지 않은 것을 완전 충해산이라고 부른다.
무조건으로의 완전 충해산의 작성은 불가능하고, 반드시 어떠한 제약 조건(소수점・사용 숫자의 제한등)이 더해진다.
나눗셈에 대해 나뉘어 떨어진 것을 나타내 보이는 최하단의 0은 있어도 괜찮은[5].

예제□에는 0이외의 짝수가 들어간다

　 □ □ □
×    □ □
　 □ □ □
□ □ □   
□ □ □ □
코마치 충해산
□의 안에 1~9(혹은 0~9)의 숫자가 1개씩 들어가도록(듯이) 지정한 것을 코마치 충해산이라고 부른다.이 호칭은, 1~9를 사용해 100을 나타내는 코마치산을 기념하여 있다.
0~9를 2 개씩・3 개씩 사용하는 문제도 있어, 그것들은 「더블 코마치」 「트리플 코마치」등이라고도 불린다.
1943년에 네델란드의 수학자 Fred. Schuh는 더블 코마치 완전 충해산이라고 하는 조건작을 발표하고 있다.
다중 충해산
매스안에 다른 색의 물건을 배치해, 다른 색의 매스만으로도 필산이 성립되도록(듯이) 하는 문제를 다중 충해산이라고 한다.제약이 강하고, 숫자가 전혀 없는 완전 충해산이 되는 것이 많은[6].

예제■로 나타내진 1자리수×1자리수=2자리수의 필산도 성립되도록(듯이) 한다.

　 　 　       □ □ □
□ □ / □ □ ■ □ □
　 　 　 　 □ ■   
　 　 　 　 ■ ■ □
　 　 　 　 　 □ □   
　 　 　 　 　 □ □ □
　 　 　 　 　 □ □ □
　 　 　 　 　 　 　 0
그룹화
0-9(을)를 2개의 그룹(짝수와 홀수・4 이하와 5이상등)으로 나누고 그룹에 의해서 넣는 매스를 바꾸는 문제.
바리에이션으로서 특정의 매스에는 같은 숫자, 다른 매스에는 그 이외의 숫자를 넣는 문제도 있다.관련 항목에 있는 「파인 맨의 문제」등이 알려져 있다.

예제◇에는 소수(2,3,5,7),◎에는 그 이외의 수를 넣는다.

　 ◎ ◎
× ◎ ◎
◎ ◎ ◇
◇ ◇   
◎ ◎ ◇

곱셈과 나눗셈 이외의 충해 산

가감 산

덧셈과 뺄셈은, 충해산보다 복면산의 작례가 많다.이유로서는□에 제약이 없게 숫자를 바꿔 넣은 별해가 발생하기 쉬운 것을 줄 수 있다.

이하의 문제는 일의해이다.

  • 12□+ 3□4 =□56
  • □ + 7□+□□+□□=□1

산수의 연습 문제로서 충해산이 출제될 때는, 1개의 것□에 복수자리수의 숫자가 들어가는 일이 있다.이하는 그 일례이다.

  • 123 +□= 789

수학 기호

수학 기호나 함수를 사용한 충해산이 존재한다.이것들은 수학의 지식이 필요하게 되므로 통상의 문제만큼 많게는 발표되어 있지 않다.이하는 그 일례이다.

  • √(□! + (□!)!) =□(루트는 좌변 전체에 걸린다)
  • log□□□0□+ log□□0□□=□0

평방근

필산에 의한 개평을 바탕으로 한 충해산이 존재한다.「충식산퍼즐 700선」에는 문제가 수록되고 있지만, 현재는 의무 교육으로 배우고 있지 않기 때문에, 이 형식의 문제를 보는 것은 거의 없다.

예제를 1문제시한다.

