수학 , 특히 선형대수학 및 함수 해석학 에 대해 정규 직교계 (탓귀저구경, 영 : orthonormal system )란, 서로 직교 하고(내적 이 0이며), 한편 그 크기가 규격화되어 1인 벡터 의 모임이다.ONS 와도 나타내진다.특히, 정규 직교계가 완전계 (임의의 벡터가 정규 직교계에 의해서 전개 가능)인 경우에는, 완전 정규 직교계 (영 : complete orthonormal system ) 또는 정규 직교 기저 로 불리고 CONS 와 나타내진다.히르베르트 공간 론의 기초적인 개념인 것과 동시에, 정규 직교계에 근거하는 전개 원리는 물리학 , 공학 에의 응용에 대해 중요해진다.
목차
정의 내적〈•, • 〉(을)를 가지는 벡터 공간(내적 공간 )에 있고, 벡터의 집합{xn
⟨ x m , x n ⟩ = 0 ( m ≠ n ) {\displaystyle \langle x_{m},x_{n}\rangle =0\quad (m\neq n)} 하지만 성립될 때,{xn 직교계 (orthogonal system )이다고 한다.또, 직교계{en 법칙 에 대해 규격화되고 있다(||en ||=1 ), 즉,
⟨ e m , e n ⟩ = δ m n {\displaystyle \langle e_{m},e_{n}\rangle =\delta _{mn}} 일 때,{en 정규 직교계 이다고 한다.단,δmn 크로넥카의 델타 이다.유한개 또는 가산 개의 일차 독립 인 벡터{xn 그램・슈미트의 정규 직교화법 에 의해,{xn
내적으로 정해지는 법칙에 대해 완비 인 히르베르트 공간을 논할 때에 두고, 정규 직교계는 중요한 역할을 완수한다.히르베르트 공간에 있고, 정규 직교계{en 완전계 이다, 즉
⟨ x , e n ⟩ = 0 ∀ n ⟹ x = 0 {\displaystyle \langle x,e_{n}\rangle =0\quad \forall n\Longrightarrow x=0} (을)를 채울 때,{en 완전 정규 직교계 , 또는 정규 직교 기저 이다고 한다.완전 정규 직교계에 대해서는, 임의의 벡터 x 에 대해,
x = ∑ n ⟨ x , e n ⟩ e n {\displaystyle x=\sum _{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}} 그렇다고 하는 전개가 가능해진다.단, 무한열에 대해서는 법칙에 관한 수습을 나타내는 것으로 한다.
임의의 히르베르트 공간에 있고, 완전 정규 직교계는 존재하지만, 특히 가분 인 히르베르트 공간이면, 고들가산개로부터 되는 완전 정규 직교계가 존재하는[1
성질 완전 정규 직교계의 성질을 특징지우는 정리로서 다음 동치성 이 성립된다.
정리 히르베르트 공간 H en
{en } 하지만 완전 정규 직교계를 이룬다.{en } 의 일차 결합 전체가 H 조밀 이다.(푸리에 급수 ) 임의의 x ∈H x = ∑ n ⟨ x , e n ⟩ e n {\displaystyle x=\sum _{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}} 하지만 성립된다.(리스・피셔의 등식 ) 임의의 x ∈H ∥ x ∥ 2 = ∑ n | ⟨ x , e n ⟩ | 2 {\displaystyle x^{2}=\sum _{n}|\langle x, e_{n}\rangle |^{2}} 하지만 성립된다.(파세발의 등식 ) 임의의 x , y ∈H ⟨ x , y ⟩ = ∑ n ⟨ x , e n ⟩ ⟨ e n , y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{n}\langle x,e_{n}\rangle \langle e_{n},y\rangle } 하지만 성립된다.
