램프 함수

램프 함수의 그래프

램프 함수(영: ramp function)란, 일변수의 실함수이며, 독립변수와 그 절대치의 평균으로서 용이하게 구할 수 있다.구분 선형 함수。

이 함수는 공학에 있고(DSP의 이론 등) 응용을 가진다."ramp function"의 이름은, 그래프의 형상이 경사로(영: ramp)를 닮아 있는 것에 유래한다.

목차

정의

램프 함수 R(x) : R→R에는 몇개의 동치인 정의가 존재한다.

• 경우 분류

  ${\displaystyle R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}}$ 

• 지수 1의 절단멱함수

  ${\displaystyle R(x):=x_{+}}$ 

• 최대치 함수

  ${\displaystyle R(x):=\max(x,0)}$ 

• 기울기가 1의 직선과 그 절대치와의 평균[¹]

  ${\displaystyle R(x):={\frac {x+|x|}{2}}}$ 

• 기울기가 1의 직선과 뱀 사이드 함수와의 적

  ${\displaystyle R\left(x\right):=xH\left(x\right)}$ 

• 뱀 사이드 함수와 그것 자신의 간직해

  ${\displaystyle R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right)}$ 

• 뱀 사이드 함수의 적분

  ${\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathrm {d} \xi }$ 

• 마코레이의 괄호(영문판)

  ${\displaystyle R(x):=\langle x\rangle }$ 

해석적 성질

비부성

램프 함수는 정의역 전체로 비부가 된다.

${\displaystyle \forall x\in {\mathbf {R}}:R(x)\geq 0}$ 

그 때문에, 함수의 값은 그 절대치에 동일하다.

${\displaystyle |R(x)|=R(x)}$ 

도함수

램프 함수의 도함수는 뱀 사이드 함수에 동일하다.

${\displaystyle R'(x)=H(x)\ \mathrm {if} \ x\neq 0}$ 

2층 도함수

램프 함수는 다음 미분 방정식을 채운다.단δ(x)은 디 락의 델타 함수이다.

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}}{\operatorname {d} x^{2}}}R(x-x_{0})=\delta (x-x_{0})}$ 

이것은, R(x)가 2층 미분 작용소의 그린 함수인 것을 의미한다.이것에 의해, 가능 적분인 2층 도함수 f´´(x)를 가지는 임의의 함수 f(x)는, a < x < b 때 다음 방정식을 채운다.

${\displaystyle f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{b}R(x-s)f''(s)\operatorname {d} s}$ 

푸리에 변환

램프 함수의 푸리에 변환은 다음 대로가 된다.

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)}$  ${\displaystyle =}$  ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx}$  ${\displaystyle =}$  ${\displaystyle {\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}}$ 

여기서δ(x)는 디 락의 델타 함수(식중에서는 도함수가 사용되고 있는 것에 주의).

laplace 변환

램프 함수의 한쪽 편 laplace 변환은 다음 대로가 된다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.}$ 

대수적 성질

멱등 성

램프 함수의 임의의 반복 합성은 램프 함수에 동일하다.^[2]

${\displaystyle R(R(x))=R(x)}$ 

각주

1. ^이것은 max(a, b)가 다음 같게 정의할 수 있는 것에 의한다.

   ${\displaystyle \max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}}$ 

   이것을 최대치 함수에 의한 정의 R(x) := max(x, 0)에 대입하면 좋다.
2. ^다음 증명에는 비부성이 이용되고 있다.

   ${\displaystyle {\begin{aligned}R(R(x))&:={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}\\&={\frac {R(x)+R(x)}{2}}\\&={\frac {2R(x)}{2}}\\&=R(x)\end{aligned}}}$ 

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Ramp Function". MathWorld(영어). 

「https://ja.wikipedia.org/w/index.php? title=램프 함수&oldid=61373485」로부터 취득

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