＿ □ ＿ □ ＿ □
√ □ □ □ □ □ 9
　 　 □ ＿ ＿ 　 　
　 　 □ □ □ 　 　
　 　 　 □ □ ＿ ＿
　 　 　 □ □ □ □
　 　 　 □ □ □ □
　 　 　 　 　 　 0


큰 충해 산

일부의 충해산은, 자유롭게 자리수를 늘릴 수 있다.예를 들면 위의 예에 있는 완전 충해산은,□…(n자리수)…□×□□=□…(n+1자리수)…□(이)라고 해도 일의해인[7].이 때문에, 최대의 충해산은 존재하지 않는다.다만, 이러한 수법으로 의지하지 않는 대형 충해산은 존재하는[8].

1999년부터 퍼즐 통신 니코리의 편집장을 맡고 있는 안후쿠라곧은, 학생시절에 상이 20000자리수를 넘는 나눗셈의 충해산을 작성해 같은 잡지에 투고했던 적이 있다.너무 커서 게재할 수 없기 때문에, 최초의 20 자리수 정도가 소개되었다.「세계 최대의 충해산」을 잘 아는 전말과 이론이 저술해지고 있다.

컴퓨터를 이용해 충해산을 푸는 경우, 자리수는 계산 시간에 영향을 준다. 2개의 숫자의 곱셈이 필산의 형태로 주어진 문제는, NP 완전하다라고 하는 것이 알려져 있는[9].

예제의 해답

  • 예제 1 47568×7=332976
  • 예제 2 46×22=1012
  • 고독의 4 5734÷47=122
  • 짝수만 222×22=4884
  • 다중 충해산 10856÷92=118 8×2=16
  • 그룹화 18×49=882
  • 덧셈122+334=456 1+70+10+10=91 123+666=789
  • 루트와 계승의 문제√(4! +(1! )! )=5
  • 대수의 문제 log72401+log44096=10
  • 개평산√100489=317

각주

[헬프]
  1. ^예를 들면 「간두 산법」의 문제는, 문장중의 숫자가 벌레에 먹어지고 있다.
  2. ^「충식산퍼즐 700선」P. 134 등
  3. ^「충해산대회」사노 쇼우이치에서 인용.또한 저자의 몰년은 1949년
  4. ^「충식산퍼즐 700선」P. 63
  5. ^「충식산퍼즐 700선」P. 68
  6. ^「충식산퍼즐 700선」으로는 완전충식산의 일종으로서 소개되고 있다.
  7. ^「충식산퍼즐 700선」P. 132-133에는 조건이 없는 문제로의 확장의 예가 쓰여져 있다.
  8. ^「충식산퍼즐 700선」P. 137-140에는, 대형의 충해산으로서 적이 45 자리수에 이르는 문제나□가 500개 이상 있는 문제가 게재되고 있다.
  9. ^ Tomomi Matsui (2013), "NP-Completeness of Arithmetical Restorations", Journal of Information Processing 21 (3): 402□404. 

참고 문헌

  • 「 신수학 사전」오사카 서적(VII.수학특론, 3.흥미 있는 수학 문제,§3.3 충해산, pp. 909-910.) ISBN 4-754-82009-6
  • 사노 쇼우이치 「추리 학교 충해산대회」학생사 ISBN 4-311-41810-8
  • 대말세이치 「충식산퍼즐 700선」공동설립 출판 ISBN 4-320-01339-5
  • 대말세이치 「츠즈키충식산퍼즐 700선」공동설립 출판 ISBN 4-320-01411-1
  • 야마모토 유키오 「수의 이상・수의 즐거움-충해산과 완전 방진」나카니시야 출판 ISBN 4-888-48506-2
  • 수학 세미나 편집부/편 「수학 100의 문제 수학사를 물들이는 발견과 도전의 드라마」일본 평론사 ISBN 4-535-60614-5
  • 안후쿠라곧 「세계 최대의 충해산」후미하루 신서 ISBN 978-4-16-660669-6

관련 항목

외부 링크

「https://ja.wikipedia.org/w/index.php? title=충해산&oldid=63267603」으로부터 취득

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