정규 직교계의 예 완전계의 예 자승 총화 가능 수열 공간의 기저 n 번째의 성분만큼 1으로 그 이외를 0으로 하는 수열
e n = ( 0 , 0 , ⋯ , 0 , 1 , 0 , ⋯ ) ( n = 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle e_{n}=(0,0,\cdots ,0,1,0,\cdots )\quad (n=1,2,\cdots )} 그리고 주어지는{en l 2
삼각함수계 2
1 2 π , cos π t π , sin π t π , cos 2 π t π , sin 2 π t π , ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},\,{\frac {\cos {\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\sin {\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\cos {2\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\sin {2\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\cdots } 2 n πt )/√π, sin(n πt )/√π}n =1, 2,L 2 ([－π,π])
완전계가 아닌 예 사인 관수계 사인 관수의 열
sin π t π , sin 2 π t π , sin 3 π t π , ⋯ {\displaystyle {\frac {\sin {\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\sin {2\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\sin {3\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\cdots } sin(n πt )/√π}n=1, 2, … (은)는, L 2 ([－π,π])sin(n πt )/√π}n =1, 2, … 그럼 전개할 수 없다.
라데맛하 함수계 구간[0, 1 ]상에서 라데맛하 함수 (영문판 )
r n ( t ) = sgn ( sin 2 n π t ) ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle r_{n}(t)=\operatorname {sgn} (\sin {2^{n}\pi t})\quad (n=0,1,2,\cdots )} 그리고 정의된다.{rn (t )L 2 ([0, 1])
정규 직교화법에 따르는 구성 그램・슈미트의 정규 직교화법 을 응용하는 것으로, 일차 독립인 벡터의 집합으로부터 정규 직교계를 구성할 수 있다.
직교 다항식의 예 르잘돌 다항식 구간[－1, 1 ]상의 일차 독립인 함수열
1 , t , t 2 , ⋯ {\displaystyle 1,\,t,\,t^{2},\cdots } (을)를 L 2 ([－1, 1])
p n ( t ) = 1 2 n n ! ( n + 1 2 ) 1 / 2 d n d t n ( t 2 − 1 ) n ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle p_{n}(t)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\biggl (}n+{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{1/2}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}(t^{2}-1)^{n}\quad (n=0,1,2,\cdots )} (으)로부터 되는 정규 직교계{pn (t )르잘돌 다항식 Pn (t )에n + 1/2)
p n ( t ) = ( n + 1 2 ) 1 / 2 P n ( t ) . {\displaystyle p_{n}(t)={\biggl (}n+{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{1/2}P_{n}(t).} 엘 미트 다항식 R
e − t 2 2 , t e − t 2 2 , t 2 e − t 2 2 , ⋯ {\displaystyle e^{-{\frac {t^{2}}{2}}},\,te^{-{\frac {t^{2}}{2}}},\,t^{2}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}},\cdots } (을)를 L 2 (R )로
h n ( t ) = 1 n ! 2 π ( − 1 ) n d n d t n e − t 2 2 ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle h_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n!{\sqrt {2\pi }}}}}(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\quad (n=0,1,2,\cdots )} (으)로부터 되는 정규 직교계{hn (t )엘 미트 다항식 Hn (t )에2π)－1/4(n ! )－1/2 e－t 2 /2 를 곱한 함수계이다;
h n ( t ) = 1 n ! 2 π e − t 2 2 H n ( t ) . {\displaystyle h_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n!{\sqrt {2\pi }}}}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}H_{n}(t).} 라게이르 다항식 [0,∞)로 일차 독립인
e − t 2 , t e − t 2 , t 2 e − t 2 , ⋯ {\displaystyle e^{-{\frac {t}{2}}},\,te^{-{\frac {t}{2}}},\,t^{2}e^{-{\frac {t}{2}}},\cdots } (을)를 L 2 ([0,∞))
l n ( t ) = 1 n ! e t 2 d n d t n ( e − t t n ) ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle l_{n}(t)={\frac {1}{n!}}e^{\frac {t}{2}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}(e^{-t}t^{n})\quad (n=0,1,2,\cdots )} (을)를 얻는다.{ln (t )라게이르 다항식 Ln (t )에e－t/2 를 곱한 함수계이다;
l n ( t ) = e − t 2 L n ( t ) . {\displaystyle l_{n}(t)=e^{-{\frac {t}{2}}}L_{n}(t).}
각주 유한 차원의 내적 공간에 있어서는, 차원과 동일한 개수로부터 되는 완전 정규 직교계가 존재한다
참고 문헌
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