제한(수학)

실수 전체가 이루는 집합 R상에서 정의된 함수 x²는 역함수를 가지지 않는다.이것을 비부실수의 집합에 제한한다면 역함수를 가져, 그것은 x의 정의 평방근 함수로 불린다.

수학에 있어서의 사상의 제한(사인, 영: restriction)은, 사상의 원래의 정의역에 대해서, 사상에 의한 대응 관계를 바꾸는 일 없이 그것보다 작은 집합을 정의역에 고치는 조작을 말한다.같은 개념은 보다 일반적으로 2항관계나 다항 관계 등에 대해도 정의할 수 있다.

사상 f의 정의역의 부분 집합 A에의 제한으로서 얻을 수 있는 사상을 f|_A 혹은 ${\displaystyle f{\upharpoonright _{A}}}$ 그리고 나타낸다.

목차

정의

f: E→F는 집합 E로부터 집합 F에의 사상을 나타내는 것으로 한다.즉, f의 정의역은 E (dom f = E)이다.E의 부분 집합 A에 대해, 사상 f의 A에의 제한이란

${\displaystyle {f|}_{A}\colon A\to F;\;x\mapsto f(x)}$ 

되는 사상을 말하는[¹].대략적으로 말하면 f의 A에의 제한은, 원래의 f와 같지만 A∩dom f 위에서만 정의되고 있다라고 하는 사상이다.

사상 f를 데카르트적E×F상의 관계{x, f(x))}(으)로서 생각하면, f의 A에의 제한은 그래프로서

${\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f)\mid x\in A\}}$ 

그리고 나타낼 수 있다.

예

1. 비단 쏘아 맞혀 함수 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ;x\mapsto x^{2}}$  의 ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}$  에의 제한은, 단 쏘아 맞혀 ${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto x^{2}}$  이다.
2. 계승함수는 감마 함수의 자연수의 집합 N에의 제한이다.

성질

• 사상 f: X→Y의 정의역 전체 X에의 제한 f|_X = f는 원래의 함수 자신이다.
• 사상의 제한을 한층 더 작은 집합에 제한한 것은, 원래의 사상을 직접 작은 집합에 제한하는 것과 같다.すなわち、A ⊆ B ⊆ dom f ならば (f|_B)|_A = f|_A가 성립된다.
• 집합 X상의 항등 사상의, 부분 집합 A에의 제한은 A로부터 X안에의 포함 사상인[²]
• 연속 사상의 제한은 연속인[³][⁴]

응용

역사상

자세한 것은 「역사상」을 참조

사상이 역을 가지기 위해서는 단 쏘아 맞혀인 것이 필요하다.사상 f가 단 쏘아 맞혀가 아닐 때, f의 「부분적인 역」을 정의역을 제한해 줄 수 있는 경우가 있다.예를 들면 함수

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ 

(은)는 x² = (－x) ²가 되기 때문에 단 쏘아 맞혀는 아니다.그러나 정의역을 x□0에 제한한다면 단 쏘아 맞혀여, 이 경우

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}}$ 

(은)는 역함수이다.(혹은 대신에 정의역을 x□0에 제한한다면, y의 부의 평방근을 주는 함수가 역함수가 된다.) 별도인 방법으로서 역함수가 다가함수가 되는 것을 허락한다면 제한은 필요없게 된다.

첩맞댐보제

자세한 것은 「연속 사상의 첩맞댐보제(영문판)」를 참조

위상 공간론에 있어서의 연속 사상의 붙여 맞댐보제는, 사상의 연속성을 제한 사상의 연속성에 연결시키는 것이다.

첩맞댐보제 

위상 공간 A의 부분 집합 X, Y가 함께 폐(또는 함께 개)로 A = X∪Y를 채우는 것으로 해, B도 위상 공간으로 한다.사상 f: A→B의 X 및 Y에의 제한이 함께 연속이라면, f자신 연속이다.

이 결과에 근거하면, 위상 공간의 폐집합들(혹은 개집합들) 위에서 정의된 두 연속 사상으로부터, 그것들을 붙여 배합해 새로운 연속 사상을 만들 수 있다.

