접속(주 밴드르)

수학에 있어서의 접속(접속)이란, 다양체상에 정해진 여러가지 섬유다발에 대해서, 섬유의 사이의 평행이동을 주는 미분 방정식적인 개념이다.이 항으로는 특히 리군을 구조군으로 하는 주다발의 접속에 대해 해설한다.

주다발의 접속을 결정하는 것은, 다발의 전공간의 접공간안에서 구조군의 작용에 의해서 불변인 「수평인 방향」을 정하는 것 같다.따라서, 주다발의 접속은 샤를르・에이레스만에 의해서 도입된[¹]에이레스만 접속의 특별한 것이라고 볼 수 있다.

주속상에 접속이 주어지면, 구조군의 선형 표현에 부수 하는 벡터다발에 대해서 벡터다발의 접속・공변미분을 유도할 수 있다.또, 리만 다양체의 레비・치비타 접속 등 많은 기하학적으로 중요한 개념이 주다발의 접속으로서 정식화되고 있다.

목차

접속의 역사

주다발에 한정하지 않고 접속의 역사를 개관 한다.역사적으로는, 접속은 무한소의 시점으로부터 리만 기하학을 취급할 때에 연구되었다.크리스툿페르의 연구로 발단해, 후에 리치(Gregorio Ricci-Curbastro )와 레비・치비타(Tullio Levi-Civita)가 정력적으로 연구한[²].그들은 크리스툿페르의 의미의 접속이 평행이동의 개념을 허용 하는 것을 확인하고 있다.

레비・치비타는 평행이동이 그 해가 되는 미분 작용소로서의 접속에 주목했다.시대가 진행되는데 아울러 에리・카르탄이 접속의 새로운 형식을 개발했다.그는 클라인의 엘랑겐・프로그램에 파피안(Pfaffian system)에 관한 기술을 응용하는 수단을 찾고 있었다.그는 있는 무한소의 접속의 개념(Cartan 접속(영문판))을 적용할 수 있는 것을 발견했다.이 접속은 곡율을 허용 하는(고전적인 클라인 기하에는 없다고 생각되고 있던)[³][⁴].또한, 다르브의 결과를 이용해 카르탄은 평행이동을 카르탄 접속에까지 일반화할 수 있었다.이것은 현대라도 주요한 취급 방법의 하나인 미분 형식으로서의 접속을 확립했다.

미분 작용소로서의 접속과 미분 형식으로서의 접속과 접속의 이론에 있어서의 2통리의 취급은, 현재에 이르기까지 남아 있다.1950년, Koszul은 Koszul 접속(영문판)을 사용해 미분 작용소로서의 접속에 대해 대수적인 골조를 준[⁵].Koszul 접속은 레비・치비타 접속보다 일반적이고, 한편 접속의 형식화에 대해 불모양인 크리스툿페르 기호를 최종적으로 제거할 수 있었다(적어도 숨길 수 있었다) 것으로 취급이 용이했다.부수 하는 평행이동 조작은 접속의 용어를 이용한 자연스러운 대수적 해석을 가진다.Koszul 접속은 공변미분과 평행이동의 개념과의 해석적인 대응을 대수적인 대응에 고쳐 쓰므로, 미분 기하학의 커뮤니티에 받아 들여졌다.

같은 나이, 카르탄의 학생의 에이레스만(Ehresmann)은 주다발, 일반적으로는 섬유다발의 문맥으로부터 미분 형식으로서의 접속의 다양성을 제시한[¹].에이레스만 접속은, 엄밀하게는 카르탄 접속의 일반화는 아니다.Cartan's equivalence method와의 관계에 의해, 카르탄 접속은 바닥 공간의 미분 구조와 강하게 결합되고 있다.에이레스만 접속은 진성몸과 같은 당시의 기하학자의 기초적인 결과에 대해서, 오히려 강고한 골조였다.진성몸은 당시 게이지 접속으로 불리게 되는 것을 연구하는데 카르탄 접속으로부터 떨어져 있다.에이레스만의 시점에서는 주다발의 접속은 전공간의 「수평인」혹은 「연직인」벡터장의 사양으로부터 구성되어 있다.이 때 평행이동은 바닥 공간의 곡선을 전공간의 수평인 벡터장에의 들어 올려라고 볼 수 있다.이 시점은, 호로노미를 생각할 때에 특히 유용하다라고 하는 것이 나타나고 있다.

