실베스터의 관성 법칙

에서실베스터의 관성 법칙(실베스터의 완성 법칙 : Sylvester 's law of inertia )는의 것이 불변의 어떤 성질을 기술한다.

구체적으로 이차 형식을 정의하는 A와 D = SAS ⊤가되는 것 같은 임의의 가역 행렬 S에 대해 D 주요 대각선에 늘어선 양의 성분 수와 부정적인 성분의 수는 S에 의존하지 않고 동일하다.

이름은 ()에서이 성질을 입증했다 따서 지었다.

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정리의 주장

n- 다음 정방 행렬 A는 열매 성분을 가지는 대칭 행렬로한다. 같은 크기의 S는 A를 다른 n- 다음 대칭 행렬 B = SAS ⊤로 변환한다. 여기에 S ⊤는 B이다. 즉, 행렬 A와 B는 서로한다. A가Rn 적당한한다면 B는 같은 이차 형식에 S 이 정을 얻을 수있는 정사각형 형태의 계수 행렬이다.

대칭 행렬 A는이 방법으로 반드시 대각선 성분이 0, +1, -1 어떤 일 같은 D 로 변환 할 수있다. 실베스터의 관성 법칙은 이러한 각종의 대각선 원소의 수가 (행렬 S의 복용에 의존하지 않는) A의 불변량임을 말한다.

+1 수 n +를 A의양의 관성 지수(positive index of inertia)라고 -1 몇 n -을 부정적인 관성 지수(negative index of inertia)라고 부른다. 0 수 n 0은 A의 차원이며, A 의여 층 수 (퇴화 차수)이다. 이들은 분명히

n 0 + n + n - = n {\ displaystyle n_ {0} + n _ {+} + n _ {-} = n}! [{\ displaystyle n_ {0} + n _ {+} + n _ {-} = n} (https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f5ea4328bc370b92ff61e5798beb16501bc3af)

되는 관계를 갖는다. 차이 sign (A) = n - - n +를 보통이라고 부른다 (하지만 A의 정부의 관성 지수와 퇴화 차수의 트라이어드 (n 0 n + n -) 를 부호 수라고 부른다 문헌도있다. 주어진 차수의 비 퇴화 형식에 대해서는 어느로 써도 동일한 정보를 제공하지만, 일반적으로는 트라이어드 쪽이 정보가 많다).

행렬 A가 왼쪽에서 k × k 주 Δ _k_가 어느 쪽도 아닌 영이라는 성질을 가진다면 부정적인 관성 지수는 열

Δ 0 = 1, Δ 1, …, Δ n = det A {\ displaystyle \ Delta _ {0} = 1, \ Delta _ {1}, \ ldots \ Delta _ {n} = \ det A}! [ {\ displaystyle \ Delta _ {0} = 1 \ Delta _ {1} \ ldots \ Delta _ {n} = \ det A} (https://wikimedia.org/api / rest_v1 / media / math / render / svg / a437e4b1070d275f703869d5ad1e1ef6aa42a3b8)

부호 변화의 수와 같다.

고유치를 이용한 주장 의역

대칭 행렬 A의 정부의 관성 지수는 A의 정부의 수이기도하다. 어떠한 실제 대칭 행렬 A는 자신의 고유 값으로 이루어진 대각 행렬 E와 원래의 고유 벡터로 구성된 Q를 이용한 A = QEQ ⊤되는 형태의 ()를 가진다. 또한 행렬 E = (e ij)는 E = WDW ⊤에서 D가 0, +1, -1을 성분으로하는 대각 행렬, W가 w ii = √ | e ii |을 성분으로하는 대각 행렬이되도록 할 수있다. 행렬 S = QW 는 D를 A로 변환한다.

이차 형식의 관성 법칙

의 맥락에서 실제 n- 변수 (또는 n- 차원 실 벡터 공간에서의) 열매 이차 형식 Q는 적당한 기저 변환 (정규적인 선형 변환)에 의해 대 각형

Q (x 1, x 2, …, xn) = Σ i = 1 naixi 2 {\ displaystyle Q (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {i = 1 } ^ {n} a_ {i} x_ {i} ^ {2}}! [{\ displaystyle Q \ (x_ {1}, x_ {2} \ ldots, x_ {n} ) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} x_ {i} ^ {2}} (https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe9aef2fd88df43d206c3ae6c7dbdafac262d5d)

할 수있다. 여기에 각각 a i ∈ {0, 1, -1}로한다. 실베스터의 관계 법칙이 계수 열주는 부호의 수가 Q 의 (대각 화하는 기저의 선택에 의존하지 않는) 불변량임을 주장한다. 기하학적으로 표현할 경우 주어진 이차 형식의 제한이 정 (또는 부)와지는 어떤 극대 부분 공간의 차원은 일정하다는 것을 관성 법칙은 주장한다. 그런 차원의 값이 정 (또는 부)의 관성 지수와 같다.

일반화

실베스터의 관성 법칙은 행렬이 복소 성분의 경우도 말할 수있다. 이 경우, 행렬 A, B가 * - 합동임을 적절한 복소 가역 행렬 S에 의해 B = SAS *로 쓸 것으로 정의한다. 그러나 * 치아를 나타낸다.

복소 성분의 경우 실베스터의 관성 법칙은 A, B가 * - 합동 인위한 필요 충분 조건은 그 관성 지수가 일치하는 것입니다 말할 것이다.

이 정리는 또한 pp. 141-142)에 의해 대한 것이 일반화되었다.

정리 (Ikramov)

정규 행렬 A와 B가 합동 인위한 필요 충분 조건은 그들이 가우스 평면의 원점에서 나오는 각 개발 반직선에서 같은 수의 고유 값을 가질 것이다.

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참고 문헌

1. ****Norman, C.W. (1986). Undergraduate algebra. pp. 360-361.

• Sylvester, J J (1852).

  Philosophical Magazine (Ser 4) 4(23) : 138-142.

  2008 년 6 월 27 일에 확인. .

• Ikramov, Kh. D. (2001). "On the inertia law for normal matrices"Doklady Math.64: 141-142.
• Garling, D. J. H. (2011). Clifford algebras. An introduction. London Mathematical Society Student Texts78Cambridge :.

• __ \ - (영문)
• _ (영문) _. CS1 maint : Multiple names : authors list *

Post Date : 2018-03-01 12:30

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