층

자세한 것은 「층의 이론」을 참조

사상 이외의 대상의 것에의 제한의 개념의 일반화는 층의 말로 주어진다. 층론으로는, 위상 공간의 각 개집합 U에 대해서 권의 대상 F(U)를 할당할 수 있어 그것들이 적당한 조건을 만족하는 것이 요구된다.그 가장 중요한 조건이, 포함 관계에 있는 개집합에 대응하는 대상의 임의의 대의 사이의 제한 쏘아 맞혀이다.즉, V⊆U일 때, 쏘아 맞혀 res_{V, U}: F(U)→F(V)가 존재하고, 사상의 제한과 같게 이하의 조건을 만족한다:

• X의 임의의 개집합 U에 대해, 제한 쏘아 맞혀 res_{U, U}: F(U)→F(U)는 F(U) 상의항등 쏘아 맞혀이다.
• W⊆V⊆U 되는 세 개의 개집합에 대해, 제한 쏘아 맞혀의 합성은 res_{W, V}□res_{V, U} = res_{W, U}를 채운다.
• (국소성): (U_i)(이)가 개집합 U의 개피복 때, 절단 s, t∈F(U)가 s|_Ui = t|_Ui를 각 Ui로 채운다면 s = t가 성립된다.
• (첩맞댐 조건): (U_i)(이)가 개집합 U의 개피복, 각 i에 대해서 절단 s_i∈F(U_i)가 주어져 각 대 U_i, U_j에 대해서 그 교제에의 s_i, s_j의 제한이 일치할 때, 즉 s_i|_Ui∩Uj = s_j|_Ui∩Uj가 성립할 때, 임의의 i에 대해서 s|_Ui = s_i를 채우는 절단 s∈F(U)가 존재한다.

이것들 조건을 모두 만족하는 대상의 모임은 층을 이룬다고 한다.최초의 두 개만을 채우기 전층이라고 한다.

왼쪽 및 오른쪽 제한

보다 일반적으로, E와 F의 사이가 있는 2항관계 R의 제한(혹은 정의역 제한 또는 왼쪽 제한) A□R는, 정의역이 A, 치역이 F로 그래프가 G(A□R) = {(x, y)∈G(R) | x∈A}인 2항관계로서 정의할 수 있다.같이 오른쪽 제한 혹은 치역 제한 R□B를 정의할 수 있다.실제로는, 2항관계가 E×F부분 집합인 것과 같게, 관계와는 부분 집합이다고 이해하는 것으로, n항관계의 제한도 정의할 수 있다.이러한 케이스는 층의 스킴에는 적합하지 않는다.^[요설명]

반제한

정의역 E, 종역F의 2항관계 R의, 집합 A에 의한 정의역반제한(domain anti-restriction) 혹은 정의역 감산(domain subtraction)은, (E□A)□R라고 정의된다.이것은, A의 모든 원을 정의역 E로부터 제외한 것이다.자주 A□R라고도 쓰여지는[⁵].같이 2항관계 R의 집합 B에 의한 치역반제한(range anti-restriction) 혹은 치역 감산(range subtraction)은, R□(F□B)로 정의된다.이것은, B의 모든 원을 종역F로부터 제외한 것이다.자주 R□B와 표기된다.

출전

1. ^ Stoll, p. 5
2. ^ Halmos 1960
3. ^ Munkres 2000
4. ^ Conrad & Franzosa 2008
5. ^ Dunne & Stoddart 2006

참고 문헌

• Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories. W. H. Freeman and Company. 
• Halmos, Paul (1960), Naive Set Theory, Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company  Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
• Munkres, James R (2000), Topology, 2, Upper Saddle River: Prentice Hall 
• Colin Conrad, Adams; David Franzosa, Robert (2008), Introduction to topology: pure and applied, Pearson Prentice Hall 
• Dunne, S.; Stoddart, Bill (2006), Unifying Theories of Programming: First International Symposium, UTP 2006, Walworth Castle, County Durham, UK, February 5-7, 2006, Revised Selected ... Computer Science and General Issues), Springer 

관련 항목

• 변위 레트라크트(영문판)
• 사상#제한과 연장
• 2항관계#관계의 제한
• 관계 대수(관계 모델)#제한 / 선택(관계 대수)（영문판）

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