정의

매끄러운 다양체 M상에, 리군G를 구조군으로 하는 매끄러운 주다발π:P→M가 주어졌다고 한다.이 때, P상의 주G-접속ω이란, G의 리 대수 g에 값을 받는 P상의 1차 미분 형식에서,

정합성 

x∈P에 있어서의 G의 작용이 이끄는 사상 g→T_x P (기본 벡터장)와ω와의 합성은 g의 항등 사상이 되어 있다

동변성 

G의 작용의 미분 사상 d R_g: T_x P→T_{x g} P와 g에의 수반표현 Ad에 관해서ω(d R_g X) = Ad_g(ω(X)) 하지만 성립된다

의 2개의 조건을 채우는 것이다.

문맥에 따라서는, 주G-접속은 대(P,ω)를 가리켜,ω자체는 접속 형식으로 불리기도 한다.

에이레스만 접속으로서의 정의

다양체 M상의 G-주다발π: P→M의 접속 형식ω을 이용하는 것으로, P의 접공간을 M의 접공간에 동형인 부분 공간과 섬유의 접공간 kerπ와의 곧 화 로 분해할 수 있다.즉, G의 작용에 의해서 g로부터 섬유의 접공간 위에의 동형을 얻을 수 있지만, 한편, kerω는 M의 접공간에 동형인 P의 접공간의 부분 공간을 정할 수 있다.이 부분 공간은 TP의 부분다발을 이루어, 수평인 방향 및 수직인 방향에의 분해 TP = kerω□kerπ에 의해서 에이레스만 접속이 정해져 있다.

반대로, 에이레스만 접속

${\displaystyle \pi ^{*}TM\simeq H\subset TP}$ 

에서 만나며, G- 동이상한 것, 즉 H_{x g} = d R_g H_p를 채우는 것은 kerω= H가 되는 접속 형식을 일의적으로 정하고 있다.

국소 자명화에 의한 정의

M의 개집합 U상에서 주다발 P를 자명화하는 것은 U상에서 P의 절단 s를 선택하는 것과 같다.P에 접속 형식ω이 주어지고 있을 때, s에 의해서ω를 되돌리는 것으로 g에 값을 받는 U상의 1차 미분 형식 s*ω를 정할 수 있다.이 미분 형식과 자명화 사상 U×G→P|_U에 의해서, P|_U상에서의ω를 복원할 수 있다.

또, U상의 임의의 절단은, U로부터 G에의 함수 g(x)에 의해서 s(x) g(x)와 나타낼 수 있지만, 이 새로운 절단에 의한ω의 당겨 반환은

${\displaystyle (sg)^{*}\omega ={\rm {Ad}}_{g}^{-1}(s^{*}\omega )+g^{-1}dg}$ 

(을)를 채워 있다.M의 개피복(U_i) _i상에서 P의 자명화가 주어지고 있으면, U_{i j} = U_i∩U_j상에서의 자명화의 차이 g_{i j}가 정하는 코사이크루에 의해서 P를 복원할 수 있다.든지, 이 코사이크루에 관해서 상기와 같이 붙여 맞댐 조건을 채우는 g-값의 1차 미분 형식의 족(ω_{i j}) _{i j}에 의해서 P상의 접속ω을 정할 수 있다.

