오어의 조화수 는 조화수 의 항을 참조.또 조화수의 열은 조화 수열 과는 다르다. n =□
x □에 대한 조화수
H n , 1의 그래프(빨강).이것은γ+ ln(
x )(파랑)에 점근수렴 한다.
수학 에 있고, n -번째의 조화수 (나비원 들이마시는, 영 : harmonic number n 까지의 자연수 의 역수화
H n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n = ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}} 이다.이것은 또, 1으로부터 n 까지의 자연수의 조화 평균 의 역수의 n -배에 동일하다.
조화수는 아득히 옛부터 연구되어 정수론 의 각 분야에 있어 중요하다.조화수의 극한은, 조화 계수 로 불려(자주 조화수도 뭉뚱그려 한마디로 조화 계수라고 부르기도 한다), 리만제이타 함수 와 친한 관계에 있어, 또 여러 가지의 특수 함수 의 다양한 표시에 나타난다.
충분히 큰 수의 표본에 대해서, 그 출현 빈도가 Zip의 법칙 에 따라서 분포할 때, 전체 중(안)에서 n -번째의 빈도로 나타나는 표본의 총빈도는 n -번째의 조화수이다.이것은 긴 꼬리 및 네트워크치 (영문판 )
목차
조화수의 계산법 조화수의 적분 표시
H n = ∫ 0 1 1 − x n 1 − x d x {\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx} (은)는 나- 에 의한다.이 등식은 간단한 대수적 등식
1 − x n 1 − x = 1 + x + … + x n − 1 {\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\ldots +x^{n-1}} (을)를 사용하면 분명하다.또, 적분의 변수를 단순하게 x = 1－u 와 변환하면, H n
H n = ∫ 0 1 1 − ( 1 − u ) n u d u = ∫ 0 1 [ ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 ( n k ) u k − 1 ] d u = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 ( n k ) ∫ 0 1 u k − 1 d u = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 1 k ( n k ) {\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}du=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]du\\&=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}du=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}\end{aligned}}} 하지만 얻을 수 있다.같은 표현은, 제3 레트케슈 항등식 (영문판 ) x 1 = 1, ..., x n
Π k ( 1 , … , n ) = ( − 1 ) n − k ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! {\displaystyle \Pi _{k}(1,\ldots ,n)=(-1)^{n-k}(k-1)!(n-k)!} 되는 사실을 이용하는 것도 얻을 수 있다.즉
H n = H n , 1 = ∑ k = 1 n 1 k = ( − 1 ) n − 1 n ! ∑ k = 1 n 1 k 2 Π k ( 1 , … , n ) = ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 1 k ( n k ) {\displaystyle H_{n}=H_{n,1}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=(-1)^{n-1}n!\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}\Pi _{k}(1,\ldots ,n)}}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}} 하지만 성립된다.또, 레트케슈 항등식을 x 1 = 12 , ..., x n n 2 에 대해서 이용하면, 이 경우
Π k ( 1 2 , 2 2 , … , n 2 ) = ( − 1 ) n − k ( n − k ) ! ( n + k ) ! 2 k 2 {\displaystyle \Pi _{k}(1^{2},2^{2},\ldots ,n^{2})=(-1)^{n-k}{\frac {(n-k)!(n+k)!}{2k^{2}}}} (2)의 제n-부분화에 대한 유사한 공식
H n , 2 = ∑ k = 1 n 1 k 2 = 2 ∑ k = 1 n ( − 1 ) k − 1 1 k 2 ( n k ) ( n + k k ) {\displaystyle H_{n,2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}=2\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k-1}{\frac {1}{k^{2}}}{\frac {\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}}} (을)를 얻는다.H n n 의 자연대수 ln(n )와 동일한 정도의 속도이다.이것은, H n
∫ 1 n d x x ( = ln ( n ) ) {\displaystyle \int _{1}^{n}{dx \over x}\quad (=\ln(n))} 그리고 근사 하는 것에 의해서 확인할 수 있다.수열(H n n )) (은)는 단조롭게 감소하고,
lim n → ∞ H n − ln ( n ) = γ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n}-\ln(n)=\gamma } 되는 정수(이 정수γ는 나-・마스케로니 정수 로 불려 그 값은 0.5772156649... 이다)를 극한 으로 가져, 이것에 대응하는 점근전개 는
H n = ln n + γ + 1 2 n − 1 − 1 12 n − 2 + 1 120 n − 4 + O ( n − 6 ) {\displaystyle H_{n}=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2}}n^{-1}-{\frac {1}{12}}n^{-2}+{\frac {1}{120}}n^{-4}+{\mathcal {O}}(n^{-6})} 그리고 주어진다.
