쿠누스의 화살표 표기

이 기사는 검증 가능한 참고 문헌이나 출전이 전혀 나타나지 않은지, 불충분합니다. 출전을 추가해 기사의 신뢰성 향상에 협력해 주십시오.(2015년 11월)

쿠누스의 화살표 표기란, 1976년에 도널드・쿠누스가 거대수를 표현하기 위해서 발명한 표기법이다.이것은, 곱셈이 가산의 반복이며, 멱승이 곱셈의 반복인 것과 같은 생각에 근거하는 것으로, 멱승의 반복(테트레이션, 초지수)을 나타내는 연산의 표기법이다.

목차

도입

가산→곱셈→멱승

곱셈은, 가산의 반복에 의해서 정의할 수 있다.

${\displaystyle a\times b=\underbrace {a+a+\dots +a} _{b{\text{ copies of }}a}}$ 

멱승은, 곱셈의 반복에 의해서 정의할 수 있다.

${\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\times a\times \dots \times a} _{b{\text{ copies of }}a}}$ 

덧붙여 일부의 초기의 컴퓨터로는, 오름새 화살표를 멱승연산자에 사용했으므로, 그것을 사용하면

${\displaystyle a\uparrow b=\underbrace {a\times a\times \dots \times a} _{b\mathrm {\ copies\ of\ } a}=a^{b}}$  。

예로서 그고르프렉스 ${\displaystyle 10^{10^{100}}}$  (은)는, 10↑10↑100으로 쓸 수 있다.

테트레이션

여기서 쿠누스는, 이중 화살표를 테트레이션(지수 계산의 반복)을 나타내는 연산자로서 정의했다.어깨를 타고 가는 모습으로부터, 타워 표기라고도 부른다.

${\displaystyle a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{b{\text{ copies of }}a}=\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} _{b{\text{ copies of }}a}}$ 

이 정의에 의하면,

${\displaystyle {\begin{aligned}3\uparrow \uparrow 2&=3^{3}=27\,\\3\uparrow \uparrow 3&=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987\,\\3\uparrow \uparrow 4&=3^{3^{3^{3}}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987}\\&\approx 1.258\times 10^{3638334640024}\\3\uparrow \uparrow 5&=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{7625597484987}}\\&\approx 3^{1.258\times 10^{3638334640024}}\end{aligned}}}$ 

etc.

이것에 의해, 대단한 거대수를 이끌 수 있다.

그 밖에도

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 3=10^{10^{10}}=10^{10000000000}}$  (10의 100억승)

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 4=10^{10^{10^{10}}}=10^{10^{10000000000}}}$ 

등도 있다.

그 이상

하지만 쿠누스는 이것에 충분히 만족하지 않고, 「2중화살표」에 의한 연산을 반복하는 연산자로서 「3중화살표」를 정의했다.

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow a} _{b{\text{ copies of }}a}}$ 

같이 「4중화살표」연산자도 정의할 수 있다.

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {a\uparrow \uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \uparrow \dots \uparrow \uparrow \uparrow a} _{b\mathrm {\ copies\ of\ } a}}$ 

이것을 일반적으로 말하면, n중의 화살표 연산자는, (n－1) 중의 화살표 연산자의 반복으로서 나타낼 수 있다.

${\displaystyle a\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } _{n{\text{ pieces of the arrow}}}b=\underbrace {a\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } _{(n-1){\text{ pieces of the arrow}}}a\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } _{(n-1){\text{ pieces of the arrow}}}a\cdots a\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } _{(n-1){\text{ pieces of the arrow}}}a} _{b{\text{ copies of }}a}}$ 

구체적인 예를 들면, 14↑↑↑↑4는 14↑↑↑14↑↑↑14↑↑↑14이다.

덧붙여 화살표를 사용한 지수의 기법 ${\displaystyle a\uparrow b=a^{b}}$  도, 쿠누스의 화살표 기호의 특수예(홑겹 화살표)로서 재해석된다.

우선 규칙

모든 쿠누스의 화살표(통상의 지수 계산인 a↑b도 포함한다)는, 오른쪽에서 계산된다.예를 들면, a↑b↑c = a↑(b↑c)이며, (a↑b)↑c는 아니다.

구체적인 예를 들면,

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3\uparrow 3\uparrow 3=3^{3^{3}}}$ 

하

${\displaystyle 3\uparrow (3\uparrow 3)=3\uparrow 27=3^{27}=7625597484987}$ 

(이어)여,

${\displaystyle (3\uparrow 3)\uparrow 3=27\uparrow 3=27^{3}=19683}$ 

(은)는 아니다.