접속의 집합의 아핀 구조

ω(와)과η가 함께 주다발 P의 접속 형식일 때, 차이ω-η는 G- 동이상한 g-값의 1차 미분 형식이지만, 게다가 각 섬유의 접벡터에 대해서 0을 주는 것이 되어 있다.따라서 이것은 P상의 basic (기본적) 미분 형식이며, 또는, M상의, 벡터다발 P×_G g를 계수로 하는 미분 형식이라고 볼 수도 있다.

반대로,ξ가 P상의 G- 동이상한 기본적 미분 형식이면,ω+ξ도 다시 P의 접속 형식이 되는 것을 안다.따라서, P의 접속 형식의 공간은, P상의 G- 동이상한 기본적 미분 형식들이 이루는 벡터 공간상의 아핀 공간이 되어 있는 것을 안다.

접속에 의해 유도되는 미분 작용소

G-주다발 P와 G의 선형 표현 W가 주어졌을 때, 그것들에 의해서 유도되는 M상의 벡터다발 P×_G W를 생각할 수 있다.게다가 P의 접속 형식ω이 주어지면, 이 벡터속상의 공변미분이

${\displaystyle \nabla _{X}^{\omega }\sigma ={\tilde {X}}\sigma }$ 

에 의해서 정해진다.다만, 여기에서는 P×_G W의 절단σ을 P로부터 W에의 G- 동이상한 함수로 동일시 해,ω에 의해 정해지는 M의 벡터장 X의 P에의 들어 올려 ${\displaystyle {\tilde {X}}}$  (을)를 작용시키고 있다.이 공변미분은, 수직 방향의 접벡터에 대해서 사라지고 있는 작용소 dσ+ωΛσ와 나타낼 수도 있다.

보다 일반적으로, 식 dα+ωΛα는 P상에 정해진 W를 계수로 하는 G- 동변기본 미분 형식α에 대한 작용소라고 생각할 수 있다.이렇게 하고, P×_G W를 계수로 하는 M상의 미분 형식에 관한 밖미분이 정해진다.

곡율 형식

주G-다발의 접속ω에 대해서, 그 곡율 형식Ω은 g에 값을 받는 2다음 미분 형식

${\displaystyle \Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]:(X,Y)\mapsto \omega ([X,Y])-X(\omega (Y))+Y(\omega (x))+[\omega (X),\omega (Y)]}$ 

(으)로서 정의된다.이 미분 형식은 G- 동이상하고 수평적이기 위해, P×_G g를 계수로 하는 M상의 2차 미분 형식에 대응한다.이 식은 제2 구조 방정식이라고도 불린다.

G의 선형 표현 W에 의해 유도되는 벡터다발 P×_G W상에ω가 정하는 공변미분의 곡율은Ω에 의해서 유도되는 P×_G W의 자기 준동형에 의해서 나타내지고 있다.

참고 문헌

1. ^ ^{a b} Ehresmann, Charles (1950), "Les connexions infinitesimales dans un espace fibredifferentiable", Colloque de Toplogie (Bruxelles): 29□55 
2. ^ Levi-Civita, T., Ricci, G. (1900), "Methodes de calcul differential absolu et leurs applications", Math. Ann. B 54: 125□201, doi:10.1007/BF01454201
3. ^ Cartan, Elie (1924), "Sur les varietes a connexion projective", Bulletin de la SocieteMathematique 52: 205□241
4. ^ Cartan, Elie (1983), Geometry of Riemannian spaces, Math Sci Press, ISBN 9780915692347
5. ^ Koszul, J. L. (1950), "Homologie et cohomologie des algebres de Lie", Bulletin de la SocieteMathematique 78: 65□127

• 노미즈 카츠미, 1981, 「현대 미분 기하 입문」, 쇼카보 출판사〈기초 수학 추천도서〉ISBN 978-4785311278
• Kobayashi, Shoshichi; Katsumi Nomizu (1996). Foundations of Differential Geometry. Vol. 1 (New ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0471157333. 

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