분수 파라미터에 대한 특수치 조화수H n n 를 적분
H α = ∫ 0 1 1 − x α 1 − x d x {\displaystyle H_{\alpha }=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{\alpha }}{1-x}}dx} 에 의해서 확장하면, 0으로 1의 사이의 분수치를 가지는 파라미터α에 대한 해석적인 특수치를 정할 수 있다.혹은 한층 더 점화식
H α = H α − 1 + 1 α {\displaystyle H_{\alpha }=H_{\alpha -1}+{\frac {1}{\alpha }}} 에 의해서 확장할 수도 있어 결국은 임의의 x > 0에 대해서(x 가 정수 때도 그렇지 않을 때도)
H x = x ∑ k = 1 ∞ 1 k ( x + k ) {\displaystyle H_{x}=x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(x+k)}}} 하지만 성립한다.몇개의 특수치에 대해 계산하면, 이하와 같이 된다.
H 3 / 4 = 4 3 − 3 ln 2 + π 2 , H 2 / 3 = 3 2 ( 1 − ln 3 ) + π 6 3 , H 1 / 2 = 2 − 2 ln 2 , H 1 / 3 = 3 − π 2 3 − 3 2 ln 3 , H 1 / 4 = 4 − π 2 − 3 ln 2 , H 1 / 6 = 6 − π 2 3 − 2 ln 2 − 3 2 ln ( 3 ) , H 1 / 8 = 8 − π 2 − 4 ln 2 − 1 2 { π + ln ( 2 + 2 ) − ln ( 2 − 2 ) } , H 1 / 12 = 12 − 3 ( ln 2 + ln 3 2 ) − π ( 1 + 3 2 ) + 2 3 ln 2 − 3 {\displaystyle {\begin{aligned}H_{3/4}&={\frac {4}{3}}-3\ln {2}+{\frac {\pi }{2}},\\H_{2/3}&={\frac {3}{2}}(1-\ln {3})+{\frac {\pi }{6}}{\sqrt {3}},\\H_{1/2}&=2-2\ln {2},\\H_{1/3}&=3-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln {3},\\H_{1/4}&=4-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2},\\H_{1/6}&=6-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln(3),\\H_{1/8}&=8-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\{\pi +\ln(2+{\sqrt {2}})-\ln(2-{\sqrt {2}})\},\\H_{1/12}&=12-3\!\left(\ln {2}+{\frac {\ln {3}}{2}}\right)-\pi \!\left(1+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+2{\sqrt {3}}\ln {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\end{aligned}}}
조화수의 어머니 함수 조화수의 열의 어머니 함수 는
∑ n = 1 ∞ z n H n = − ln ( 1 − z ) 1 − z {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}}} 그리고 주어지는(ln(z )는 자연대수) .또, 멱지수형모함수는
∑ n = 1 ∞ z n n ! H n = − e z ∑ k = 1 ∞ 1 k ( − z ) k k ! = e z Ein ( z ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=-e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{\frac {(-z)^{k}}{k!}}=e^{z}{\mbox{Ein}}(z)} 된다.여기서 Ein(z )는 정지수 적분으로 ,
Ein ( z ) = E 1 ( z ) + γ + ln z = Γ ( 0 , z ) + γ + ln z {\displaystyle {\text{Ein}}(z)={\text{E}}_{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z} 하지만 성립되는 것인(다만,Γ(0, z )는 불완전 감마 함수) .
응용 조화수는, 디 감마 함수 에 대한다
ψ ( n ) = H n − 1 − γ {\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma } (와)과 같은, 몇개의 특수 함수에 관한 계산 공식으로 나타난다.이러한 관계식은, 자주 조화수의 파라미터 n 를 정수 이외에 확장하기 위한 정의식이라고 해도 이용된다.앞의 마디로 말한 것 같은 극한에 의해서, 조화수로부터 정수γ를 정의하는 것이 잘 행해지지만,
γ = lim n → ∞ ( H n − ln ( n + 1 2 ) ) {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{1 \over 2}\right)\right)}} (으)로 하는 편이 수렴이 빠르다.
2002년에 제프리-・라가리아스 (영문판 ) 리만 예상 이 「부등식
σ ( n ) ≤ H n + ln ( H n ) e H n {\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}} 하지만 임의의 자연수 n 에 대해서 성립해, 한편 n > 1 때는 진정한(등호 없음의) 부등식으로서 성립한다」라고 하는 주장에 등가인 것을 나타냈다.여기서σ(n )는 n 의 약수화 이다.