확장 기법

n중화살표 연산자

n중의 화살표 연산자를 단지 ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$  (이)라고 쓴다.예를 들어,

${\displaystyle a\uparrow \uparrow b=a\uparrow ^{2}b,}$ 

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=a\uparrow ^{5}b.}$ 

functional power

${\displaystyle \left(a\uparrow ^{n}\right)^{m}b}$  (은)는, 함수

${\displaystyle f(x)=a\uparrow ^{n}x}$ 

의 m-th functional power

${\displaystyle f^{m}(x)=(\underbrace {f\circ f\circ \cdots \circ f} _{m})(x)=\underbrace {f(f(\cdots (f} _{m}(x))\cdots ))}$ 

이다.즉

${\displaystyle \left(a\uparrow ^{n}\right)^{m}b=\underbrace {a\uparrow ^{n}a\uparrow ^{n}\cdots \uparrow ^{n}a\uparrow ^{n}} _{m{\text{ copies of }}a\uparrow ^{n}}b}$ 

이다.예를 들어,

${\displaystyle \left(a\uparrow \right)^{3}b=a\uparrow a\uparrow a\uparrow b=a\uparrow \left(a\uparrow \left(a\uparrow b\right)\right)=a^{a^{a^{b}}}.}$ 

정의

쿠누스의 화살표 표기는, 다음 같게 정의된다.

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}b=0\\a^{b},&{\mbox{if }}n=1\\a\uparrow ^{n-1}\left(a\uparrow ^{n}\left(b-1\right)\right),&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$ 

여기서, a, b, n는 정수이다.다만, b□0, n□1이다.또한 a⁰≡1이므로, 최초의 2식의 우선 순위는 어디라도 좋다.

functional power를 사용하고, 다음 같게도 정의할 수 있다.

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}b=0\\a^{b},&{\mbox{if }}n=1\\\left(a\uparrow ^{n-1}\right)^{b}1,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$ 

다른 기법과의 관계

벌써 말했던 대로, 1중의 쿠누스의 화살표는 멱승을 나타낸다.또, 2중의 쿠누스의 화살표는 좌상 숫자와 같은 테트레이션을 나타낸다.

${\displaystyle a\uparrow b=a^{b}}$ 

${\displaystyle a\uparrow \uparrow b={}^{b}a}$ 

악카만 함수는,${\displaystyle \uparrow ^{n}}$  (을)를 사용한 쿠누스의 기법으로 거의 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \operatorname {Ack} \left(n,b\right)=\left\{2\uparrow ^{n-2}\left(b+3\right)\right\}-3\quad {\mbox{if }}n\geq 3}$ 

하이퍼 연산자는, 적・화・후자 함수도 나타낼 수 있는 이외는,${\displaystyle \uparrow ^{n}}$  (을)를 사용한 쿠누스의 기법과 등가이다.

${\displaystyle \operatorname {hyper} \left(a,n,b\right)=a\uparrow ^{n-2}b\quad {\mbox{if }}n\geq 3}$ 

안녕 웨이의 체인 표기는, 3련으로는 ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$  (을)를 사용한 쿠누스의 화살표 표기와 등가이지만, 한층 더 길게 계속하는 것으로, 쿠누스의 화살표 표기에서는 나타낼 수 없는 큰 수, 예를 들어 그라함수의 범위등을 나타낼 수 있다.

${\displaystyle a\to b\to n=a\uparrow ^{n}b}$ 

폰트의 형편에 의한 대체 표기

컴퓨터상에서의 텍스트로서 표기하는 경우, 폰트에 따라서는↑과 같은 기호가 없는 경우도 있기 위해, a^^b와 같이 서컴프렉스를 늘어놓는 표기를 실시하는 경우가 있다.쿠누스 자신도, 이것을 대체적 혹은 간편한 기법으로서 인정하고 있다.

지수 표기 a^b대신에 a^b라고 쓰는 것도, 이것과 같다.

「https://ja.wikipedia.org/w/index.php? title=쿠누스의 화살표 표기&oldid=57415115」로부터 취득

This article is taken from the Japanese Wikipedia 쿠누스의 화살표 표기

This article is distributed by cc-by-sa or GFDL license in accordance with the provisions of Wikipedia.

Wikipedia and Tranpedia does not guarantee the accuracy of this document. See our disclaimer for more information.

In addition, Tranpedia is simply not responsible for any show is only by translating the writings of foreign licenses that are compatible with CC-BY-SA license information.