일반화 일반화 조화 몇 n -번째의 m -다음 일반화 조화수 (generalized harmonic number )는
H n , m = ∑ k = 1 n 1 k m {\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}} 그리고 주어진다.n 를 무한대에 날린 극한이 존재하는 것은 m > 1때에 한정되는 것에 주의.일반화 조화수를 나타내는 기호로서는
H n , m = H n ( m ) = H m ( n ) . {\displaystyle H_{n,m}=H_{n}^{(m)}=H_{m}(n).} 등도 사용되는 일이 있다.덧붙여 m = 1의 경우가 통상의 조화수이며, 첨자 m 를 떨어뜨려
H n = ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}} (이)라고 쓴다.또, n →∞의 극한으로 일반화 조화수는 리만제이타 함수 에 수렴 한다.즉
lim n → ∞ H n , m = ζ ( m ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n,m}=\zeta (m)} 하지만 성립된다.일반화 조화수는 베르누이수 를 조사할 때에 나타나 또 스털링수 를 조사할 때에도 나타난다.일반화 조화수의 어머니 함수는
∑ n = 1 ∞ z n H n , m = Li m ( z ) 1 − z {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {{\mbox{Li}}_{m}(z)}{1-z}}} 이다.여기서 Lim z )은 다중 대수 함수로 |z | < 1으로 한다.이 식에서 m = 1으로 한 것은, 먼저 말한 조화 수열의 어머니 함수에 일치한다.
복소헤이면에의 일반화 조화수에 대한 나-의 적분 공식은 다음 적분 등식
∫ a 1 1 − x s 1 − x d x = − ∑ k = 1 ∞ 1 k ( s k ) ( a − 1 ) k {\displaystyle \int _{a}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{s \choose k}(a-1)^{k}} (으)로부터 따르지만, 이 식은 s 를 일반의 복소수 라고 해도(이항 계수 를 적절히 확장하면) 성립된다.a = 0이라고 하면, 이 공식으로부터 조화수를 보간 해 복소헤이면에 확장한 함수의 적분 표시와 급수 표시가 양쪽 모두 얻을 수 있다.이 적분 등식 자체는 뉴턴 급수 (뉴턴의 일반 이항정리 )
∑ k = 0 ∞ ( s k ) ( − x ) k = ( 1 − x ) s {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{s \choose k}(-x)^{k}=(1-x)^{s}} (으)로부터 간단한 조작으로 얻을 수 있다.조화수를 보간 하는 함수는, 실은 디 감마 함수ψ(x )를 사용해
ψ ( s + 1 ) + γ = ∫ 0 1 1 − x s 1 − x d x {\displaystyle \psi (s+1)+\gamma =\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx} (이)라고 쓸 수 있다(γ는 오이라마스케로니 정수).이 적분의 과정을 반복하면
H s , 2 = − ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k k ( s k ) H k {\displaystyle H_{s,2}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}H_{k}} (을)를 얻는다.
관련 항목
참고 문헌 Arthur T. Benjamin, Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn, A Stirling Encounter with Harmonic Numbers 75 (2) pp 95-103. Donald Knuth . The Art of Computer Programming , Volume 1: Fundamental Algorithms , Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89683-4 . Section 1.2. 7: Harmonic Numbers, pp. 75□79.Ed Sandifer, How Euler Did It -- Estimating the Basel problem Weisstein, Eric W. , "Harmonic Number " - MathWorld (영어) Peter Paule and Carsten Schneider, Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities Wenchang CHU, A Binomial Coefficient Identity Associated with Beukers' Conjecture on Apery Numbers The Electronic Journal of Combinatorics , 11 , #N15. Ayhan Dil and Istvan Mezo, A Symmetric Algorithm for Hyperharmonic and Fibonacci Numbers 206 , 942--951. Zoltan Retkes, "An extension of the Hermite□Hadamard Inequality ", Acta Sci. Math. (Szeged), 이 기사는, 크리에이티브・코몬즈・라이센스 표시-계승 3.0비이식 아래 제공되고 있는 온라인 수학 사전 「PlanetMath 」의 항목 Harmonic number 의 본문을 포함한다
![{\begin{aligned}H_{n}&=\int _{{0}}^{{1}}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}du=\int _{{0}}^{{1}}\left[\sum _{{k=1}}^{n}(-1)^{{k-1}}{\binom {n}{k}}u^{{k-1}}\right]du\\&=\sum _{{k=1}}^{{n}}(-1)^{{k-1}}{\binom {n}{k}}\int _{{0}}^{{1}}u^{{k-1}}du=\sum _{{k=1}}^{{n}}(-1)^{{k-1}}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce56fa34d90b72e4da5efb26629fc1eccbf23b4)
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